专题9.1 直线的方程（原卷版）

专题9.1直线的方程题型一倾斜角与斜率题型二直线与线段的相交关系求斜率范围题型三求直线的方程题型四直线的定点问题题型五直线与坐标轴围成的三角形问题题型六直线平行或垂直题型七距离公式的应用题型八对称问题题型一倾斜角与斜率例1．（2023春·湖北荆州·高三统考阶段练习）若直线经过两点,1Am，23,2Bm，且其倾斜角为135°，则m的值为（）A．0B．12C．12D．34例2．（2023春·上海黄浦·高三上海市敬业中学校考期中）直线21210axay的倾斜角的取值范围是（）A．π0,4B．ππ,42C．π3π,44D．π3π0,,π44练习1．（2023秋·高二课时练习）若如图中的直线123,,lll的斜率为123,,kkk，则（）A．123kkkB．312kkkC．213kkkD．321kkk练习2．（2023秋·高三课时练习）对于下列命题：①若是直线l的倾斜角，则0180；②若直线倾斜角为，则它斜率tank；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4练习3．（2023秋·高三课时练习）直线l的斜率为k，且33,3k，则直线l的倾斜角的取值范围是__________．练习4．（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）已知等腰直角三角形斜边上的高所在直线的斜率为3，则该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为________，________.练习5．（2022秋·高三课时练习）（多选）若直线l与x轴交于点A，其倾斜角为，直线l绕点A顺时针旋转45°后得直线1l，则直线1l的倾斜角可能为（）A．45B．135C．45D．135题型二直线与线段的相交关系求斜率范围例3．（2023·全国·高三专题练习）若实数x、y满足3yx，11x，则代数式32yx的取值范围为______例4．（2023秋·高三课时练习）直线:10laxy与连接(2,3),(3,2)AB的线段相交，则a的取值范围是（）A．[1,2]B．[2,)(,1)C．[2,1](2,3)D．(,2][1,)练习6．（2022秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）已知点2,3,3,2AB，若直线20axy与线段AB没有交点，则a的取值范围是（）A．54,,23B．45,32C．54,23D．45,,32练习7．（2023秋·高三课时练习）如图，已知两点2,3,3,0AB，过点1,2P的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．练习8．（2023·全国·高三对口高考）已知点1,1,2,2PQ，若直线:l0xmym与PQ的延长线（有方向）相交，则m的取值范围为_________．练习9．（2022·全国·高二专题练习）已知(1,2)A,(2,4)B，点(,)Pxy是线段AB上的动点，则yx的取值范围是______.练习10．（2022秋·福建泉州·高三校考阶段练习）（多选）若直线l经过点(1,2)A，在x轴上的截距的取值范围是()3,3，则直线l斜率的取值可能是（）A．12B．2C．1D．12题型三求直线的方程例5．（2023秋·高二课时练习）由下列各条件，写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是12，经过点(8,2)A；(2)经过点(4,2)B，平行于x轴；(3)在x轴和y轴上的截距分别是3,32；(4)经过两点(3,2),(5,4)AB；(5)在x轴上的截距是7，倾斜角是45；(6)倾斜角为60，与y轴的交点到x轴的距离是3．例6．（2023·高三课时练习）已知直线l的倾斜角为，3sin5，且这条直线经过点3,5P，求直线l的一般式方程．练习11．（2023秋·高三课时练习）经过点(0,1)，且倾斜角为60的直线的一般式方程为（）A．310xyB．310xyC．310xyD．310xy练习12．（2022秋·高三校考课时练习）直线1:0laxyb和直线2:0lbxya在同一平面直角坐标系中的图像有可能是（）A．B．C．D．练习13．（2022秋·高三校考课时练习）已知ABC的三个顶点分别为1,1,3,1,4,5ABC，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为()A．230xyB．230xyC．230xyD．230xy练习14．（2023·全国·高三对口高考）过点2,1P作直线l分别交x，y的正半轴于A，B两点．(1)求ABO面积的最小值及相应的直线l的方程；(2)当OAOB取最小值时，求直线l的方程；(3)当PAPB取最小值时，求直线l的方程．练习15．（2023春·上海徐汇·高三上海中学校考期中）过点3,0P作一条直线l，它夹在两条直线1l：220xy和2l：30xy之间的线段恰被点P平分，则直线l的方程为（）A．8240xyB．8240xyC．8240xyD．8240xy题型四直线的定点问题例7．（2022·全国·高三专题练习）直线13kxyk，当k变动时，所有直线恒过定点坐标为（）A．0,0B．0,1C．3,1D．2,1例8．（2023·全国·高二对口高考）以下关于直线310xay的说法中，不正确的是（）A．直线310xay一定不经过原点B．直线310xay一定不经过第三象限C．直线310xay一定经过第二象限D．