题型03 “奇函数+常函数”的最大值+最小值及f(a)+f(-a)解题技巧（解析版）

【淘宝店铺：向阳百分百】题型03“奇函数+常函数”的最大值+最小值及f(a)+f(-a)解题技巧技法01“奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧知识迁移在定义域内，若AxfxF，其中xf为奇函数，A为常数，则最大值M，最小值m有AmM2即2mM倍常数（1）与指数函数相关的奇函数和偶函数xxaaxf)(，（0a，且1a）为偶函数，()xxfxaa，（0a，且1a）为奇函数1()1xxafxa和1()1xxafxa，（0a，且1a）为其定义域上的奇函数2()11xfxa和2()11xfxa，（0a，且1a）为其定义域上的奇函数()xfxa为偶函数（2）与对数函数相关的奇函数和偶函数22()log(1)afxbxbx，（0a且1a）为奇函数，技法01“奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧技法02“奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)解题技巧在模拟考试及高考考试中，会遇到“奇函数+常函数”类型求解，如能掌握相关本质结论和两类指对函数的奇偶性，则最大值+最小值可秒解.【淘宝店铺：向阳百分百】()logabcxfxbcx，（0a且1a）为奇函数例1-1．（2023上·江苏·高三模拟）已知Mm、分别是函数++1的最大值、最小值，则Mm2mM倍常数=2例1-2．．（2023上·江苏镇江·高三统考开学考试）已知函数32ln13sin7fxaxxxx，2023,2023x的最大值为M，最小值为m，则Mm.【法一】2mM倍常数=14【法二】1402fmM例1-3．（2023上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）函数3ee()eexxxxfx，[5,5]x，记()fx的最大值为M，最小值为m，则Mm.3eeee()2eeeexxxxxxxxfx【法一】2mM倍常数=4【法二】402fmM【淘宝店铺：向阳百分百】1．（2023下·湖南校考）已知函数32()42xfxx在区间[2023,2023]上的最大值为,M最小值为m，则Mm.【答案】8【分析】设函数322xgxx，则gx的最大值为4M，最小值为4m，利用gx是奇函数可得答案.【详解】设函数322xgxx，则gx的最大值为4M，最小值为4m，xR，则322xgxgxx，所以gx是奇函数，所以440Mm，所以8Mm．故答案为：8.2．（2023上·重庆校考）函数231xfxx，当2023,2023x时fx的最大值为M，最小值为N，则MN．【答案】23【分析】求出21xgxx的奇偶性即可得出MN的值.【详解】由题意，在21xgxx中，2211xxgxgxxx，函数是奇函数，minmax0,gxgx202320230gg，在231xfxx中，当2023,2023x时fx的最大值为M，最小值为N，22minmaxminmax3311xxMNfxfxxx22minmaxminmax23232311xxgxgxxx故答案为：23.3．（2023上·黑龙江鸡西·高三鸡西市第一中学校校考阶段练习）设函数2322131xxfxx在区间22,上的最大值为M，最小值为N，则MN的值为．【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】8【分析】化简函数32441xxfxx，设3241xxgxx，2,2x，可得函数gx在22,上为奇函数，进而得到maxmin0gxgx，进而求解即可.【详解】由2332322221344444111xxxxxxxfxxxx，设3241xxgxx，2,2x，则33224411xxxxgxgxxx，所以函数gx在22,上为奇函数，所以maxmin0gxgx，由题意，得maxmin44MgxNgx，所以maxmin88MNgxgx.故答案为：8.4．（2023上·山东统考期中）设函数22025220231331xxfxxx的最大值为M，最小值为m，则Mm.【答案】4046【分析】化简函数20252404620231xxfxx，设202524046331xxgxxx，可得函数gx在3,3上为奇函数，进而得到maxmin0gxgx，进而求解即可.【详解】2202520252220231404620233311xxxxfxxxx，设202524046331xxgxxx，定义域关于原点对称，由20252025224046404611xxxxgxgxxx，知函数gx为奇函数，因为max2023Mgx，min2023mgx，【淘宝店铺：向阳百分百】所以maxmin40464046Mmgxgx.故答案为：4046.5．