专题9.7 求轨迹方程（原卷版）

专题9.7求轨迹方程题型一直接法题型二定义法题型三相关点法题型四交轨法题型五参数法题型六点差法题型七利用韦达定理求轨迹方程题型一直接法例1．（2022秋·高三课时练习）若动点P到定点1,0F和直线l：0y的距离相等，则动点P的轨迹是（）A．线段B．直线C．椭圆D．抛物线例2．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线:2lx与x轴交于点A，过l右侧的点P作PMl，垂足为M，且PAPMOA．(1)求点P的轨迹C的方程；练习1．（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考期中）在平面直角坐标系xOy中，6,0,6,1AB点P满足2POPA，则动点P的运动轨迹方程为__________；2PBPA的最小值为__________.练习2．（2023·山东泰安·统考模拟预测）点P到定点3,0F的距离与到253x的距离之比为35，则点P的轨迹方程为____，P与5,0,5,0AB连线的斜率分别为1K，2K，则2212KK的最小值为____.练习3．（2023秋·湖北·高二统考期末）已知平面内点P与两定点12(2,0),(2,0)QQ连线的斜率之积等于14．(1)求点P的轨迹连同点12,QQ所构成的曲线C的方程；练习4．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点10,2的距离，记动点P的轨迹为W．(1)求W的方程；练习5．（2022秋·高二课时练习）在直角坐标系xOy中，已知点2,2,2,2AB，直线AM，BM交于点M，且直线AM与直线BM的斜率满足：2AMBMkk.(1)求点M的轨迹C的方程;题型二定义法例3．（2023秋·高二课时练习）已知ABC的三边a，b，c成等差数列，且abc，A、C两点的坐标分别为(1,0),(1,0)，则顶点B的轨迹方程为__________．例4．（2023·广东广州·广州市培正中学校考模拟预测）如图，在ABC中，点1,0,1,0AB.圆I是ABC的内切圆，且CI延长线交AB于点D，若2CIID.(1)求点C的轨迹Ω的方程；练习6．（2023·全国·高三专题练习）已知圆A：2229xy（），圆B：2221xy（），圆C与圆A、圆B外切，求圆心C的轨迹方程;E练习7．（2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）已知点12,0F，圆222:(2)32Fxy，点Q在圆2F上运动，1QF的垂直平分线交2QF于点P.(1)求动点P的轨迹的方程C；练习8．（2023·上海·华师大二附中校考模拟预测）已知平面上的点,,,ABMN满足6,4,2,3ABMAMBNBNABMAN，则ABMN__________.练习9．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）（多选）设(20)A，，圆22:(2)4Bxy（B为圆心），P为圆B上任意一点，线段AP的中点为Q，过点Q作线段AP的垂线与直线BP相交于点R．当点P在圆B上运动时，点Q的轨迹为曲线1C，点R的轨迹为曲线2C，则下列说法正确的有（）A．曲线1C的方程为221xyB．当点Q在圆B上时，点Q的横坐标为14C．曲线2C的方程为2213yxD．1C与2C无公共点练习10．（2023·河南驻马店·统考二模）已知直线1lx轴，垂足为x轴负半轴上的点E，点E关于坐标原点O的对称点为F，且4EF，直线12ll，垂足为A，线段AF的垂直平分线与直线2l交于点B．记点B的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程．题型三相关点法例5．（2023春·上海徐汇·高三上海市徐汇中学校考期中）已知双曲线C的方程为2222xy．(1)直线yxm截双曲线C所得的弦长为42，求实数m的值；(2)过点()2,1-作直线交双曲线C于P、Q两点，求线段PQ的中点M的轨迹方程．例6．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知点(3,0)C，动点P满足：过点P作直线=1x的垂线，垂足为Q，且0OPCQuuuruuur，则PC的最小值为______．练习11．（2023·全国·高三专题练习）已知点P为圆2218xy上一动点，PQx轴于点Q，若动点M满足1233OMOPOQ,求动点M的轨迹C的方程；练习12．（2023·全国·高三专题练习）在直角坐标系xOy中，线段4MN，且两个端点M、N分别在x轴和y轴上滑动．求线段MN的中点C的轨迹方程；练习13．（2022秋·山东日照·高二校考阶段练习）已知圆C经过点3,11,3AB，且圆心C在直线320xy上.(1)求圆C方程；(2)若E点为圆C上任意一点，且点4,0F，求线段EF的中点M的轨迹方程.练习14．（2022秋·高二校考课时练习）设圆222220xyxy的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是_______.练习15．（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考期中）已知面积为16的正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴和y轴上滑动，O为坐标原点，3142OPOAOB，则动点P的轨迹方程是（）A．22132xyB．22194xyC．22148xyD．22184xy题型四交轨法例7．（2022秋·高三课时练习）如图，已知点A(-1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异于A，B两点的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.例8．（2023·湖南·校联考二模）已知12,FF为双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左右焦点，且该双曲线离心率小于等于72，点M和N是双曲线上关于x轴对称非重合的两个动点，12,AA为双曲线左右顶点，12124,27MFMFMAMF恒成立．(1)求该双曲线C的标准方程；(2)设直线1NA和2MA的交点为P，求点P的轨迹方程．练习16．