直线310xay可表示经过点1,03的所有直线练习16．（2023·全国·高三专题练习）直线130kxyk，当k变动时，所有直线都通过定点（）A．3,1B．0,1C．0,0D．2,1练习17．（2022秋·福建福州·高二福建省连江第一中学校联考期中）已知向量31axn，，12bny，，且ab．若点xy，的轨迹过定点，则这个定点的坐标是（）A．23，B．32，C．32，D．32，练习18．（2023春·上海长宁·高三上海市第三女子中学校考期中）直线62140mxmym（mR）必过点________.练习19．（2023春·上海浦东新·高三上海师大附中校考阶段练习）已知实数,,abc成等差数列，则直线0axbyc++=必过定点______.练习20．（2023春·湖南·高三临澧县第一中学校联考期中）已知O为坐标原点，直线1l：20xmy与2l：20mxym交于点P，则OP的值为________．题型五直线与坐标轴围成的三角形问题例9．（2023春·湖南常德·高三常德市一中校考期中）已知直线l的方程为1520Raxyaa．(1)求直线l过的定点P的坐标；(2)直线l与x轴正半轴和y轴正半轴分别交于点A，B，当AOB面积最小时，求直线l的方程；例10．（2023秋·高三课时练习）过点(2,4)P且在坐标轴上的截距相等的直线一般式方程为__________．练习21．（2022秋·高三校考课时练习）过点(2，0)，且在两坐标轴上截距之和等于6的直线方程是____.练习22．（2023·上海·高三专题练习）求过点2,3P，并且在两轴上的截距相等的直线方程_______．练习23．（2022秋·安徽六安·高三校考阶段练习）已知直线l经过点5,4P且l与两坐标轴围成的三角形的面积为5，则直线l的方程为__________.练习24．（2023春·四川内江·高三四川省资中县第二中学校考开学考试）已知直线:231370laxaya，Ra.(1)证明直线l过定点A，并求出点A的坐标；(2)在（1）的条件下，若直线l过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12，求直线l的方程.练习25．（2022秋·安徽六安·高三校考阶段练习）若直线l与直线431xy平行，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大7，求直线l的方程.题型六直线平行或垂直例11．（2022秋·高二校考课时练习）与直线2yx垂直，且在x轴上的截距为2的直线的斜截式方程为（）.A．2yxB．2yxC．2yxD．4yx例12．（2023·高三课时练习）已知直线1:20lxay和2:(2)360laxya，若12ll//，则a___________．练习26．（2023·河南郑州·校考模拟预测）已知直线l与直线210xy垂直，若直线l的倾斜角为，则3πsinsin2（）A．35B．12C．12D．25练习27．（2022秋·四川泸州·高三统考期末）点(0,0)与点(2,2)关于直线l对称，则l的方程是（）A．20xyB．20xyC．20xyD．20xy练习28．（2023·全国·高三对口高考）直线1:60lxmy和2:2320lmxym，当m________时，12ll∥；当m________时，12ll；当m________时，1l与2l相交．练习29．（2023秋·高三课时练习）已知直线10mxny平行于直线4350xy，且在y轴上的截距为13，则m，n的值分别为__________和__________．练习30．（2023秋·青海西宁·高三统考期末）已知直线123:210,:370,:210lxylxaylbxy，若12ll且23//ll，则ab的值为（）A．5B．5C．7D．7题型七距离公式的应用例13．（2022秋·广东揭阳·高三校考期中）直线l过点2,1P.求分别满足下列条件的直线方程.(1)若直线l与直线10xy平行；(2)若点1,2A到直线l的距离为1.例14．（2023·全国·高三对口高考）过点0,1P且和3,3,5,1AB的距离相等的直线方程是_________．练习31．（2023春·河南洛阳·高三校考阶段练习）两条平行线1:3460lxy，2912100lxy:间的距离等于（）A．815B．715C．415D．215练习32．（2022秋·高三单元测试）已知直线过点1,2A，且原点到这条直线的距离为1，则这条直线的方程是（）A．3450xy和1xB．4350xy和1yC．3450xy和1yD．4350xy和1x练习33．（2022秋·高三校考课时练习）若点A在直线2330xy上，且点A到直线20xy的距离为5，则点A的坐标为________________.练习34．（2023·全国·高三对口高考）过点0,1P且和3,3,5,1AB的距离相等的直线方程是_________．练习35．（2023秋·高三课时练习）在直线20xy上求一点P，使它到点(5,8)M的距离为5，并求直线PM的方程.题型八对称问题例15．（2022秋·高三校考课时练习）已知点A（a+2，b+2）和B（b-a，-b）关于直线4x+3y=11对称，则a，b的值为（）.A．a=-1，b=2B．a=4，b=-2C．a=2，b=4D．a=4，b=2例16．（2022秋·安徽六安·高三校考阶段练习）已知直线1l的方程为240xy.（1）若直线1l和直线2l关于点0,0对称，求直线2l的方程__________；（2）若直线1l和直线2l关于直线yx对称，求直线2l的方程__________.练习36．（2023秋·上海奉贤·高