题型12 5类平面向量解题技巧（“爪子定理”、系数和（等和线）、极化恒等式、奔驰定理与三角形四心问题

题型125类平面向量解题技巧（“爪子定理”、系数和（等和线）、极化恒等式、奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题）技法01“爪子定理”的应用及解题技巧知识迁移形如ADxAByAC条件的应用（“爪子定理”）“爪”字型图及性质：（1）已知,ABAC为不共线的两个向量，则对于向量AD，必存在,xy，使得ADxAByAC。则,,BCD三点共线1xy当01xy，则D与A位于BC同侧，且D位于A与BC之间当1xy，则D与A位于BC两侧1xy时，当0,0xy，则D在线段BC上；当0xy，则D在线段BC延长线上（2）已知D在线段BC上，且::BDCDmn，则nmADABACmnmn技法01“爪子定理”的应用及解题技巧技法02系数和（等和线）的应用及解题技巧技法03极化恒等式的应用及解题技巧“爪子定理”是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速求解，需同学们重点学习掌握mnABCDABCD例1-1．（全国·高考真题）设D为ABC所在平面内一点，且3BCCD，则（）A.1433ADABACB.1433ADABACC.4133ADABACD.4133ADABAC解析：由图可想到“爪字形图得：1344ACABAD，解得：1433ADABAC答案：A例1-2．（2023江苏模拟）如图，在ABC中，13ANNC，P是BN上的一点，若211APmABAC，则实数m的值为（）A.911B.511C.311D.211解：观察到,,BPN三点共线，利用“爪”字型图，可得APmABnAN，且1mn，由13ANNC可得14ANAC，ABCD所以14APmABnAC，由已知211APmABAC可得：12841111nn，所以311m答案：C1．（2022·全国·统考高考真题）在ABC中，点D在边AB上，2BDDA．记CAmCDn，，则CB（）A．32mnB．23mnC．32mnD．23mn【答案】B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D在边AB上，2BDDA，所以2BDDA，即2CDCBCACD，所以CB3232CDCAnm23mn．故选：B．2.（全国·高考真题）在ABC中，ABc，ACb．若点D满足2BDDC，则AD（）A．2133bcB．5233cbC．2133bcD．1233bc【答案】A【详解】试题分析：，故选A．3.（2020·新高考全国1卷·统考高考真题）已知平行四边形ABCD，点E，F分别是AB，BC的中点（如图所示），设ABa，ADb，则EF等于（）A．12abB．12abC．12baD．12ab【答案】A【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；【详解】连结AC，则AC为ABC的中位线，111222EFACab，故选：A4．（全国·高考真题）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EBA．3144ABACB．1344ABACC．3144ABACD．1344ABAC【答案】A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BEBABD，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BCBAAC，之后将其合并，得到3144BEBAAC，下一步应用相反向量，求得3144EBABAC，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得111111222424BEBABDBABCBABAAC1113124444BABAACBAAC，所以3144EBABAC，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.5．（江苏·高考真题）设D、E分别是ABC的边AB，BC上的点，12ADAB，23BEBC.若12DEABAC（12,为实数），则12的值是【答案】12【详解】依题意，121212()232363DEDBBEABBCABACABABAC，∴121263ABACABAC，∴116，223，故12121632.【考点定位】平面向量的加法、减法法则.分析、计算能力.中等题.技法02系数和（等和线）的应用及解题技巧知识迁移如图，P为AOB所在平面上一点，过O作直线//lAB，由平面向量基本定理知：存在,xyR，使得OPxOAyOB近年，高考、模考中有关“系数和（等和线）定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，大家可以学以致用下面根据点P的位置分几种情况来考虑系数和xy的值①若Pl时，则射线OP与l无交点，由//lAB知，存在实数，使得OPAB而ABOBOA，所以OPOBOA，于是=-=0xy②若Pl时，（i）如图1，当P在l右侧时，过P作//CDAB，交射线OAOB，于,CD两点，则OCDOAB，不妨设OCD与OAB的相似比为k由,PCD，三点共线可知：存在R使得：(1)(1)OPOCODkOAkOB所以(1-)xykkk（ii）当P在l左侧时，射线OP的反向延长线与AB有交点，如图1作P关于O的对称点P，由（i）的分析知：存在存在R使得：(1)(1)OPOCODkOAOB所以--(1)OPkOAOB于是--(1-)-xykkk综合上面的讨论可知：图中OP用,OAOB线性表示时，其系数和xy只与两三角形的相似比有关。