（2022秋·山西阳泉·高三统考期末）已知过点8,0H的直线交抛物线2:8Eyx于,AB两点，O为坐标原点．(1)证明：OAOB；(2)设F为抛物线的焦点，直线AB与直线4x交于点M，直线MF交抛物线与,CD两点（,AC在x轴的同侧），求直线AC与直线BD交点的轨迹方程．练习17．（2023·全国·高三专题练习）已知MN是椭圆222210xyabab中垂直于长轴的动弦，,AB是椭圆长轴的两个端点，则直线AM和NB的交点P的轨迹方程为_______．练习18．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过4,04,02,3ABC､､三点.(1)求椭圆E的方程；(2)若过右焦点2F的直线l（斜率不为0）与椭圆E交于MN､两点，求直线AM与直线BN的交点的轨迹方程.练习19．（2023·吉林·统考模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左､右顶点分别为1,0,1,0AB，动直线l过点2,0M，当直线l与双曲线C有且仅有一个公共点时，点B到直线l的距离为22(1)求双曲线C的标准方程；(2)当直线l与双曲线C交于异于,AB的两点,PQ时，记直线AP的斜率为1k，直线BQ的斜率为2k.（i）是否存在实数，使得21kk成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（ii）求直线AP和BQ交点E的轨迹方程.练习20．（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线2:2(0)Cxpyp的焦点F到准线的距离为2，直线:4lykx与抛物线C交于,PQ两点，过点,PQ作抛物线C的切线12,ll，若12,ll交于点M，则点M的轨迹方程为__________.题型五参数法例9．（2022·全国·高三专题练习）已知点()1,0A，E，F为直线=1x上的两个动点，且AEAF，动点P满足//EPOA，//FOOP（其中O为坐标原点），求动点P的轨迹C的方程．例10．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，(3,0)A，(3,0)B，C是满足π3ACB的一个动点．求ABC垂心H的轨迹方程.练习21．（2023·广东·校联考模拟预测）已知抛物线21yx，定点(3,1)A，B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有:1:2BPPA，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为那种曲线．练习22．（2021·贵州·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，点2,1P和点26,2Q为椭圆C上两点.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）A，B为椭圆C上异于点P的两点，若直线PA与PB的斜率之和为0，求线段AB中点M的轨迹方程.练习23．（2011秋·辽宁·高二统考期中）如图，过抛物线（p＞0）的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB．⑴设OA的斜率为k，试用k表示点A、B的坐标⑵求弦AB中点M的轨迹方程练习24．（2021秋·辽宁抚顺·高二校联考期末）已知11,Axy，22,Bxy是抛物线2:4Cyx上两个不同的点，C的焦点为F．（1）若直线AB过焦点F，且221232yy，求AB的值；（2）已知点2,2P，记直线PA，PB的斜率分别为PAk，PBk，且1PAPBkk，当直线AB过定点，且定点在x轴上时，点D在直线AB上，满足0PDAB，求点D的轨迹方程．练习25．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线2214yx的中心O作两条互相垂直的射线，交双曲线于A、B两点，试求：（1）弦AB的中点P的轨迹方程；题型六点差法例11．（2023春·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考期中）已知双曲线2212yx，过点2,1P作直线与双曲线交于,AB两点，且点P恰好是线段AB的中点，则直线AB的方程是（）A．470xyB．490xyC．420xyD．460xy例12．（2023·重庆·统考模拟预测）已知椭圆C：221124xy，圆O：224xy，直线l与圆O相切于第一象限的点A，与椭圆C交于P，Q两点，与x轴正半轴交于点B．若PBQA，则直线l的方程为_______________．练习26．（2023春·湖北孝感·高二统考期中）过点2,1P的直线l与双曲线2213yx相交于,AB两点，若P是线段AB的中点，则直线l的方程是（）A．6110xyB．6130xyC．2310xyD．3240xy练习27．（2023·全国·高三专题练习）直线l与椭圆2214xy交于A，B两点，已知直线l的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是______．练习28．（2022秋·江西·高二校联考阶段练习）过点(2,1)Q作抛物线24yx的弦AB，恰被点Q平分，则弦AB所在直线的方程为（）A．230xyB．230xyC．230xyD．230xy练习29．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线221xy和斜率为12的直线l交于A，B两点，当l变化时，线段AB的中点M的坐标,xy满足的方程是________.练习30．（2022秋·河南焦作·高二统考期末）过椭圆221164xy内一点3,1P，且被这点平分的弦所在直线的方程是___.题型七利用韦达定理求轨迹方程例13．（2023秋·高三课时练习）过点0,2A的直线与抛物线24yx相交于两点P，Q，求以OP，OQ为邻边的平行四边形的第四个顶点M的轨迹方程.例14．（2023·吉林长春·东北师大附中模拟预测）已知斜率为25的动直线与椭圆22154xy交于,AB两点，线段AB的中点为M，则M的轨迹长度为_________．练习31．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：24yx，直线l过点