专题9.4 双曲线（解析版）

专题9.4双曲线题型一双曲线的定义题型二求双曲线的标准方程题型三根据方程为圆、椭圆、双曲线进行求参数范围题型四双曲线的焦点三角形题型五距离和差的最值问题题型六双曲线的简单几何性质题型七双曲线的离心率题型八双曲线的渐近线题型一双曲线的定义例1．（2021秋·高二课时练习）已知1F、2F是双曲线221169xy的焦点，PQ是过焦点1F的弦，那么22PFQFPQ的值是________．【答案】16【分析】由双曲线的定义可得答案.【详解】由双曲线方程得，28a，由双曲线的定义得2128PFPFa，①2128QFQFa，②①＋②，得221116PFQFPFQF，所以2216PFQFPQ．故答案为：16.例2．（2021秋·高三课时练习）（多选）已知12(3,0),(3,0)FF，满足条件1221PFPFm的动点P的轨迹是双曲线的一支．则下列数据中，m可以是（）A．12B．2C．1D．3【答案】BC【分析】根据题意，结合双曲线的定义，列出不等式组216210mm，即可求解.【详解】由双曲线的焦点坐标12(3,0),(3,0)FF，可得26c，要使得满足条件1221PFPFm的动点P的轨迹是双曲线的一支，则满足216210mm，解得5722m且12m，结合选项，选项B、C符合题意.故选：BC.练习1．（2023·四川达州·统考二模）设1F，2F是双曲线C：22143xy的左、右焦点，过2F的直线与C的右支交于P，Q两点，则11||FPFQPQ（）A．5B．6C．8D．12【答案】C【分析】由双曲线的定义知1224FPPFa，1224FQQFa，则11||FPFQPQ1212FPPFFQQF，即可得出答案.【详解】双曲线C：22143xy，则24a，2a，由双曲线的定义知：1224FPPFa，1224FQQFa，22PQPFQF，所以111122FPFQPQFPFQPFQF12128FPPFFQQF.故选：C.练习2．（2022秋·高三课时练习）与圆221xy及圆228120xyx都外切的圆P的圆心在（）A．一个椭圆上B．一个圆上C．一条直线上D．双曲线的一支上【答案】D【分析】根据题意，分别画出两个圆的图形，然后结合图形和双曲线定义即可判断.【详解】由228120xyx，得2244xy，画出圆221xy与2244xy的图像如图，设圆P的半径为r，∵圆P与圆O和圆M都外切，∴2PMr，1POr，则14PMPO，∴根据双曲线定义知点P在以O，M为焦点的双曲线的左支上.故选：D练习3．（2021秋·高三课时练习）已知动点,Pxy满足222xy2222xy，则动点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线左支C．双曲线右支D．一条射线【答案】C【分析】根据222xy2222xy表示动点,Pxy到点2,0与2,0的距离之差为2，再结合双曲线的定义求解.【详解】解：因为222xy2222xy的几何意义是动点,Pxy到点12,0F与22,0F的距离之差为2，又因为1224FF，所以由双曲线的定义，知动点P的轨迹是双曲线右支．故选：C练习4．（2023秋·高二课时练习）平面内到两个定点12,FF的距离之差的绝对值等于12FF的点的轨迹是（）A．双曲线B．两条射线C．一条线段D．一条直线【答案】B【分析】直接分析即可得结果.【详解】如图：设动点为P，P到两个定点12,FF的距离之差的绝对值为d，则若P在线段12FF（不包含两端点）上，有12dFF；若P在直线12FF外，有12dFF；若P在线段12FF的延长线上或线段12FF的反向延长线上（均包含两端点），则有12dFF.故选：B练习5．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线C：22194xy，点M与曲线C的焦点不重合．已知M关于曲线C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在曲线C右支上，则ANBN的值为______．【答案】12【分析】根据已知条件，作出图形，MN的中点连接双曲线的两个焦点，便会得到三角形的中位线，根据中位线的性质及双曲线的定义，即可求得ANBN.【详解】设双曲线22194xy的实半轴长为a，则3a，设双曲线C的左右焦点分别为12,FF，设MN的中点为P，连接12,PFPF.∵1F是MA的中点，P是MN的中点，∴1FP是MAN△的中位线，∴112PFAN.同理212PFBN，∴122ANBNPFPF，∵P在双曲线上，根据双曲线的定义知：1226PFPFa，∴12ANBN.故答案为：12.题型二求双曲线的标准方程例3．（2023·全国·高三专题练习）2023年3月27日，贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛火爆开赛，被网友称为“村BA”.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，2ABBCCD，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（）A．22719yxB．2221xyC．22917yxD．22314yx【答案】A【分析】设双曲线方程为22221(0,0)xyabab，由2BC，可得1a，再代入点33(,)22，求解即可.【详解】解：依题意，设双曲线方程为22221(0,0)xyabab，因为2BC，则1a，显然圆O的半径为3，又因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，双曲线与圆O交于第一象限内的点为33(,)22，于是2223()32()12b，解得297b，所以双曲线的方程为22719yx.