专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）(典型题型归类训练)（原卷版）

专题05数列求和（倒序相加法、分组求和法）(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍.........................................................................................................1二、典型题型.........................................................................................................2题型一：倒序相加法........................................................................................2题型二：通项为nnncab型求和.....................................................................3题型三：通项为nnnancbn为奇数为偶数型求和..........................................................5三、专题05数列求和（倒序相加法、分组求和法）专项训练...........................7一、必备秘籍1、倒序相加法，即如果一个数列的前n项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前n项和.2、分组求和法2.1如果一个数列可写成nnncab的形式，而数列na，nb是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.2.2如果一个数列可写成nnnancbn为奇数为偶数的形式，在求和时可以使用分组求和法.二、典型题型题型一：倒序相加法例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数393xfx．(1)求证：函数fx的图象关于点11,22对称；(2)求20222021020222023Sfffff的值．例题2．（2023秋·江苏·高二专题练习）设函数11lnxfxx，设11a，1231,2nnaffffnnnnnnNL．(1)计算1fxfx的值．(2)求数列na的通项公式．例题3．（2023·全国·高二专题练习）设1122,,,AxyBxy是函数21log21xfxx的图象上任意两点，且1()2OMOAOB，已知点M的横坐标为12．(1)求证：M点的纵坐标为定值；(2)若*121...,,nnSfffnNnnn且2n求nS；例题4．（2023秋·山东青岛·高二山东省青岛第五十八中学校考期末）已知函数fx满足12fxfx，若数列na满足：11(0)(1)nnaffffnn.(1)求数列na的通项公式；例题5．（2023·全国·高二专题练习）已知na为等比数列，且120211aa，若221fxx，求1232021fafafafa的值．题型二：通项为nnncab型求和例题1．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）已知等差数列na的前n项和为nS，等比数列nb的各项均为正数，且满足111ab，535S，65ab.(1)求数列na与nb的通项公式；(2)记2nnncab，求数列nc的前n项和nT.例题2．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考阶段练习）已知各项均为正数的等差数列na的首项11a，2a，4a，62a成等比数列；(1)求数列na的通项公式；(2)若33nannba，求数列nb的前n项和nT．例题3．（2023春·吉林长春·高二长春外国语学校校考期中）已知等比数列na中，22a，516a(1)求数列na的通项公式；(2)若21nnban，求数列nb的前n项和nS.例题4．（2023秋·江苏无锡·高二江苏省南菁高级中学校考阶段练习）已知等差数列na，nS为其前n项和，510a，756S．(1)求数列na的通项公式；(2)若13nannba，求数列nb的前n项和．例题5．（2023秋·山东济南·高三统考开学考试）等差数列na满足55a，178aa，正项等比数列nb满足22ba，4b是1a和64a的等比中项．(1)求na和nb的通项公式；(2)记nnncab，求数列nc的前n项和nS．题型三：通项为nnnancbn为奇数为偶数型求和例题1．（2023·海南·统考模拟预测）在①2514,,aaa成等比数列，且21441nnSan；②2132aaa，数列nS是公差为1的等差数列这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．问题：已知各项均是正数的数列na的前n项和为nS，且__________．(1)求数列na的通项公式；(2)设(1)nnnba，求数列nb的前n项和nT．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．例题2．（2023秋·浙江·高三浙江省春晖中学校联考阶段练习）设数列na的前n项和为nS，已知*1312nnSanN．(1)求na的通项公式；(2)设,,nnnnanbnan为奇数为偶数，求数列nb的前2n的项和2nT．例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na满足122.nnnann，为奇数，，为偶数求数列na的前n项和nS．例题4．（2023·河南郑州·模拟预测）已知数列na满足：13a，1*122,Nnnnaann．(1)求数列na的通项公式；(2)令211log1nnnnbaa，求数列nb的前n项和nT．例题5．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列na的前n项和nS，且*2N4nnnaaSn，数列nb为单调递增的等比数列，12312313,27bbbbbb.(1)求数列,nnab的通项公式；(2)设,,nnnancbn为奇数为偶数，求123ncccc.三、专题05数列求和（倒序相加法、分组求和法）专项训练一、单选题1．（2023秋·山东潍坊·高三山东省安丘市第一中学校考阶段练习）已知函数3()(1)2fxx，数列{}na为等比数列，0na，且1009ea，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，则122017(ln)(ln)(ln)fafafa（）A．20172B．2017C．4034D．80682．（2023秋·江苏·高二专题练习）已知正数数列na是公比不等于1的等比数列，且120231aa，试用推导等差数列前n项和的方法探求：若241fxx，则122023fafafa（）A．2022B．4044C．2023D．4046二、填空题3．（2023·全国·高三专题练习）已知正数数列na是公比不等于1的等比数列，且120191aa，试用推导等差数列前n项和的方法探求：若241fxx，则122019fafafa.4．（2023·全国·高三专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子．在其年幼时，对123100L的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成．因此，此方法也称为高斯算法．现有函数442xxfx，则1320172018()()()()()201920192019201929201fffff的值为.三、解答题5．（2023春·江西萍乡·高二统考期末）已知函数142xafx关于点11,22对称，其中a为实数.(1)求实数a的值；(2)若数列na的通项满足2023nnaf，其前n项和为nS，求2022S.6．（2023秋·广东广州·高三广州市真光中学校考阶段练习）已知数列na为非零数列，且满足11211111112nnnaaa(1)求数列na的通项公式；(2)求数列1nna的前n项和nS.7．（2023春·云南曲靖·高三校联考阶段练习）已知等差数列na，其前n项和为nS.满足39S，且6是21a和5a的等比中项.(1)求na的通项公式；(2)设2nannba的前n项和为nT，求nT.8．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列na的前n项和为nS，且满足221,30log1nnnnSabS．(1)求数列,nnab的通项公式；(2)定义,*,aababbab，记*nnncab，求数列nc的前20项和20T．9．（2023秋·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考开学考试）各项都为正数的数列na的前n项和为nS，已知221nnnSaa.(1)求数列na的通项公式；(2)若数列nb满足12b，12nnbb，数列nc满足nnnancbn为奇数为偶数，数列nc的前n项和为nT，当n为偶数时，求nT.10．（2023秋·江西宜春·高三校考开学考试）已知在正项数列na中，113a，当2n时，2211320nnnnaaaa.(1)求数列na的通项公式；(2)已知数列nb满足1133,2,loglog2nnnnannbaa为偶数为奇数，nS为数列nb的前n项和，证明：298nS.11．（2023春·浙江·高三校联考阶段练习）已知等比数列na的前n项和为nS，且满足4123112,30Saaa，数列nb满足：11b，*12311111,23nnbbbbbnnN．(1)求数列na，nb的通项公式；(2)设数列nc的通项(1)31nnnncab，求数列nc的前n项和nT．12．（2023·全国·高二专题练习）已知数列na中11a，且点1,nnaa在函数1yx的图像上．(1)求数列na的通项公式；(2)若数列nb满足2nnnanbn为奇数为偶数，求数列nb的前n项和nS．13．（2023春·安徽阜阳·高二安徽省颍上第一中学校考阶段练习）已知数列na的各项均为正数，前n项和为nS，22nnnaaS．(1)求数列na的通项公式；(2)设221nnannba，求数列nb的前n项和nT．