专题9.3 椭圆（解析版）

专题9.3椭圆题型一椭圆的定义题型二椭圆的标准方程题型三椭圆的焦点三角形题型四距离和差的最值问题题型五椭圆的简单几何性质题型六求椭圆离心率题型七求椭圆离心率的取值范围题型一椭圆的定义例1．（2023秋·高三课时练习）已知点P为椭圆22:143xyC上动点，12,FF分别是椭圆C的焦点，则12PFPF的最大值为（）A．2B．3C．23D．4【答案】D【分析】由椭圆的定义可得124PFPF，结合12212()2PFPFPFPF，即可求解.【详解】由椭圆22:143xyC，可得24a，所以2a，又由椭圆的定义可得1224PFPFa，因为1222124()()422PFPFPFPF，当且仅当12PFPF时，等号成立，所以12PFPF的最大值为4.故选：D.例2．（2021秋·高三单元测试）在平面直角坐标系xOy中，已知点3,0A和3,0C，点B在椭圆2212516xy上，则sinsinsinACB=________，AB的最小值是________．【答案】53/2132【分析】根据椭圆的定义结合正弦定理可求得sinsinsinACB的值，根据椭圆的几何性质可求得AB的最小值.【详解】由已知2212516xy得225,4,543abc，故点A，C为椭圆2212516xy的焦点，由正弦定理及椭圆的定义可得sinsin255sin63BCABACBAC，当B点位于椭圆的左顶点时，AB最小，最小值是532ac==，故答案为：53；2练习1．（2022秋·高二课时练习）已知5,0,5,0AB，动点C满足10ACBC＋，则点C的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．线段D．点【答案】C【分析】由10ACBCAB，作出判断即可．【详解】因为5,0,5,0AB，所以10ACBCAB，知点C的轨迹是线段AB．故选：C.练习2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆22:12516xyC，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则||||ANBN（）A．10B．15C．20D．25【答案】C【分析】根据题意，画出图像，结合条件可得12ANDF，22BNDF，再结合椭圆的定义即可得到结果.【详解】设MN的中点为D，椭圆的左右焦点分别为12,FF，则D为MN的中点，1F为MA的中点，所以12ANDF，同理22BNDF，所以122420ANBNDFDFa.故选:C练习3．（2021秋·高三课时练习）平面内有一个动点M及两定点A，B．设p：MAMB为定值，q：点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．那么（）A．p是q的充分不必要条件B．p是q的必要不充分条件C．p是q的充要条件D．p既不是q的充分条件，又不是q的必要条件【答案】B【分析】根据MAMB为定值，且定值大于AB时轨迹才是椭圆，从而得到答案.【详解】当MAMB为定值时，若定值大于AB时，点M轨迹是椭圆，若定值等于AB，点M轨迹是线段，若定值小于AB，则轨迹不存在；当点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆时，MAMB必为定值；所以pq，但qp，故p为q的必要不充分条件．故选：B练习4．（2023春·山东青岛·高三统考开学考试）已知12,FF为椭圆22:14xCy的左、右焦点，点P在C上，则1248||||PFPF的最小值为___________．【答案】322/223【分析】利用椭圆的定义和基本不等式直接求最值.【详解】因为点P在椭圆22:14xCy上，所以12||||=24PFPFa，所以12||||=144PFPF.所以121212||||4848||||||||44PFPFPFPFPFPF122184=1244PFPFPFPF12212||||=12||||PFPFPFPF12212||||32||||PFPFPFPF322（当且仅当12211224PFPFPFPFPFPF，即12424842PFPF时等号成立）.所以1248||||PFPF的最小值为322.故答案为：322.练习5．（2023·全国·高三专题练习）已知动点,Pxy满足2222522xyxyaa（a为大于零的常数）﹐则动点P的轨迹是（）A．线段B．圆C．椭圆D．直线【答案】C【分析】根据题意，结合椭圆的定义即可得到结果.【详解】222xy的几何意义为点,Pxy与点(0,2)A间的距离，同理222xy的几何意义为点,Pxy与点(0,2)B间的距离，且AB4又由a为大于零的常数，可知552254aaaa，当且仅当5aa，即5a时取等，故22225224xyxyaa，即动点P到点A与到点B的距离之和为定值，且大于AB，所以动点P的轨迹为椭圆，故选：C.题型二椭圆的标准方程例3．（2023秋·高二课时练习）常数0a，椭圆22222xaya的长轴长是短轴长的3倍，则a的值为__________．【答案】3或13【分析】分1a，01a讨论，根据条件列出等式，即求.【详解】由椭圆22222xaya，可得椭圆222122xya，当1a时，222122xya表示焦点在x轴上的椭圆，∴222322a，即3a，当01a时，222122xya表示焦点在y轴上的椭圆，∴222322a，即13a，综上，实数a的值为3或13.故答案为：3或13.例4．（2021秋·高二课时练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)一个焦点坐标为(30)，，离心率34e；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；(3)求经过点M(1,2)，且与椭圆221126xy有相同离心率的椭圆的标准方程．