专题9.5 抛物线（解析版）

专题9.5抛物线题型一抛物线的定义与方程题型二抛物线方程与位置特征题型三距离的最值问题题型四实际问题中的抛物线题型五抛物线中的三角形和四边形问题题型六抛物线的简单几何性质题型一抛物线的定义与方程例1．（2023秋·高二课时练习）过抛物线焦点F的直线与抛物线交于P，Q两点，若P，Q在抛物线准线上的射影为11,PQ，则11PFQ等于（）A．45B．60C．90D．30【答案】C【分析】由抛物线的定义及内错角相等，可得11180PPFQQF，111234360PPFQQF，可得答案.【详解】由于,PFQF为焦半径，所以11,PFPPQFQQ，题中求的是角，故把边转化到角，如图，则12,34，11PPQQ∥，11180PPFQQF，又111234360PPFQQF，所以2224180，2+4=90，从而1190PFQ.故选：C例2．（2023·山东烟台·统考三模）设抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F，点,0Dp，过点F的直线交C于,MN两点，直线MD垂直x轴，3MF，则NF________．【答案】32【分析】根据抛物线定义求出2p，再设直线MN的方程为1xmy，得到韦达定理式，求出N点横坐标，再利用抛物线定义即可求出NF的长.【详解】由题意得,02pF,因为直线MD垂直于x轴,(,0)Dp,准线方程为2px，所以M点的横坐标为p,设1122,,,MxyNxy，根据抛物线的定义知13322pMFxp，解得2p，则2:4Cyx，则1,0F，可设直线MN的方程为1xmy，联立抛物线方程有214xmyyx可得2440ymy，21216160,4myy，则212121616yyxx，则23216x，解得212x，则2131222pNFx，故答案为：32.练习1．（2023秋·高三课时练习）抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点(5,)m到焦点的距离是6，则抛物线的方程为（）A．22yxB．24yxC．22yxD．24yx或236yx【答案】B【分析】由已知，抛物线开口向左，设其方程为22ypx，则准线方程为2px，由条件结合抛物线的定义求出p的值即可.【详解】由已知，抛物线开口向左，设其方程为22ypx,0p，则准线方程为2px，由抛物线的定义知，点(5,)m到焦点的距离是526p，所以2p，所以抛物线的方程是：24yx，故选：B.练习2．（2021秋·高三课时练习）分别求符合下列条件的抛物线方程:(1)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且过点2,3A;(2)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为52.【答案】(1)292yx或243xy(2)25yx或25yx或25xy或25xy【分析】（1）由题意方程可设为2ymx或2xny,将2,3A代入求解即可;（2）根据抛物线的定义焦点到准线的距离为52,即52p,写出抛物线方程即可.【详解】（1）由题意,方程可设为2ymx或2xny,将点2,3A的坐标代入,得232m或223n,∴92m或43n,∴所求的抛物线方程为292yx或243xy.（2）由焦点到准线的距离为52,可知52p,∴所求抛物线方程为25yx或25yx或25xy或25xy.练习3．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，ADl于D.若2,60AFDAF，则抛物线C的方程为（）A．28yxB．24yxC．22yxD．2yx【答案】C【分析】根据抛物线的定义求得2DF，然后在直角三角形中利用60DAF可求得2p，从而可得答案．【详解】如图，连接DF，设准线与x轴交点为M抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为,02pF，准线l：2px又抛物线的定义可得AFAD，又60DAF，所以DAF△为等边三角形，所以2DFAF，60DFM所以在RtDFM中，222DFMFp，则1p，所以抛物线C的方程为22yx.故选：C.练习4．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知抛物线24yx与圆22(1)1xy，过抛物线的焦点F作斜率为k的直线l与抛物线交于,AD两点，与圆交于,BC两点（,AB在x轴的同一侧），若4ABCD，则2k的值是___________．【答案】8【分析】根据给定条件，写出直线l的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理并结合圆的性质及向量等式求解作答.【详解】抛物线24yx的焦点(1,0)F，准线方程为=1x，于是直线l：(1)ykx，显然0k，由2(1)4ykxyx消去y得：2222(24)0kxkxk，设1122(,),(,)AxyDxy，则1212242,1xxxxk，又圆22(1)1xy的圆心为(1,0)F，半径为1，由4ABCD，得|4|||ABCD，即||14(||1)AFDF，于是12(1)14[(1)1]xx，整理得124xx，又121xx，解得1212,2xx，则1224522xxk，解得28k，所以2k的值是8.故答案为：8练习5．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知F是抛物线2:8Cyx的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若2FMMN，则FN___________【答案】4【分析】先求出准线l方程为2x，根据抛物线定义把焦半径转化为焦点到准线距离，在直角梯形AFND中由平行线得比练习线段，从而可得BM，即MF，从而可得FN．