专题02 直线与平面所成角（线面角)（含探索性问题）(典型题型归类训练)(原卷版）

专题02直线与平面所成角（线面角)（含探索性问题）(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍.........................................................................................................1二、典型题型.........................................................................................................2题型一：求线面角............................................................................................2题型二：已知线面角求参数.............................................................................5题型三：求线面角最值（范围）.....................................................................8三、专项训练.......................................................................................................10一、必备秘籍1、斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做斜线在平面内的射影.注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.如图，直线l是平面的一条斜线，斜足为M，斜线上一点A在平面上的射影为O，则直线MO是斜线l在平面上的射影.2、直线和平面所成角：（有三种情况）（1）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线与平面所成角的范围为0,2；（2）直线与平面垂直时，它们的所成角为2；（3）直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0.结论：直线与平面所成角的范围为0,2.3、向量法设直线l的方向向量为a，平面的一个法向量为n，直线l与平面所成的角为，则cos,||||ananan，sin|cos,|an.二、典型题型题型一：求线面角1．（22·23上·河南·模拟预测）在三棱台111ABCABC-中，1AA平面ABC，90BAC，111224ABACAAAB．(1)证明：平面1ABC平面1CBC；(2)记1BC的中点为M，过M的直线分别与直线AB，11AC交于P，Q，求直线PQ与平面11ABC所成角的正弦值．2．（22·23上·河南·模拟预测）已知ABC中，90ABC，6ABBC，13AADB，13AEAC，将ADEV沿DE折起，使点A到点A处，90DAB．(1)证明：平面ABE平面ADE¢；(2)求直线CD与平面ADE¢所成角的余弦值．3．（23·24·柳州·模拟预测）如图，三棱柱111ABCABC-的底面ABC是正三角形，侧面11ACCA是菱形，平面11ACCA平面ABC，,EF分别是棱11,ACBC的中点.(1)证明：//EF平面11ABBA；(2)若11122,3ACACCGCC，求直线11BC与平面EFG所成角的正弦值.4．（23·24上·南充·模拟预测）如图所示，在圆锥DO中，D为圆锥的顶点，O为底面圆圆心，AB是圆O的直径，C为底面圆周上一点，四边形AODE是矩形．(1)若点F是BC的中点，求证：//DF平面ACE；(2)若π2,3ABBACACE，求直线CD与平面ABDE所成角的余弦值．5．（23·24上·浙江·一模）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD平面ADEF，//EFAD，2AFAD，1EF，23CF，BE与CF交于点M．(1)若N是BF中点，求证：ANCF；(2)求直线MD和平面ABE所成角的正弦值．题型二：已知线面角求参数1．（22·23下·抚顺·模拟预测）如图，在几何体ABCDEF中，CD平面ABC，01CDAE，侧面ABFE为正方形，2ABBC，M为AB的中点，90CMF．(1)证明：DMAB；(2)若直线MF与平面DME所成角的正弦值为155，求实数λ的值．2．（22·23下·江苏·一模）在三棱柱111ABCABC-中，平面11ABBA平面ABC，侧面11ABBA为菱形，1π3ABB，1ABAC，2ABAC，E是AC的中点.(1)求证：1AB平面1ABC；(2)点P在线段1AE上（异于点1A，E），AP与平面1ABE所成角为π4，求1EPEA的值.3．（22·23下·广州·三模）如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，2ABAP，PA平面ABCD，,EF分别是线段,PBPD的中点，G是线段PC上的一点.(1)求证：平面EFG平面PAC；(2)若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为13，且G点不是线段PC的中点，求三棱锥EABG体积.4．（22·23·厦门·模拟预测）筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形．如图，四边形ABCD为筝形，其对角线交点为,2,2OABBDBC，将ABD△沿BD折到ABD的位置，形成三棱锥ABCD．(1)求B到平面AOC的距离；(2)当1AC时，在棱AD上是否存在点P，使得直线BA与平面POC所成角的正弦值为14？若存在，求APAD的值；若不存在，请说明理由．5．