专题9.6 直线与圆锥曲线（原卷版）

专题9.6直线与圆锥曲线题型一直线与圆锥曲线的位置关系题型二弦长问题题型三三角形（四边形）问题题型四中点弦问题题型五求参数范围及最值问题题型六定点问题题型七定值问题题型八定直线问题题型九圆锥曲线的切线问题题型一直线与圆锥曲线的位置关系例1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期末）已知直线1ykx与双曲线221xy没有公共点，则k的取值范围是（）A．,11,B．1,1C．,22,D．2,2例2．（2023春·上海浦东新·高三统考期中）已知椭圆22:1259xyC，直线:(2420)mxmylmmR，则直线l与椭圆C的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．不确定练习1．（2022秋·黑龙江绥化·高三海伦市第一中学校考期中）直线l：10axya与椭圆22132xy的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相切或相交练习2．（2023秋·高二课时练习）已知直线:(1)lykx，抛物线2:4Cyx，l与C有一个公共点的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．1条、2条或3条练习3．（2021秋·高三单元测试）讨论直线:1lykx与双曲线22:1Cxy的公共点的个数．练习4．（2023·河南·襄城高中校联考模拟预测）已知O为坐标原点，双曲线E：22221xyab（0a，0b）的左，右焦点分别为1F，2F，过左焦点1F作斜率为32的直线l与双曲线交于A，B两点（B在第一象限），P是AB的中点，若2ABF△是等边三角形，则直线OP的斜率为______．练习5．（2023·全国·高三对口高考）已知实数x，y满足：22134xy，则12xy的最大值为（）A．3B．2C．5D．5题型二弦长问题例3．（2023秋·贵州铜仁·高二统考期末）过抛物线220ypxp的焦点F作直线，交抛物线于13,Ay，22,By两点，若8AB，则p（）A．1B．2C．3D．4例4．（2023·全国·高三对口高考）过椭圆2219xy的左焦点作直线和椭圆交于A、B两点，且23AB，则这样直线的条数为（）A．0B．1C．2D．3练习6．（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆2219xy，过左焦点F作倾斜角为π6的直线交椭圆于A、B两点，则弦AB的长为_________．练习7．（2023·北京·人大附中校考三模）已知抛物线22(0)ypxp的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，10AB，AB的中点横坐标为4，则p_____________．练习8．（2023春·广东·高三统考开学考试）设抛物线2:4Eyx的焦点为F，过点F的直线与E相交于A，B两点，则2AFBF的最小值为（）A．322B．232C．3D．22练习9．（2023·山东·模拟预测）过双曲线222xy的左焦点作直线l，与双曲线交于,AB两点，若AB4，则这样的直线l有（）A．1条B．2条C．3条D．4条练习10．（2023春·上海奉贤·高三校考阶段练习）已知焦点在y轴上的椭圆C，过点(2,0)，离心率32e直线l:2yxb被椭圆C所截得的弦长为35，(1)求椭圆C的标准方程；(2)求实数b的值.题型三三角形（四边形）问题例5．（2023秋·高二课时练习）正方形ABCD的边AB在直线4yx上，C、D两点在抛物线2yx上，则正方形ABCD的面积为__________．例6．（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆22:13xCy的左、右焦点分别为1F，2F，直线yxm与C交于A，B两点，若1FAB△面积是2FAB△面积的2倍，则m（）．A．23B．23C．23D．23练习11．（2023秋·高二课时练习）已知经过椭圆22143xy的右焦点2F的直线AB的倾斜角为π4，交椭圆于A、B两点，1F是椭圆的左焦点，求1ABF的周长和面积．练习12．（2023·全国·模拟预测）如图，双曲线222:10yCxbb的左、右焦点分别为1F，2F，以12FF为直径的圆与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q，R，S四点.若213tan3PFF，则四边形PQRS的面积为（）A．43B．372C．37D．23练习13．（2023·全国·模拟预测）如图，已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为12,,FFP为双曲线右支上一点，且2FP的延长线交y轴于点A，且120FPFP，1APF△的内切圆半径为4，12PFF△的面积为9，则22AFPF（）A．18B．32C．50D．14练习14．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知抛物线2:8Cyx的焦点为F，过点F作两条互相垂直的直线1l，2l，且直线1l，2l分别与抛物线C交于A，B和D，E，则四边形ADBE面积的最小值是______________.练习15．（2023秋·高二单元测试）过抛物线24yx的焦点作倾斜角为3π4的直线，与抛物线交于P，Q两点，O为坐标原点，则POQ△的面积等于__________．题型四中点弦问题例7．（2023·全国·高三对口高考）直线10xy截椭圆22143xy所得弦的中点M与椭圆中心连线OM的斜率为_________．例8．（2023·全国·统考高考真题）设A，B为双曲线2219yx上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（）A．1,1B．()1,2-C．1,3D．1,4练习16．（2023秋·陕西西安·高三长安一中校考期末）设经过点3,0F的直线与抛物线212yx相交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为9，则AB（）A．18B．24C．30D．36练习17．（2022秋·高三课时练习）椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为22，则mn等于（）A．12B．22C．13D．33练习18．