专题8.7 立体几何（2021-2023年）真题训练（原卷版）

专题8.7立体几何一、单选题1．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A．2B．22C．4D．422．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）在正方体1111ABCDABCD中，P为11BD的中点，则直线PB与1AD所成的角为（）A．π2B．π3C．π4D．π63．（2021年全国新高考II卷数学试题）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A．20123B．282C．563D．28234．（2021年全国新高考II卷数学试题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos)Sr（单位：2km），则S占地球表面积的百分比约为（）A．26%B．34%C．42%D．50%5．（2022年新高考全国I卷数学真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m．时，相应水面的面积为21400km．；水位为海拔1575m．时，相应水面的面积为21800km．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m．上升到1575m．时，增加的水量约为（72.65）（）A．931.010mB．931.210mC．931.410mD．931.610m6．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）在长方体1111ABCDABCD中，已知1BD与平面ABCD和平面11AABB所成的角均为30，则（）A．2ABADB．AB与平面11ABCD所成的角为30C．1ACCBD．1BD与平面11BBCC所成的角为457．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．100πB．128πC．144πD．192π8．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）在三棱锥PABC中，ABC是边长为2的等边三角形，2,6PAPBPC，则该棱锥的体积为（）A．1B．3C．2D．39．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，4,3,45ABPCPDPCA，则PBC的面积为（）A．22B．32C．42D．5210．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且,1ACBCACBC，则三棱锥OABC的体积为（）A．212B．312C．24D．3411．（2022年新高考全国I卷数学真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36，且333l，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A．8118,4B．2781,44C．2764,43D．[18,27]12．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）在正方体1111ABCDABCD中，E，F分别为,ABBC的中点，则（）A．平面1BEF平面1BDDB．平面1BEF平面1ABDC．平面1//BEF平面1AACD．平面1//BEF平面11ACD13．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若=2SS甲乙，则=VV甲乙（）A．5B．22C．10D．510414．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，ABD△为等边三角形，若二面角CABD为150，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（）A．15B．25C．35D．2515．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A．13B．12C．33D．22二、多选题16．（2021年全国新高考II卷数学试题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足MNOP的是（）A．B．C．D．17．（2022年新高考全国I卷数学真题）已知正方体1111ABCDABCD，则（）A．直线1BC与1DA所成的角为90B．直线1BC与1CA所成的角为90C．直线1BC与平面11BBDD所成的角为45D．直线1BC与平面ABCD所成的角为4518．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，120APB，2PA，点C在底面圆周上，且二面角PACO为45°，则（）．A．该圆锥的体积为πB．该圆锥的侧面积为43πC．22ACD．PAC△的面积为319．（2022年新高考全国II卷数学真题）如图，四边形ABCD为正方形，ED平面ABCD，,2FBEDABEDFB∥，记三棱锥EACD，FABC，FACE的体积分别为123,,VVV，则（）A．322VVB．31VVC．312VVVD．3123VV20．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A．直径为0.99m的球体B．所有棱长均为1.4m的四面体C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体21．（2021年全国新高考I卷数学试题）在正三棱柱111ABCABC-中，11ABAA，点P满足1BPBCBB，其中0,1，0,1，则（）A．当1时，1ABP△的周长为定值B．当1时，三棱锥1PABC的体积为定值C．当12时，有且仅有一个点P，使得1APBPD．当12时，有且仅有一个点P，使得1AB平面1ABP三、填空题22．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30则该圆锥的侧面积为________.23．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知点,,,SABC均在半径为2的球面上，ABC是边长为3的等边三角形，SA平面ABC，则SA________．24．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．25．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）在正方体1111ABCDABCD中，E，F分别为CD，11AB的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为____________．26．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）在正四棱台1111ABCDABCD中，1112,1,2ABABAA，则该棱台的体积为________．27．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）在正方体1111ABCDABCD中，4,ABO为1AC的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是________．四、解答题28．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，M为BC的中点，且PBAM．（1）证明：平面PAM平面PBD；（2）若1PDDC，求四棱锥PABCD的体积．29．（2023年新高考天津数学高考真题）三棱台111ABCABC-中，若1AA面111,,2,1ABCABACABACAAAC，,MN分别是,BCBA中点.(1)求证：1AN//平面1CMA；(2)求平面1CMA与平面11ACCA所成夹角的余弦值；(3)求点C到平面1CMA的距离．30．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）如图，在三棱锥PABC中，ABBC，2AB，22BC，6PBPC，,,BPAPBC的中点分别为,,DEO，点F在AC上，BFAO．(1)求证：EF//平面ADO；(2)若120POF，求三棱锥PABC的体积．31．（2021年全国新高考I卷数学试题）如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD平面BCD，ABAD，O为BD的中点.（1）证明：OACD；（2）若OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，2DEEA，且二面角EBCD的大小为45，求三棱锥ABCD的体积.32．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知直三棱柱111ABCABC-中，侧面11AABB为正方形，2ABBC，E，F分别为AC和1CC的中点，D为棱11AB上的点．11BFAB（1）证明：BFDE；（2）当1BD为何值时，面11BBCC与面DFE所成的二面角的正弦值最小?33．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知直三棱柱111ABCABC-中，侧面11AABB为正方形，2ABBC，E，F分别为AC和1CC的中点，11BFAB.（1）求三棱锥FEBC的体积；（2）已知D为棱11AB上的点，证明：BFDE.34．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，1PDDC，M为BC的中点，且PBAM．（1）求BC；（2）求二面角APMB的正弦值．35．（2021年全国新高考II卷数学试题）在四棱锥QABCD中，底面ABCD是正方形，若2,5,3ADQDQAQC．（1）证明：平面QAD平面ABCD；（2）求二面角BQDA的平面角的余弦值．36．（2022年新高考全国I卷数学真题）如图，直三棱柱111ABCABC-的体积为4，1ABC的面积为22．(1)求A到平面1ABC的距离；(2)设D为1AC的中点，1AAAB，平面1ABC平面11ABBA，求二面角ABDC的正弦值．37．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）如图，四面体ABCD中，,,ADCDADCDADBBDC，E为AC的中点．(1)证明：平面BED平面ACD；(2)设2,60ABBDACB，点F在BD上，当AFC△的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．38．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）在四棱锥PABCD中，PD底面,,1,2,3ABCDCDABADDCCBABDP∥．(1)证明：BDPA；(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．39．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，,,,EABFBCGCDHDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直．(1)证明：//EF平面ABCD；(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．40．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）如图，四面体ABCD中，,,ADCDADCDADBBDC，E为AC的中点．(1)证明：平面BED平面ACD；(2)设2,60ABBDACB，点F在BD上，当AFC△的面积最小时，求三棱锥FABC的体积．41．（2022年新高考全国II卷数学真题）如图，PO是三棱锥PABC的高，PAPB，ABAC，E是PB的中点．(1)证明：//OE平面PAC；(2)若30ABOCBO，3PO，5PA，求二面角CAEB的正弦值．42．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）在三棱柱111ABCABC-中，12AA，1AC底面ABC，90ACB，1A到平面11BCCB的距离为1．(1)求证：1ACAC；(2)若直线1AA与1BB