我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过O作AB边的垂线l，设点P在l上的射影为P，直线l交直线AB于点1P，则1||||||OPkOP(k的符号由点P的位置确定)，因此只需求出||OP的范围便知xy的范围例2-1．（全国·高考真题）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP=AB+AD，则+的最大值为A．3B．22C．5D．2【系数和】分析：如图，由平面向量基底等和线定理可知，当等和线l与圆相切时，最大，此时33,AFABBEEFABABABAB故选A.例2-2．（衡水中学二模）边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD(含短点)上运动，P是圆Q上及其内部的动点，设向量(,)APmABnAFmnR，则mn的取值范围是（）5,3.5,2.6,5.2,1.DCBA分析:如图，设APmABnAF，由等和线结论，22AGABmnABAB.此为mn的最小值；同理，设APmABnAF，由等和线结论，5AHmnAB.此为mn的最大值.综上可知[2,5]mn.例2-3．已知ABC为边长为2的等边三角形，动点P在以BC为直径的半圆上.若APABAC，则2的取值范围是__________【解析】如图,取AB中点为D,2APABACADAC显然,当P与C重合时,2取最小值1.将CD平行移动至与O相切处,P为切点时,2取最大值.延长PO交CD于G,易知12OGOFFP.由等和线及平行截割定理,52,2EFAPFPAE.所以2的最大值为52.故2的取值范围是51,2.1.在矩形ABCD中，1,2ABAD，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若APABAD，则+的最大值为()A3B22C5D2解：如图所示：过A作BD的垂线，垂足为H，则AHCECFr，当,PEC，三点共线时，高线最长，即max3(+)3rr2.如图，正六边形ABCDEF，P是CDE内（包括边界）的动点，设(,)APABAFR，则的取值范围是____________解：连接,BFAD因为正六边形ABCDEF，由对称性知道BFADADEC，，设BF与AD交于点G，CE与AD交于点H，当P在CE上时，AP在AD上射影最小为AH；当P与D重合时，AP在AD上射影最大为AD；则||||||||AHADAGAG设||ABx，则||||2xAGHD，||||GHBCx，||2ADx，则343.如图在直角梯形ABCD中，//ABCD，ABAD，13ADDCAB，，动点P在以C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设(,)APADABR则的取值范围是____________解：设圆C与直线BD相切于点E，过A作AGBD于G，作直线//lDB，且直线l与圆C相切与F，连EF，则EF过圆心，且EFBD，由图可知，对圆C内任意一点PAP在直线AG上的射影长度d满足：||||||AGdAGEF，又||||3||=||10ADABAGDB，2||=2|EC|=2|CD|sin10EFABD所以351010d而dAG，所以5134.若点C在以P为圆心,6为半径的弧AB上,且PCxPAyPB,则23xy的取值范围为______【解析】令(23)PCxyPD,则2323xyPDPAPBxyxy,即11232323xyPDPAPBxyxy,其中1111,23PAPAPBPB.由2312323xyxyxy知点D在线段11AB上,如下图:由于在11PAB中,11113,2,120PAPBAPB,且点D在线段11AB上(含端点11,AB,因此1||||PHPDPA剟,其中PH是边11AB上的高.222211111111219ABPBPAPBPAPBPA可得1119AB.1111111111sin||22PABSPAPBAPBABPH可得357||19PH.所以,357||319PD剟.再由(23)PCxyPD可知||6257232,3||||PCxyPDPD.5.（2023·浙江·高三专题练习）如图，在直角梯形ABCD中，ABAD，AB∥DC，2AB，1ADDC，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为12，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若APxAByAC，其中xyR，，则4xy的取值范围是（）A．32234，B．5232，C．253342，D．17173322，【答案】B【分析】建立直角坐标系，将4xy由P点坐标转化后数形结合求解【详解】以A点为坐标原点，,ABAD方向为x,y轴正方向建立直角坐标系，则(0,0),(2,0),(1,1),(0,1)ABCD，(2,0),(1,1)ABBC，设(,)Pmn，则2mxyny，解得2mnxyn，故42zxymn，即2nmz，数形结合可得当1,12P时，z取最小值2，当直线与圆221(1)(1)4xy相切时，|3|125z，z取得最大值532.故选：B技法03极化恒等式的应用及解题技巧知识迁移极化恒等式22()()4ababab恒等式右边有很直观的几何意义:利用向量的极化恒等