故选：A例4．（2023秋·高三课时练习）根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)以椭圆221169xy短轴的两个端点为焦点，且过点(4,5)A；(2)经过点(3,27)P和(62,7)Q．【答案】(1)22154yx(2)2212575yx【分析】（1）根据题意首先确定其焦点坐标为0,3,0,3，设出标准方程将(4,5)A带入即可求得结果；（2）设双曲线方程的一般形式为221,0mxnymn，将,PQ两点代入解方程即可求得其标准方程为2212575yx.【详解】（1）易知椭圆221169xy短轴的两个端点坐标为0,3,0,3；所以双曲线焦点在y轴上，可设双曲线的标准方程为22221yxab，且229ab，点(4,5)A在双曲线上，即2225161ab，解得225,4ab；所以双曲线的标准方程为22154yx.（2）设双曲线方程为221,0mxnymn，将,PQ两点代入可得928172491mnmn，解得11,7525mn；所以双曲线的标准方程为2212575yx.练习6．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）若双曲线C：222210,0xyabab其中一条渐近线的斜率为2，且点3,2在C上，则C的标准方程为（）A．22128xyB．22182yxC．2212yxD．22513xy【答案】A【分析】根据双曲线一条渐近线的斜率可得2ba，将点3,2的坐标代入方程222214xyaa，即可求得答案.【详解】由题意可得2ba，所以2ba，把点3,2的坐标代入方程222214xyaa，得222341,24aaa，所以28b，则C的标准方程为22128xy，故选：A练习7．（2023秋·高三课时练习）已知双曲线过点2,0，且与椭圆224936xy有公共焦点，则双曲线的标准方程是（）A．2214yxB．2214xyC．2214yxD．2214xy【答案】B【分析】根据题意求得5c，2a，得到2221bca，进而求得双曲线的标准方程.【详解】由椭圆224936xy，可化为标准方程22194xy，可得12(5,0),(5,0)FF，因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以5c，又因为双曲线过点2,0，可得2a，则2221bca，所以双曲线的标准方程为2214xy.故选：B.练习8．（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab满足下列条件中的两个：①实轴长为4；②焦距为6；③离心率2e，则双曲线C的方程为___________.（写出一个正确答案即可）【答案】22145xy（或221412xy或22192744xy）【分析】根据所选择的两个条件，得到,,abc，即可求双曲线方程.【详解】若选①②，因为实轴长为4，所以2a，又焦距为6，所以3c，则22325b，故此时双曲线C的方程为22145xy；若选①③，因为2cea，得2ca，又实轴长为4，得2a，所以4c，则224223b，故此时双曲线C的方程为221412xy；若选②③，因为2cea，又焦距为6，所以3c，所以223333,3222ab，故此时双曲线C的方程为22192744xy.故答案为：22145xy（或221412xy或22192744xy）练习9．（2023·全国·高三对口高考）离心率为73且过点6,42的双曲线方程为______.【答案】2211216xy或2231520yx【分析】考虑双曲线焦点在x轴和在y轴上两种情况，根据离心率得到233ba，再将点的坐标代入方程得到答案.【详解】当双曲线的焦点在x轴上时，设方程为22221xyab.则73ca，所以222273caab，所以2243ba，即233ba，将6,42代入22221xyab得223632143aa，解得2212,16ab，所以所求双曲线的标准方程为2211216xy.当双曲线焦点在y轴上时，设方程为22221yxab.则73ca，所以222273caab，所以2243ba，即233ba，将6,42代入22221yxab得223236143aa，解得22205,3ab，所以所求双曲线的标准方程为2212053yx即2231520yx.综上，所求双曲线方程为2211216xy或2231520yx.故答案为：2211216xy或2231520yx.练习10．（2023·高三课时练习）动圆M过点2,0A，且与圆22430Cxyx：外切，则动圆圆心M的轨迹方程是______．【答案】224141152yxx【分析】由题知14MCMAAC，进而根据双曲线的定义求解即可.【详解】解：设动圆M的圆心为,Mxy，半径为r，圆22430Cxyx：的圆心为2,0C，半径为1R，因为动圆M过点2,0A，且与圆22430Cxyx：外切，所以，MAr，MCrR，所以14MCMAAC，所以，由双曲线的定义得M的轨迹是以,AC为焦点，实轴长为1的双曲线的右支，因为实轴长为1，焦点为2,0C，2,0A所以，动圆圆心M的轨迹方程是2211115244xyx，即224141152yxx故答案为：224141152yxx题型三根据方程为圆、椭圆、双曲线进行求参数范围例5．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知曲线22:sincos10πCxy，则下列说法正确的是（）A．若曲线C