题型01 不等式相关解题技巧（基本不等式链、权方和不等式、两类糖水不等式）（解析版）

【淘宝店铺：向阳百分百】题型01不等式相关解题技巧（基本不等式链、权方和不等式、两类糖水不等式）技法01基本不等式链的应用及解题技巧例1．（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足221xyxy，则（）A．1xyB．2xy技法01基本不等式链的应用及解题技巧技法02权方和不等式的应用及解题技巧技法03普通型糖水不等式的应用及解题技巧本题型通常考查基本不等式及其基本不等式链的应用，掌握基本不等式链，可以较快速解决代数式的大小比较及其相关最值求解，常以小题形式考查.知识迁移基本不等式链:,当且仅当时,等号成立.其中分别为平方平均数,算术平均数,几何平均数,调和平均数.可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化.【淘宝店铺：向阳百分百】C．222xyD．221xy由基本不等式链:222(0,0)1122ababababab,可得22222ababab（,abÎR），对于AB由221xyxy可变形为，221332xyxyxy，解得22xy，当且仅当1xy时，2xy，当且仅当1xy时，2xy，所以A错误，B正确；对于C【法一】由221xyxy可变形为222212xyxyxy，解得222xy，当且仅当1xy时取等号，所以C正确【法二】由22222,22xyxyxyxy,得2222222xyxyxxyy,又因为221xxyy,所以222122xyxy,即21()1,24xyxy.【法三】2222221()3()3()24xyxxyyxyxyxyxy,又因为221xxyy,所以21()1,24xyxy.【答案】：BC．1．（2023·湖北·模拟预测）（多选）若0a，0b，2ab，则下列不等式中对一切满足条件的a，b恒成立的有（）A．1abB．2abC．222abD．2132ab【答案】ABC【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】利用基本不等式及其变形公式和“1”的灵活运用即可求解.【详解】解：对A选项：0a，0b，2ab，22abab，即1ab（当且仅当ab时等号成立），故A选项正确；对B选项：2ab，而22成立，2ab成立，故B选项正确；对C选项：222221222abab，222ab（当且仅当ab时等号成立），故C选项正确；对D选项：132212123222baababaabb==≥，（当且仅当2baab时等号成立），21322ab≥，故D选项错误.故选：ABC.2．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）（多选）若0,0,4abab，则下列不等式对一切满足条件,ab恒成立的是（）A．2abB．2abC．2243abD．111ab【答案】ACD【分析】对于A，B，D，利用基本不等式即可求得答案；对于C，利用4ba，求出2224(3)433aba，结合a的范围，利用二次函数的性质即可求得.【详解】对于A，0,0,2ababab，即22abab，当且仅当2ab时等号成立，所以A正确；对于B，0,0ab，2()2ababab424228ab，又0ab，则22ab，当且仅当2ab时等号成立，所以B错误；对于C，4ab，40ba，所以04a，则2222(4)33aaba248163aa24(3)443a，并且3a时等号成立.，所以C正确；对于D，0,0,4abab，所以14ab，【淘宝店铺：向阳百分百】则1111()4ababab1(2)4baab1(22)14baab，当且仅当baab，即2ab时等号成立，所以D正确.故选：ACD.3．（2023·江苏模拟）（多选）已知实数x，y满足223325xyxy，则（）A．1xyB．5xyC．2254xyD．1533yx【答案】BCD【分析】根据基本不等式可判断ABC；将题设配方可得2283533yyx，结合2803y进行求解即可判断D.【详解】对于A，由2253323224xyxyxyxyxy当且仅当52xy时等号成立，即54xy，故A错误；对于B，由223325xyxy，得2385xyxy，即22385852xyxyxy，当且仅当52xy时等号成立，即55xy，故B正确；对于C，由223325xyxy，得2222253xyxyxy，当且仅当104xy时等号成立，即2254xy，故C正确；对于D，由223325xyxy，得2283533yyx，即22853033yyx，即1515333yx，故D正确.故选：BCD.【淘宝店铺：向阳百分百】技法02权方和不等式的应用及解题技巧例2．（2023·浙江模拟）已知11,2ab，且23ab，则11121ab的最小值为（）A．1B．92C．9D．12因为23ab，所以426ab由权方和不等式222()ababxyxy可得222211111914221442144214421abababab当且仅当214421ab，即72,63ab时，等号成立．