专题05 利用导函数研究恒成立问题(典型题型归类训练) (原卷版）

专题05利用导函数研究恒成立问题(典型题型归类训练)一、必备秘籍分离参数法用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；步骤：①分类参数（注意分类参数时自变量x的取值范围是否影响不等式的方向）②转化：若()afx)对xD恒成立，则只需max()afx；若()afx对xD恒成立，则只需min()afx．③求最值.二、典型题型1．（2023·上海崇明·统考一模）若存在实数,ab，对任意实数[0,1]x，使得不等式33xmaxbxm≤≤恒成立，则实数m的取值范围是（）A．39,B．83,9C．3,3D．3,2【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数,,yfxxab，,,ygxxcd（1）若1,xab，2,xcd，总有12fxgx成立，故12maxminfxgx；（2）若1,xab，2,xcd，有12fxgx成立，故12maxmaxfxgx；（3）若1,xab，2,xcd，有12fxgx成立，故12minminfxgx；（4）若1,xab，2,xcd，有12fxgx，则fx的值域是gx值域的子集．2．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）若20,log01axxxaa且恒成立，则a的取值范围是（）A．12e1,eB．1e1,eC．12ee,D．1ee,3．（2023·江西九江·统考一模）若对11,22ex，不等式(4)ln2lnln2axxaax恒成立，则实数a的取值范围是（）A．(0,4e]B．(4e,)C．[4e,)D．(4e,)4．（2023·全国·模拟预测）已知函数1eexxfxxaa，若对于任意的0x，都有1fx，则实数a的取值范围是.【点睛】恒成立问题方法指导：方法1：分离参数法求最值(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．(2)()afx恒成立⇔max()afx；()afx恒成立⇔min()afx；()afx能成立⇔min()afx；()afx能成立⇔max()afx.方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．5．（2023·湖南永州·统考一模）若函数e2ln2txtxfxxx，当0,x时，恒有0fx，则实数t的取值范围．6．（2023·四川雅安·统考一模）已知函数()exfxabxc在ln2x时有极小值.曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程为0xy.(1)求,,abc的值；(2)若对任意实数,()(e2)xfxxm恒成立，求实数m的取值范围.7．（2023·四川内江·统考一模）已知函数21()ln2fxaxx．(1)当1a时，求()fx的极值；(2)若不等式(x)xf恒成立，求实数a的取值范围．【点睛】方法点晴，第（2）问中的恒成立问题，常用的方法，一是直接构造函数，求出函数的最值；二是通过参变分离，再构造函数，通过求函数最值来解决问题.三、专项训练一、单选题1．（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）已知elnmn，且0mnk恒成立，则k的值不可以是（）A．－2B．0C．2D．42．（2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）若不等式2elne0xxaxax在0x上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．,eB．2,eC．e,2D．2,2e3．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知m，n为实数，不等式ln20xmxn在0,上恒成立，则nm的最小值为（）A．－4B．－3C．－2D．－1二、多选题4．（2023·山西·校联考模拟预测）已知2e10xaxxax，则a的可能取值有（）A．eB．ln6C．2eD．π25．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知函数eln1txfxxtx，若0fx恒成立，则实数t的可能的值为（）A．1eB．12eC．21eD．2e6．（2023·海南·模拟预测）若1,2x时，关于x的不等式1lnxxxxa恒成立，则实数a的值可以为（）（附：ln20.69）A．33ln22B．3C．2D．23ln22三、填空题7．（2023上·河北保定·高三定州市第二中学校考阶段练习）已知函数1()elnxfxax，若()(ln1)fxaa对0x恒成立，则实数a的取值范围是．8．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知函数ln0afxxaxa，exgxx，若2ex1,时，fxgx恒成立，则实数a的取值范围是.四、问答题9．（2023·全国·模拟预测）已知函数2exfxmx（其中e为自然对数的底数）．(1)当2e4m时，讨论函数fx在1,上的单调性；(2)若对一切0,x，10fxx恒成立，求实数m的取值范围．10．（2023·全国·模拟预测）已知函数ln,Rfxaxxbab．(1)若曲线yfx在1x处的切线方程为220xy，求实数a，b的值；(2)若3a，对任意的12,3,xx，且12xx，不等式2212122mfxfxxx恒成立，求m的取值范围．11．（2023下·安徽合肥·高二统考期末）已知函数()sin2()fxxaxaR．(1)当12a时，讨论()fx在区间π0,2上的单调性；(2)若当0x时，ecos0xfxx，求a的取值范围．12．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）已知函数lnfxaxxx．(1)当1a时，求fx的零点；(2)讨论fx在1,e上的最大值；(3)是否存在实数a，使得对任意0x，都有fxa？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．