（22·23·万州·模拟预测）如图1所示，在四边形ABCD中，BCCD，E为BC上一点，22AEBEADCD，3CE，将四边形AECD沿AE折起，使得3BC，得到如图2所示的四棱锥．(1)若平面BCD平面ABEl，证明：//CDl；(2)点F是棱BE上一动点，且直线BD与平面ADF所成角的正弦值为2211，求EFEB．6．（22·23下·荆门·模拟预测）在三棱柱111ABCABC-中，四边形11AABB是菱形，ABAC，平面11AABB平面ABC，平面111ABC与平面1ABC的交线为l.(1)证明：11ABBC；(2)已知160,2,ABBABACl上是否存在点P，使1AB与平面ABP所成角的正弦值为1010？若存在，求1BP的长度；若不存在，说明理由.题型三：求线面角最值（范围）1．（22·23下·乐山·三模）在直三棱柱111ABCABC-中，3ABAC，12BCAA，点P满足132CPmCBmCC，其中30,2m，则直线AP与平面11BCCB所成角的最大值为（）A．π6B．π4C．π3D．5π122．（21·22下·山东·模拟预测）如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC平面,ABCPAC为正三角形，E，F分别是,PCPB上的动点.(1)求证：BCAE；(2)若E，F分别是,PCPB的中点且异面直线AF与BC所成角的正切值为32，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线PQ与平面AEF所成角的取值范围.3．（20·21下·渝中·阶段练习）如图，在三棱台111ABCABC-中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧面11ACCA为等腰梯形，且1111ACAA，D为11AC的中点．（1）证明：ACBD；（2）记二面角1AACB的大小为，2,33时，求直线1AA与平面11BBCC所成角的正弦值的取值范围．4．（22·23·河南·二模）如图所示，正六棱柱111111ABCDEFABCDEF的底面边长为1，高为3，P为线段1DF上的动点.(1)求证：//AP平面1ABC；(2)设直线AP与平面11CDFA所成的角为，求sin的取值范围.5．（22·23·海口·模拟预测）如图，四棱锥PABCD中，//ABCD，ABAD，平面PAD平面PCD.(1)证明：平面PAD平面ABCD；(2)若22ADAB，2PB，5PD，BC与平面PCD所成的角为，求sin的最大值.三、专项训练一、单选题1．（22·23下·乐山·三模）在直三棱柱111ABCABC-中，3ABAC，12BCAA，点P满足132CPmCBmCC，其中30,2m，则直线AP与平面11BCCB所成角的最大值为（）A．π6B．π4C．π3D．5π122．（23·24上·亳州·阶段练习）将边长为1的正方形11AAOO及其内部绕1OO旋转一周形成圆柱，如图，AC长为5π6，11AB长为π3，其中1B与C在平面11AAOO的同侧，则直线1BC与平面11OAAO所成的角的正弦值为（）A．32B．33C．22D．3363．（23·24上·泰安·阶段练习）三棱柱111ABCABC-的侧棱与底面垂直，11AAABAC，ABAC，N是BC的中点，点P在11AB上，且满足111APAB，当直线PN与平面ABC所成的角最大时的正弦值为（）A．12B．22C．32D．2554．（22·23上·江西·阶段练习）如图，在长方体1111ABCDABCD中，12AAAD，3AB，P为线段BD上的动点，当直线AP与平面11ABD所成角的正弦值取最大值时，DPDB（）A．12B．13C．25D．413二、填空题5．（22·23上·厦门·期末）正方体1111ABCDABCD中，E为线段1BB的中点，则直线1CE与平面11ADB所成角的正弦值为．6．（23·24上·济宁·阶段练习）已知正方体1111ABCDABCD的棱长为1，H为棱1AA上的动点，若CH平面，则直线CD与平面所成角的正弦值的取值范围为7．（21·22·全国·单元测试）如图所示，在正方体ABCDABCD中，AB＝3，M是侧面BCCB内的动点，满足AMBD，若AM与平面BCCB所成的角，则tan的最大值为.8．（22·23上·宁波·阶段练习）已知圆柱1OO中，点A在圆O上，1AO，12OO，点P、Q在圆1O上，且满足233PQ，则直线1AO与平面OPQ所成角的正弦值的最大值为.9．（21·22下·绵阳·期末）在正方体ABCD1111DCBA中，点Р在侧面11BCCB(包括边界)上运动，满足AP1BD记直线1CP与平面1ACB所成角为α，则sin的取值范围是三、解答题10．（21·22下·山东·模拟预测）如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC平面,ABCPAC为正三角形，E，F分别是,PCPB上的动点.(1)求证：BCAE；(2)若E，F分别是,PCPB的中点且异面直线AF与BC所成角的正切值为32，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线PQ与平面AEF所成角的取值范围.11．（20·21下·渝中·阶段练习）如图，在三棱台111ABCABC-中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧面11ACCA为等腰梯形，且1111ACAA，D为11AC的中点．（1）证明：ACBD；（2）记二面角1AACB的大小为，2,33时，求直线1AA与平面11BBCC所成角的正弦值的取值范围．12．（22·23·河南·二模）如图所示，正六棱柱111111ABCDEFABCDEF的底面边长为1，高为3，P为线段1DF上的动点.(1)求证：//AP平面1ABC；(2)设直线AP与平面11CDFA所成的角为，求sin的取值范围.13．（22·23·海口·模拟预测）如图，四棱锥PABCD中，//ABCD，ABAD，平面PAD平面PCD.(1)证明：平面PAD平面ABCD；(2)若22ADAB