题型10 6类三角恒等变换解题技巧（拼凑思想、升（降）幂、三倍角、半角、万能、正余弦平方差公式）（解

【淘宝店铺：向阳百分百】题型106类三角恒等变换解题技巧（拼凑思想、升（降）幂、三倍角、半角、万能、正余弦平方差公式）技法01拼凑思想的应用及解题技巧知识迁移12()[()()]221[()()]2424aa例1-1．（全国·高考真题）tan255°=技法01拼凑思想的应用及解题技巧技法02升（降）幂公式的应用及解题技巧技法03三倍角公式的应用及解题技巧技法04半角公式的应用及解题技巧在三角函数求值题目当中，常常会出现已知条件中给出两个或者一个三角函数值，求问题中的三角函数值，解决此类问题的关键在于用“已知角”来表示“未知角”1、当“已知角”有两个时，“所求角一般表示两个已知角”的和与差的关系2、当已知角有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和与差或倍数的关系，然后借助三角恒等变换公式把“所求角”变成“已知角”【淘宝店铺：向阳百分百】A．－2－3B．－2+3C．2－3D．2+3【详解】000000tan255tan(18075)tan75tan(4530)=000031tan45tan30323.1tan45tan30313例1-2．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考一模）若ππ2sinsin36，则πtan3（）A．538B．334C．433D．538【详解】由πππππ2sin2sin2cossin32666，所以πtan26，则ππ3tantan263323πππ63663tantan538ππ36633233233231tantan126631．（2022·云南·云南民族大学附属中学校考模拟预测）已知26sin7，10cos5，且304，304，则sin（）A．91535B．111035C．1535D．1035【答案】A【解析】易知sinsin，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cos和sin，分别在15sin5和155两种情况下，利用两角和差正弦公式求得sin，结合的范围可确定最终结果.【详解】262sin72且304，04，25cos1sin7.【淘宝店铺：向阳百分百】又304，344，215sin1cos5.当15sin5时，sinsinsincoscossin261051515757535，304，sin0，15sin35不合题意，舍去；当15sin5，同理可求得915sin35，符合题意.综上所述：915sin35.故选：A.【点睛】易错点睛：本题中求解cos时，易忽略sin的值所确定的的更小的范围，从而误认为cos的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.2．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知A为锐角，costan22sinAAA，215tan15AB，则tanB（）A．1517B．1517C．21517D．21517【答案】A【分析】由二倍角正切公式，同角关系化简costan22sinAAA，求sinA，再求tanA，再由两角差的正切公式求tanB.【详解】因为costan22sinAAA，所以sin2coscos22sinAAAA，所以22sincoscos12sin2sinAAAAA，又A为锐角，cos0A，所以22sin2sin12sinAAA，解得1sin4A，因为A为锐角，所以15cos4A，15tan15A，又215tan15AB（），所以15215tantan151515tantan1tantan171521511515AABBAABAAB.故选：A.【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023·湖南湘潭·统考二模）已知π0,cos2cos212coscos2，则（）A．π6B．π3C．π6D．π3【答案】D【分析】直接利用三角函数恒等变换进行凑角化简，再根据，的范围即可求出结果.【详解】由已知可将2，2()()，则cos[()()]cos[()()]12cos()cos()，2cos()cos()2cos()cos()10，[cos()1][2cos()1]0，即cos()1或1cos()2．又π02，所以π0π,02，所以cos()1，所以选项A，B错误，即1cos()2，则π3，所以π3．则C错，D对，故选：D技法02升（降）幂公式的应用及解题技巧知识迁移升幂公式：2sin212cos，1cos22cos2降幂公式：22cos1sin2，22cos1cos2在三角恒等变换的倍角考查中，升幂公式及降幂公式极其重要，需灵活掌握，在高考中也是高频考点，要强加练习【淘宝店铺：向阳百分百】例2-1．