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的函数22π22sin402costxtxxfxtxx的最大值和最小值之和为4，则t．【答案】2【分析】根据三角恒等变换和分类常量法可得fx2sin2costxxttgxxx，由函数的奇偶性可知gx为奇函数，则maxmin()()0gxgx，进而maxminmaxmin()()()()20fxfxgxgxt，即可求解.【详解】当2222x时，2021,cos0xx，当22x或22x时，221x，所以fx的定义域为R.又22222222sincos2cossin222cos2costxtxxxtxxtxxfxxxxx2sin2costxxtxx，设2sin2costxxgxxx，则2sin2costxxgxgxxx，∴g(x)为奇函数；设g(x)的最大数值为M，最小值为N，则0MN，则fx的最大数值为Mt，最小值为Nt，∴fx的最大值与最小值之和为24MNt，得2t．故答案为：2．6．（2023上·福建莆田·高三莆田第十中学校考）函数26sin30,6fxxxxxax的最大值为M，最小值为m，若10Mm，则a．【答案】2【分析】将函数解析式化为2[(3)9]sin(3)33fxxxxa，设3[3,3]xt，则2()()(9)sin3fxgtttta，记2()(9)sin,[3,3]httttt，则()ht为奇函数，根据奇函数的性质及10Mm，即可求得a的值.【详解】因为226sin3[(3)9]sin(3)33fxxxxxaxxxa，设3[3,3]xt，则2()()(9)sin3fxgtttta，【淘宝店铺：向阳百分百】设2()(9)sin,[3,3]httttt，则2()(9)sin()httttht，所以()ht是[3,3]上的奇函数，最大值为(3)Ma，最小值为(3)ma，所以(3)(3)0Mama，由10Mm，得2a，故答案为：2.7．（2015上·宁夏银川·高三阶段练习）已知Mm、分别是函数222sin24()2cosxxxfxxx的最大值、最小值，则Mm．【答案】2【分析】先由和角正弦公式化简()fx，令2sin()cos2xxgxxx，得()gx是奇函数，再由奇函数的性质即可求出最值之和.【详解】由22cos0xx可得定义域为R，222sincos2sin()12coscos2xxxxxxfxxxxx，令2sin()cos2xxgxxx，则2sin()cos2xxgxgxxx，则函数2sin()cos2xxgxxx是奇函数，设其最大值为A，则其最小值为A，所以1MA，1mA，从而2Mm．故答案为：2.8．（2022上·辽宁·联考）已知函数3221515022pxxqxfxpqx，若存在正实数a，使得函数fx在区间,aa有最大值M及最小值m，则Mm.【答案】15【分析】令22(2)()21xpxgxx，判断其奇偶性，由奇函数的性质得出所求.【详解】2222215115(2)()22121xpxqxxpxfxxx令22(2)()21xpxgxx，其定义域为R，22()()21xpxqgxgxx，即()gx为奇函数，即函数gx在区间,aa上满足maxmin()()0gxgx，所以maxmaxminmin1515()(),()()22fxgxfxgx，即【淘宝店铺：向阳百分百】15151522Mm故答案为：159．（2023下·黑龙江校考）已知函数222elog142e1xxfxxx，若fx在区间,0ttt上的最大值和最小值分别为M，N，则函数31gxMNxMNx的图像的对称中心为．【答案】1,12/0.5,1【分析】利用函数的奇偶性的定义及性质，结合函数的对称性即可求解.【详解】由题意可知22222e2log142log142e1e1xxxfxxxxx，所以22222e2log142log1422e1e1xxxfxfxxxxx.故函数fx在定义域内为非奇非偶函数，令1hxfx，则110hxhxfxfx，所以hx在定义域内为奇函数.设hx在,tt上的最大值为k，则最小值为k，所以fx在,tt上的最大值为1Mk，最小值为1Nk，所以112MNkk.331112221gxMNxMNxxxx.因为3311122121211gxgxxxxx3311222112xx，所以gx图象的对称中心为1,12.故答案为：1,12.10．（2023上·宁夏银川·高三校考阶段练习）设函数221sin1xxfxx的最大值为a，最小值为b，则ab.【答案】2【分析】构造函数结合函数的奇偶性求值即可.【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】22212sin2sin111xxxxxfxxx，令22sin11xxgxfxx，易知xR，22sin01xxgxgxgxx，即gx为奇函数，所以maxminminmax11,11,gxfxbgxfxa结合奇函数性质有maxmin0112gxgxabab.故答案为：21