【详解】易知焦点F的坐标为2,0，准线方程为2x，如图，作MBl于B，NDl于D，2FMMN，可知线段BM平行于AF和DN，因为2DN，4AF，2123BMMNNF，所以83BM，又由定义知83BMMF，所以4FNMNFM.故答案为：4.题型二抛物线方程与位置特征例3．（2023·陕西渭南·统考二模）将抛物线2ymx绕其顶点顺时针旋转90之后，正好与抛物线22yx重合，则m（）A．12B．12C．-2D．2【答案】A【分析】根据抛物线旋转规律可得，其焦点坐标从x轴负半轴旋转到y轴正半轴，即可得12m.【详解】根据题意可得抛物线2ymx的焦点坐标为,04m，抛物线22yx的标准方程为212xy，可得其焦点坐标为10,8，易知,04m绕原点顺时针旋转90之后得到10,8，即可得148m，解得12m.故选：A例4．（2023秋·高二课时练习）已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点和准线方程：(1)26yx；(2)2250yx．【答案】(1)焦点为3,02，准线方程为32x；(2)焦点为5,08，准线方程为58x．【分析】（1）根据抛物线标准方程即可判断焦点位置及3p，进而写出焦点坐标和准线方程；（2）将抛物线2250yx化成标准方程可得252yx，即可写出焦点坐标和准线方程；【详解】（1）由抛物线方程为26yx，可得3p，且焦点在x轴正半轴上，所以可得其焦点为3,02，准线方程为32x；（2）将2250yx化成标准方程为252yx，可得54p，且焦点在x轴负半轴上，所以焦点为5,08，准线方程为58x.练习6．（2023春·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）在同一坐标系中，方程22221xyab与200axbyab的曲线大致是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】结合椭圆和抛物线的标准方程定义判断即可.【详解】由0ab，则方程22221xyab表示焦点在x轴上的椭圆，方程20axby化为2ayxb，由于0ab，则方程表示焦点在x轴上开口向左的抛物线.故选：A.练习7．（2022·高三单元测试）已知0mn，则方程221mxny与2nymx在同一坐标系内对应的图形编号可能是（）A．①④B．②③C．①②D．③④【答案】B【分析】结合椭圆、双曲线、抛物线的图像，分别对①②③④分析m、n的正负，即可得到答案.【详解】对于①：由双曲线的图像可知：0,0mn；由抛物线的图像可知：,mn同号，矛盾.故①错误；对于②：由双曲线的图像可知：0,0mn；由抛物线的图像可知：,mn异号，符合要求.故②成立；对于③：由椭圆的图像可知：0,0mn；由抛物线的图像可知：,mn同号，且抛物线的焦点在x轴上，符合要求.故③成立；对于④：由椭圆的图像可知：0,0mn；由抛物线的图像可知：,mn同号，且抛物线的焦点在x轴上，矛盾.故④错误；故选：B练习8．（2022·高三课时练习）根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画图：(1)准线方程为32y；(2)焦点在x轴上且其到准线的距离为6；(3)对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2；(4)对称轴是y轴，经过点()1,2-．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析；(4)答案见解析.【分析】（1）根据抛物线的准线方程为32y，得到322p且焦点在y轴上求解；（2）根据焦点在x轴上且其到准线的距离为6，得到6p=求解；（3）根据对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2，得到22p求解；（4）根据对称轴是y轴，设抛物线方程为2xay，将点()1,2-代入求解.(1)解：因为抛物线的准线方程为32y，所以322p，p=3，所以抛物线的方程是26xy；其图象如下：(2)因为焦点在x轴上且其到准线的距离为6，所以6p=，所以抛物线的方程是212yx或212yx；其图象如下：(3)因为对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2所以22p，p=4，所以抛物线的方程是28yx或28yx；其图象如下：(4)因为对称轴是y轴，设抛物线方程为2xay，因为抛物线经过点()1,2-，所以212a，解得12a，所以抛物线的方程是212xy，其图象如下：练习9．（2023·全国·模拟预测）十一世纪，波斯（今伊朗）诗人奥马尔·海亚姆（约1048-1131）发现了三次方程32(0)xaxbb的几何求解方法，如图是他的手稿，目前存放在伊朗的德黑兰大学．奥马尔采用了圆锥曲线的工具，画出图像后，可通过测量的方式求出三次方程的数值解．在平面直角坐标系xOy上，画抛物线2xay，在x轴上取点2,0(0)bCba，以OC为直径画圆，交抛物线于点P．过P作x轴的垂线，交x轴于点Q．下面几个值中，哪个是方程32xaxb的解？（）A．||OQB．||QPC．||QCD．||OP【答案】A【分析】求出圆的方程，联立圆与抛物线的方程求出P的横坐标满足的方程可得解.【详解】由题意，圆的方程为2222424bbxyaa，如图，联立22224224bbxyaaxay，消去y可得：244224440axaxabx，即32()0xxaxb，可得0x或320xaxb，即P点的横坐标满足方程320xaxb，故Q点的横坐标||OQ可以满足的方程32xaxb.故选：A练习10．（2022·高三单元测试）（多选）已知0mn，则方程221mxny与2nymx在同一坐标系内对应的图形可能是（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】先将方程化为标准方程得22111xymn，2myxn，再根据抛物线图形与椭圆或双曲线图形判断即可.【详解】解：将对应方程化为标准方程得22111