题型02 函数的4大基本性质解题技巧（单调性、奇偶性、周期性、对称性）（解析版）

【淘宝店铺：向阳百分百】题型02函数的4大基本性质解题技巧（单调性、奇偶性、周期性、对称性）技法01函数单调性的应用及解题技巧知识迁移1.同一定义域内①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘③)(xf为↗，则)(xf为↘，)(1xf为↘④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）2.复合函数的单调性结论：同增异减复合函数，，外函数内函数复合函数，，外函数内函数复合函数，，外函数内函数复合函数，，外函数内函数叫做外函数，叫做内函数，则设函数uhxfxguxghxf,,技法01函数单调性的应用及解题技巧技法02函数奇偶性的应用及解题技巧技法03函数周期性的应用及解题技巧技法04函数对称性的应用及解题技巧在考查函数单调性时，如果能掌握同一定义域内，单调性的运算，可以快速判断函数的单调性；同时复合函数单调性的相关计算也是高考重点，常以小题形式考查.【淘宝店铺：向阳百分百】例1．（2020·全国·统考高考真题）设函数331()fxxx,则()fx（）A．是奇函数，且在，0单调递增B．是奇函数，且在，0单调递减C．是偶函数，且在，0单调递增D．是偶函数，且在，0单调递减3xxh在定义域内，0是增函数，31xxg在定义域内，0是减函数，所以331()fxxx在，0单调递增【答案】A1．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）已知函数2121xfx，则（）A．fx是偶函数且是增函数B．fx是偶函数且是减函数C．fx是奇函数且是增函数D．fx是奇函数且是减函数【答案】C【分析】根据给定的函数，利用奇偶性定义及复合函数单词性判断作答.【详解】函数22112121xxxfx的定义域为R，2112()2112xxxxfxfx，即函数()fx是奇函数，AB错误，因为函数21xy在R上递增，则函数221xy在R上递减，所以函数()fx是增函数，D错误，C正确.故选：C2．（2021·内蒙古包头·统考一模）设函数ln31ln31fxxx，则fx（）A．是偶函数，且在1,3单调递增B．是奇函数，且在11,33单调递减C．是偶函数，且在1,3单调递增D．是奇函数，且在1,3单调递减【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】C【分析】首先确定fx定义域关于原点对称，又有fxfx，可知fx为偶函数；利用复合函数单调性的判定方法可确定1,3x时，fx单调递减，由对称性可知1,3x时，fx单调递增，由此得到结果.【详解】由310310xx得：13x，()fx\定义域为1111,,,3333；又ln31ln31ln31ln31fxxxxxfx，()fx\为定义域内的偶函数，可排除BD；当1,3x时，2ln31ln31ln91fxxxx，291tx在1,3上单调递减，lnyt单调递增，()fx\在1,3上单调递减，可排除A；fx为偶函数且在1,3上单调递减，()fx\在1,3上单调递增，C正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题对于函数单调性的判断的关键是能够根据x的范围得到fx的解析式，利用复合函数单调性的判断，即“同增异减”的方法确定函数在区间内的单调性.3．（2023·全国·模拟预测）函数213log6fxxx的单调递减区间为（）A．12,2B．1,2C．1,2D．1,32【答案】A【分析】根据真数大于零，可得函数的定义域；结合复合函数“同增异减”的原则，可确定函数的单调递减区间.【详解】由260xx得，2,3x所以函数213log6fxxx的定义域为2,3令26txx，则13logyt是单调递减函数又26txx，在12,2上单调递增，在1,32上单调递减由复合函数的单调性可得函数213log6fxxx的单调递减区间为12,2.故选：A.【淘宝店铺：向阳百分百】【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，函数的定义域，对数函数的性质，属于中档题.技法02函数奇偶性的应用及解题技巧知识迁移①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）②奇偶性的定义：奇函数：)(xfxf，图象关于原点对称，偶函数：xfxf，图象关于y轴对称③奇偶性的运算例2．（2023·全国·统考高考真题）若2π1sin2fxxaxx为偶函数，则a．由题知222π1sin1cos21cos2fxxaxxxaxxxaxx为偶函数，定义域为R，纵观历年考题，函数奇偶性是函数及高考的重要考点，要熟悉奇偶性的定义，若能熟悉奇偶性的运算，则可提升解题速度，做到快速求解.【淘宝店铺：向阳百分百】【法一】奇偶性的运算221cosfxxaxx只需02a即可【法二】寻找必要条件（特值法）所以ππ22ff，即22ππππππ222222s1co1cosaa，则22πππ2π1212a，故2a1．