【答案】C在条件等式求最值或“1”的妙用求最值中，我们通常使用基本不等式（链）来求最值，解题中往往会遇到思路繁琐，计算量大的情况，学生不易求解，而此时的权方和不等式优势极其明显，可以做到快速求解，常在小题中使用.知识迁移权方和不等式的初级应用:若则当且仅当时取等.(注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀)【淘宝店铺：向阳百分百】1．（2023·四川·校联考一模）已知正数x，y满足5xy，则1122xy的最小值是.【答案】49【分析】将5xy转化为12219xy，然后利用基本不等式求解.【详解】因为5xy，所以229xy，即12219xy，因为正实数,xy，所以20x，20y，所以111111222222292249922yxxyxyxyxy，当且仅当52xy等号成立.故答案为：49.2．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）设0,2ab且4ab，则212ab的最小值是．【答案】322【分析】结合已知条件并由乘“1”法将212ab变形为2232baab，再由基本不等式即可求解.【详解】因为4ab，所以22ab，1212ab，所以222112112322222baabababab，因为0,2ab，所以由基本不等式得2222211133322222222bbaaababab，当且仅当2224baabab即42222ab时，等号成立，综上所述：212ab的最小值是322.故答案为：322.3．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知正数x，y满足4xy，若2212xyaxy恒成立，则实数a的取值范围是．【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】67,1【分析】首先对关系式进行恒等变换,进一步整理得22(11)(22)12xyxy22(1)2(1)1(2)4(2)412xxyyxy,最后利用基本不等式的应用求出结果.【详解】已知正数,xy满足4xy,所以(1)(2)7xy,所以:12177xy则:2212xyxy22(11)(22)12xyxy22(1)2(1)1(2)4(2)412xxyyxy14122412xyxy14112xy121417712xyxy14(1)24177(2)7(1)7xyyx124(1)216277(2)7(1)7xyyx，当且仅当4(1)27(2)7(1)xyyx时，取等号；要使2212xyaxy恒成立,只需满足22min12xyaxy即可,故167a.故答案为:67,1.【淘宝店铺：向阳百分百】技法03普通型糖水不等式的应用及解题技巧例3-1．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）已知实数,,abc满足0abc，则下列说法正确的是（）A．11cabaB．bbcaacC．11acabcaD．2abcacbc【法一】由糖水不等式的倒数形式，0,0bac,则有:cbbaac【法二】bbcbacabcbcacbaaac，故B正确；因为0abc，所以有110,cabacaba，故A错误；在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习糖水不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解.知识迁移1.糖水不等式定理:若,则一定有通俗的理解:就是克的不饱和糖水里含有克糖,往糖水里面加入克糖,则糖水更甜;2.糖水不等式的倒数形式:设,则有:【淘宝店铺：向阳百分百】1111baacabcaab，故C正确；200abcacbcccbacbcacb，故D正确．【答案】BCD例3-2．（2020·全国·统考高考真题）已知5584，13485．设a=log53，b=log85，c=log138，则（）A．abcB．bacC．bcaD．cab【法一】824ln3lnlnln3ln5558ln5ln8ln8ln5ln5ab,又1339ln3lnlnln3ln85513ln5ln13ln13ln5ln5ac，用排除法,选A。【法二】545488458log5log85b，454513134138log13log85cbc若5855log3log5log3log81厖,但2255555log3log8log24log3log82225log2512,ab综上所述，abc.【法三】由题意可知a、b、0,1c，222528log3lg3lg81lg3lg8lg3lg8lg241log5lg5lg522lg5lg25lg5ab，ab；由8log5b，得85b，由5458，得5488b，54b，可得45b；由13log8c，得138c，由45138，得451313c，54c，可得45c.综上所述，abc.【答案】A【淘宝店铺：向阳百分百】1．（2022·江苏阶段练习）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖，（0a，0b，且ab），若再添加c克糖0c后，（假设全部溶于水），糖水会更甜，于是