【答案】(1)216x＋27y＝1(2)232x＋216y＝1(3)29x＋292y＝1或26y＋23x＝1【分析】（1）根据椭圆的焦点结合离心率求得,ac的值，进一步计算得到椭圆的方程；（2）根据题意得出12AFA△为等腰直角三角形，得到4cb，再由222abc，求得2a的值，即可求得椭圆的方程；（3）由所求椭圆与椭圆221126xy有相同离心率，得到222ab，分类讨论，即可求得椭圆的方程.【详解】（1）（1）依题意，焦点在x轴上，且c＝3，又34e，则a＝4，∴b2＝a2－c2＝42－32＝7，∴椭圆的方程为221167xy．（2）设椭圆方程为22221(0)xyabab，如图所示，由一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8，可得12AFA△为等腰直角三角形，OF为斜边12AA的中线(高线)，又由12,2OFcAAb，所以4cb，所以22232abc，故所求椭圆的方程为2213216xy.（3）由题意，椭圆221126xy，可得长半轴212a，短半轴26b，226211221aeb，因为所求椭圆22221xyab与椭圆221126xy有相同离心率，可得222112bea，解得2212ba，即222ab，当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为222212xybb，将点(1,2)M代入椭圆的方程，可得221412bb，解得292b，所以椭圆的方程为221992xy；当椭圆的焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为222212yxbb，将点(1,2)M代入椭圆的方程，可得224112bb，解得23b，所以椭圆的方程为22163yx，综上可得，椭圆的方程为221992xy或22163yx.练习6．（2023·全国·高三对口高考）根据下列条件求椭圆的标准方程(1)两个焦点的坐标分别是4,0、4,0，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；(2)两个焦点的坐标分别是0,2、0,2，并且椭圆经过点35,22；(3)椭圆经过两点35,22，3,5；(4)离心率为32且过点2,0；【答案】(1)221259xy(2)221106yx(3)221106yx(4)2214xy或221164yx【分析】（1）依题意可得a、c，即可求出b，从而得解；（2）依题意可得2c，根据椭圆的定义及两点的距离公式求出a，即可求出b，从而得解；（3）设椭圆方程为221mxny,0nm，代入点的坐标得到方程组，求出参数的值，即可得解；（4）分焦点在x轴、y轴两种情况讨论，分别计算可得.【详解】（1）依题意4c、210a，所以5a，则223bac，所以椭圆方程是221259xy.（2）依题意椭圆的焦点在y轴上，2c．又椭圆经过点35,22，222235352222102222a，所以10a，则226bac，椭圆方程是221106yx.（3）设椭圆方程为221mxny,0nm，依题意可得351925144mnmn，解得16110mn，所以椭圆方程是221106yx.（4）若焦点在x轴上，则2a，又离心率32cea，所以3c，则221bac，所以椭圆方程为2214xy；若焦点在y轴上，则2b，又离心率32cea，222cab，解得216a，所以椭圆方程为221164yx；综上可得，所求椭圆方程为2214xy或221164yx.练习7．（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）若椭圆2C的焦点在y轴上，且与椭圆1C：22142xy的离心率相同，则椭圆2C的一个标准方程为______.【答案】2212yx（答案不唯一）【分析】先求得椭圆1C：22142xy的离心率，进而可以得到椭圆2C的一个标准方程.【详解】椭圆1C：22142xy的离心率为42222e.则焦点在y轴上离心率为22的椭圆2C可取：2212yx.故答案为：2212yx练习8．（2023秋·高三课时练习）若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为3，则这个椭圆的方程为（）A．221129xyB．221129xy或221912xyC．2213612xyD．以上都不对【答案】B【分析】由短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形可得3bc，由焦点到椭圆上点的最短距离为ac，结合222abc可得.【详解】由题意，当椭圆焦点在x轴上，设椭圆方程为：22221xyab，由题意3bc，3ac，所以22242abccc，3c，23a，3b，所以椭圆方程为：221129xy，当椭圆焦点在y轴上时，同理可得：221912xy，故选：B练习9．（2023秋·高二课时练习）已知12,FF分别为椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点，点P在椭圆上，2POF（O为坐标原点）是面积为3的正三角形，则此椭圆的方程为__________．【答案】22123423xy【分析】不妨设点P位于第一象限，且2(,0)Fc，由题意得到2334c，解得2c，结合椭圆的定义，求得13a，得到223b，即可求得椭圆的方程.【详解】不妨设点P位于第一象限，且2(,0)Fc，因为2POF是面积为3的正三角形，可得2334c，解得2c，所以12(1,3),(2,0),(2,0)PFF，由椭圆的定义得22221221230+1230=2+23aPFPF，所以13a，则22223bac，所以椭圆的标准方程