（2023·全国·统考高考真题）若21ln21xfxxax为偶函数，则a（）．A．1B．0C．12D．1【答案】B【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出a值，再检验即可.【详解】因为()fx为偶函数，则1(1)(1)(1)ln(1)ln33ffaa，，解得0a，当0a时，21ln21xxxfx，21210xx，解得12x或12x，则其定义域为12xx或12x，关于原点对称.121212121lnlnlnln21212121fxxxxxxxxxfxxxxx，故此时fx为偶函数.故选：B.2．（2023·全国·统考高考真题）已知e()e1xaxxfx是偶函数，则a（）A．2B．1C．1D．2【答案】D【分析】根据偶函数的定义运算求解.【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】因为ee1xaxxfx为偶函数，则1eeee0e1e1e1axxxxaxaxaxxxxfxfx，又因为x不恒为0，可得1ee0axx，即1eeaxx，则1xax，即11a，解得2a.故选：D.3．（2021·全国·高考真题）设fx是定义域为R的奇函数，且1fxfx.若1133f，则53f（）A．53B．13C．13D．53【答案】C【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f的值.【详解】由题意可得：522213333ffff，而21111133333ffff，故5133f.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.4．（2020·山东·统考高考真题）若定义在R的奇函数f(x)在(,0)单调递减，且f(2)=0，则满足(10)xfx的x的取值范围是（）A．[)1,1][3,B．3,1][,[01]C．[1,0][1,)D．[1,0][1,3]【答案】D【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()fx在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R上的奇函数()fx在(,0)上单调递减，且(2)0f，所以()fx在(0,)上也是单调递减，且(2)0f，(0)0f，所以当(,2)(0,2)x时，()0fx，当(2,0)(2,)x时，()0fx，所以由(10)xfx可得：【淘宝店铺：向阳百分百】0210xx或0012xx或0x解得10x≤≤或13x，所以满足(10)xfx的x的取值范围是[1,0][1,3]，故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.5．（2022·全国·统考高考真题）若1ln1fxabx是奇函数，则a，b．【答案】12；ln2．【分析】根据奇函数的定义即可求出．【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性若0a，则()fx的定义域为{|1}xx，不关于原点对称0a若奇函数的1()||1fxlnabx有意义，则1x且101ax1x且11xa，函数()fx为奇函数，定义域关于原点对称，111a，解得12a，由(0)0f得，102lnb，2bln，故答案为：12；2ln．[方法二]：函数的奇偶性求参111()111aaxaxafxlnablnblnbxxx1()1axafxlnbx函数()fx为奇函数11()()2011axaaxafxfxlnlnbxx2222(1)201axalnbx【淘宝店铺：向阳百分百】22(1)1210112aaaa1222241,22blnblnablnln[方法三]：因为函数1ln1fxabx为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由101ax可得，110xaax，所以11axa，解得：12a，即函数的定义域为,11,11,，再由00f可得，ln2b．即111lnln2ln211xfxxx，在定义域内满足fxfx，符合题意．故答案为：12；ln2．技法03函数周期性的应用及解题技巧知识迁移①若xfaxf，则xf的周期为：aT②若bxfaxf，则xf的周期为：baT③若xfaxf，则xf的周期为：aT2（周期扩倍问题）④若xfaxf1，则xf的周期为：aT2（周期扩倍问题）纵观历年考题，函数周期性是函数及高考的重要考点，要熟悉周期性的定义，若能熟悉周期性的运算，则可提升解题速度，做到快速求解.【淘宝店铺：向阳百分百】例3．（全国·高考真题）已知()fx是定义域为(,)的奇函数,满足(1)(1)fxfx.若(1)2f，则(1)(2)(3)(50)ffffA．50B．0C．2D．50因为()fx是定义域为(,)的奇函数，所以11xfxf，即11xfxf，所以周期为4【答案】C1．（2023上·海南省·高三校联考）已知函数fx是定义在R上的奇函数，且13f