（2023·全国·模拟预测）已知π2sin63x，则2πcos23x（）A．29B．19C．19D．29【详解】因为π2sin63x，所以ππ2cossin36322ππcos22cos133x412199．例2-2．（2023·全国·统考高考真题）已知11sin,cossin36，则cos22（）．A．79B．19C．19D．79【详解】因为1sin()sincoscossin3，而1cossin6，因此1sincos2，则2sin()sincoscossin3，所以2221cos(22)cos2()12sin()12()39.1．（2023·全国·模拟预测）已知31cos(),sinsin55，则cos(22)（）A．1B．－1C．2325D．2325【答案】A【分析】根据题意，求得4coscos5，再求得cos()1，结合倍角公式，即可求解.【详解】因为3cos()coscossinsin5，且1sinsin5，所以4coscos5，可得cos()coscossinsin1，所以2cos(22)cos2()2cos()11.故选：A．【淘宝店铺：向阳百分百】2．（2023·河南·统考模拟预测）已知26cos3sin3，则πcos(2)3（）A．23B．23C．13D．13【答案】C【分析】根据给定的条件，利用辅助角公式求出πsin()6，再利用二倍角的余弦公式计算即得.【详解】由26cos3sin3，得π6sin()63，所以22πππ61cos(2)cos2()12sin()12()36633.故选：C3．（2023·全国·模拟预测）若2sincos2sincossin3，则sin22（）A．79B．19C．19D．79【答案】A【分析】利用辅助角公式及两角和差的正弦公式化简，再根据2sin222sin14计算可得.【详解】由已知得2sincos3，1sincossin3，所以2sincos2sin2sincos2cossin4443，因为12cossincossinsin43，所以2sincos42，2cossin46，则22sinsincoscossin4443，所以22227sin222sin121439.故选：A.4．（2023·四川成都·石室中学校考一模）已知2sinsin3，2coscos1，则cos22（）A．18B．154C．14D．78【答案】D【分析】先对两式进行平方，进而可求出cos的值，根据二倍角公式求出结论.【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】解：因为2sinsin3，2coscos1，所以平方得，22sinsin3，22coscos1，即224sin4sinsinsin3，224cos4coscoscos1，两式相加可得44sinsin4coscos14，即1coscossinsin4，故1cos4，217cos222cos121168.故选：D.技法03三倍角公式的应用及解题技巧知识迁移sin3𝛼=3sin𝛼−4sin3𝛼cos3𝛼=−3cos𝛼+4cos3𝛼tan3𝛼=3tan𝛼−tan3𝛼1−3tan2𝛼=tan𝛼tan(𝜋3−𝛼)tan(𝜋3+𝛼)例3．已知在△𝐴𝐵𝐶中,角𝐴、𝐵、𝐶的对边依次为𝑎、𝑏、𝑐,𝑎=6,4sin𝐵=5sin𝐶,𝐴=2𝐶,求𝑏、𝑐边长。【解析】在三角函数或解三角形的一些问题中,会出现三倍角,解决起来需要把三倍角转化成一倍角与二倍角的和，化简起来会多些步骤，而知道三倍角公式,我们可以更快的得出结果【淘宝店铺：向阳百分百】𝐵=𝜋−(𝐴+𝐶)=𝜋−3𝐶4sin𝐵=5sin𝐶⇒4sin(𝜋−3𝐶)=4sin3𝐶=5sin𝐶⇒4(3sin𝐶−4sin3𝐶)=5sin𝐶⇒4(3−4sin2𝐶)=5⇒12−16sin2𝐶=5⇒sin𝐶=√74⇒cos𝐶=34∵𝑎sin𝐴=𝑐sin𝐶,𝐴=2𝐶⇒𝑎2sin𝐶cos𝐶=𝑐sin𝐶⇒𝑐=𝑎2cos𝐶=44sin𝐵=5sin𝐶⇒4𝑏=5𝑐⇒𝑏=51.函数𝑓(𝑥)=4sin3𝑥−sin𝑥+2(sin𝑥2−cos𝑥2)2的最小正周期为（）.A.2𝜋B.𝜋2C.2𝜋3D.𝜋解析:根据三倍角公式:sin3𝛼=3sin𝛼−4sin3𝛼,化简得𝑓(𝑥)=−sin3𝑥+2,则函数𝑓(𝑥)的最小正周期为2𝜋3.C选项正确.2.已知△𝐴𝐵𝐶的内角𝐴,𝐵,𝐶的对边分别为𝑎,𝑏,𝑐.若𝐴=2𝐵,且𝐴为锐角,则𝑐𝑏+1cos𝐴的最小值为()A.2√2+1B.3C.2√2+2D.4∵𝐴=2𝐵, ∴sin𝐶=sin(3𝐵)=3sin𝐵−4sin3𝐵∴𝑐𝑏=3sin𝐵−4sin3𝐵sin𝐵=3−4sin2𝐵=2cos𝐴+