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线2222:10,0xyCabab的实轴长为4，离心率为2，直线l与C交于,AB两点，M是线段AB的中点，O为坐标原点．若点M的横坐标为1，则OM的取值范围为______．练习19．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）不与x轴重合的直线l经过点,00NNNxx，双曲线C：2221(0)yxbb上存在两点A，B关于l对称，AB中点M的横坐标为Mx，若4NMxx，则b的值为_________.练习20．（2023·全国·高三对口高考）中心在原点，一个焦点为10,52F的椭圆被直线32yx截得弦的中点的横坐标为12，则椭圆的方程为_________．题型五求参数范围及最值问题例9．（2023秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）已知双曲线22:1412xyC的左焦点为F，左顶点为A，T为左准线上动点，则FTA的最大值为（）A．π12B．π6C．π4D．π3例10．（2023秋·高三课时练习）已知抛物线21xy上三点A，B，C，且(1,0),AABBC当点B移动时，点C的横坐标的取值范围是（）A．(,3][1,)B．(,3)C．[1,)D．[3,1]练习21．（2023春·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考期中）已知抛物线C的焦点为F，点A，B在抛物线上，过线段AB的中点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为N，以AB为直径的圆过点F，则MNAB的最大值为________．练习22．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）已知,,abe是平面向量，1,0e，若非零向量a满足2aeae，向量b满足4bebe，则b的轨迹方程为__________；ab的最小值为__________.练习23．（2023秋·重庆·高三校联考期末）若点12,FF依次为双曲线2222:10,0xyCabab的左、右焦点，且126FF，10,Bb，20,Bb.若双曲线C上存在点P，使得121BPBP，则实数b的取值范围为__________.练习24．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）设1F、2F是椭圆22:142xyC的左、右焦点，点P是直线22x上一点，则12FPF的最大值是（）A．π6B．π4C．π3D．π2练习25．（2023春·四川德阳·高三德阳五中校考阶段练习）在同一平面直角坐标系中，曲线22:1Cxy按照伸缩变换12xxyy后得到曲线方程1C(1)求曲线1C的方程；(2)若过点(,0)P的直线l与椭圆交于相异的两点,AB，且2APPB，求实数的取值范围题型六定点问题例11．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知为O坐标原点，2,0,0,1,0,1,2,1ABCD，,,01OEOADFDA，CE和BF交点为P.(1)求点P的轨迹G；(2)直线(0)yxmm和曲线G交与MN，两点，试判断是否存在定点Q使14MQNQkk？如果存在，求出Q点坐标，不存在请说明理由.例12．（2023·全国·高三对口高考）已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，ABC的三个顶点都在抛物线上，且ABC的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线l的方程为4200xy．(1)求抛物线S的方程；(2)若O是坐标原点，P，Q是抛物线S上两动点，且满足POOQ．试说明动直线PQ是否过定点．练习26．（2023·全国·高三对口高考）在平面直角坐标中，设,Pxy，,4Mx，以线段PM为直径的圆经过原点O．(1)求动点P的轨迹W的方程；(2)过点0,4E作直线l与轨迹W交于A，B两点，点A关于y轴的对称点为A，试判断直线AB是否恒过定点．练习27．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知点M到点30,2F的距离比它到直线l：=2y的距离小12，记动点M的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)若过点F的直线交E于11,Axy，22,Bxy两点，则在x轴的正半轴上是否存在点P，使得PA，PB分别交E于另外两点C，D，且3ABCD？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由.练习28．（2023·安徽淮南·统考二模）双曲线22:10yCxtt的离心率为3，,AB分别是C的左，右顶点，P是C上异于,AB的一动点，直线,PAPB分别与y轴交于点,MN，请写出所有满足条件0QMQN的定点Q的坐标______________.练习29．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线2221(0)5xybb的一条渐近线的倾斜角的正切值为255.若直线ymxn（24m且245m）与双曲线交于A，B两点，直线OA，OB的斜率的倒数和为10m，则直线ymxn恒经过的定点为_____________.练习30．（2023·全国·高三对口高考）在平面直角坐标系xoy中，点B与点1,1A关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于13．(1)求动点P的轨迹方程；(2)设直线AP和BP分别与直线3x交于点M，N,问：是否存在点P使得PAB与PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．题型七定值问题例13．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）椭圆2222:1(0)xyCabab的焦距为2,,0,AaF为椭圆右焦点，3AF.(1)求椭圆C的方程与离心率；(2)设O为原点，P为椭圆上一点，AP的中点为M.直线OM与直线4x交于点D，过O且平行于AP的直线与直线4x交于点E.求证：ODFOEF.例14．（安徽省示范高中培优联盟2022-2023学年高二下学期春季联赛数学试题）已知双曲线的标准方程为22221(0,0)xyabab，其中点F为右焦点，过点F作垂直于x轴的垂线，在第一象限与双