专题03 平面与平面所成角（二面角）（含探索性问题）(典型题型归类训练)(原卷版）

专题03平面与平面所成角（二面角）（含探索性问题）(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍......................................................1二、典型题型......................................................2题型一：求二面角...............................................2题型二：已知二面角求参数........................................4题型三：求二面角最值（范围）....................................7三、专项训练......................................................9一、必备秘籍1、二面角的平面角定义：从二面角棱上任取一点P，在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线PA、PB,则APB称为二面角的平面角.2、二面角的范围：[0,]3、向量法求二面角平面角（1）如图①，AB，CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小,ABCD．（2）如图②③，1n，2n分别是二面角l的两个半平面,的法向量，则二面角的大小满足：121212cos,||||nnnnnn；12coscos,nn（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.）二、典型题型题型一：求二面角1．（22·23下·河南·模拟预测）如图，直四棱柱1111ABCDABCD的底面是正方形，12AAAB，E，F分别为BC，1CC的中点.(1)证明：//AE平面1ADF；(2)求二面角1DEAF的正弦值.2．（2023·江西南昌·模拟预测）如图，直三棱柱111ABCABC-的体积为4，1ABC的面积为22．(1)求A到平面1ABC的距离；(2)设D为1AC的中点，1AAAB，平面1ABC平面11ABBA，求二面角ABDC的大小．3．（2023·浙江·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，,3,4,ABBCABBCE为边AD上的点，且1AE.将ABE沿BE翻折，使得点A到1A，满足平面1ABE平面BCDE，连接11,ACAD.(1)求证：平面1ABC平面1AEC；(2)求二面角1BACD的正弦值的大小.4．（2023·河北沧州·三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成.,,,CEDG在同一平面内，且CGDG.(1)证明：平面BFD平面BCG；(2)若直线GC与平面ABG所成角的正弦值为105，求平面BFD与平面ABG所成角的余弦值.5．（2023·海南省直辖县级单位·三模）如图所示，ABC为等边三角形，EA平面ABC，//EABD，2ABBD，1AE，M为线段AB上一动点．(1)若M为线段AB的中点，证明：EDMC．(2)若3AMMB，求二面角DCME的余弦值．题型二：已知二面角求参数1．（2023·四川南充·三模）如图，在四棱台1111ABCDABCD中，底面ABCD是菱形，111222ABAAAB，60ABC，1AA平面ABCD.(1)证明：BDCC1；(2)棱BC上是否存在一点E，使得二面角1EADD的余弦值为1?3若存在，求线段CE的长；若不存在，请说明理由.2．（2023·吉林长春·一模）长方形ABCD中，222ABAD，点E为CD中点（如图1），将点D绕AE旋转至点P处，使平面PAE平面ABCE（如图2）．(1)求证：PAPB；(2)点F在线段PB上，当二面角FAEP大小为π4时，求四棱锥FABCE的体积．3．（2023·福建宁德·一模）如图①在平行四边形ABCD中，AEDC，4AD，3AB，60ADE，将ADEV沿AE折起，使平面ADE平面ABCE，得到图②所示几何体．(1)若M为BD的中点，求四棱锥MABCE的体积MABCEV；(2)在线段DB上，是否存在一点M，使得平面MAC与平面ABCE所成锐二面角的余弦值为235，如果存在，求出DMDB的值，如果不存在，说明理由．4．（2023·江西九江·一模）如图，直角梯形ABCD中，//ADBC，90BAD，2ABAD，22BC，将ABD△沿BD翻折至ABD的位置，使得ABAC，F为BC的中点．(1)求证：平面ABD平面BCD；(2)H为线段AC上一点（端点除外），若二面角CDFH的余弦值为33，求线段AH的长．5．（2023·四川成都·模拟预测）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，1AB，2AD，侧面PAB底面ABCD，侧面PAD底面ABCD，点F是PB的中点，动点E在边BC上移动，且1PA.(1)证明：PA垂直于底面ABCD.(2)当点E在BC边上移动，使二面角EAFB为π6时，求二面角FAEP的余弦值.题型三：求二面角最值（范围）1．（23·24高二上·山东·阶段练习）如图，在正四棱柱1111ABCDABCD中，11,2ABAA，点E是线段1AB上的点，点F是线段AC上的点，且11,,22AEAFEBFC.(1)证明：直线//EF平面11BCCB：(2)求平面1ABD与平面AEF夹角的余弦值的取值范围.2．（23·24高二上·四川遂宁·阶段练习）如图，在正四棱柱1111ABCDABCD中，2AB，14AA.点2A、2B、2C、2D分别在棱1AA、1BB、1CC、1DD上，21AA，222BBDD，23CC.(1)证明：2222,,,ABCD四点共面(2)当点P在棱1BB上运动时（包括端点），求平面222ABC与平面22ACP夹角余弦值的的取值范围.3．（23·24高二上·湖北恩施·阶段练习）如图（1），在矩形ABCD中，222ABAD，E为线段DC的中点，将ADEV沿直线AE折起，使得6DC，如图（2）.(1)求证：平面ADE平面ABCE；(2)已知点H在线段AB上移动，设平面ADE与平面DHC所成的角为，求cos的取值范围.4．（23·24高二上·四川遂宁·阶段练习）如图，在三棱柱111ABCABC-中，底面是边长为2的等边三角形，在菱形11ACCA中，160ACC，12CC，平面11ACCA平面ABC，D，E分别是线段AC､1CC的中点.(1)求证：1AC平面BDE；(2)若点F为线段11BC上的动点（不包括端点），求锐二面角FBDE的余弦值的取值范围.三、专项训练1．（23·24高二上·北京房山·阶段练习）已知长方体1111ABCDABCD中，4ABBC，12CC，则平面11ABC与平面ACD所成锐二面角的正切值为（）A．22B．2C．55D．332．（23·24高二上·山东济南·阶段练习）如图所示，1111ABCDABCD是棱长为6的正方体，,EF分别是棱,ABBC上的动点，且AEBF，当11,,,AEFC四点共面时，平面1ADE与平面1CDF所成夹角的余弦值为（）A．22B．265C．15D．123．（23·24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在直四棱柱1111ABCDABCD中，ABAD，1ABAD，1AAAB，E，F分别是侧棱1BB，1DD上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为30，则线段BE的长的最大值为（）A．13B．33C．12D．224．（21·22高二·全国·单元测试）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，90BAD，112PAABBCAD，BCAD∥，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角QPDA的平面角大小为π4，则ADQ△面积的取值范围是（）A．350,5B．250,5C．3100,5D．2100,55．（20·21高一下·湖北·阶段练习）在正三棱柱111ABCABC-中，12,3ABAA，点D为棱BC的中点，点E为1AC上的点，且满足1()AEmECmR，当二面角EADC的正切值为32时，实数m的值为（）A．12B．1C．2D．3二、填空题6．（21·22高二上·福建·期末）已知在一个二面角的棱上有两点,AB，线段,ACBD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱,5,3,4,52ABABACBDCD，则这个二面角的大小为.7．（23·24高二上·山东德州·阶段练习）如图，已知菱形ABEF所在的平面与ABC所在的平面互相垂直，且π6,6,,3ABBCBCBEABE．则平面ACF与平面BCE所成的锐二面角的余弦值为．8．（22·23高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在三棱柱111ABCABC-中，AB，AC，1AA两两互相垂直，1ABACAA，M，N分别是侧棱1BB，1CC上的点，平面AMN与平面ABC所成的（锐）二面角为π6，则当CN最小时AMB．9．（23·24高二上·全国·单元测试）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PD平面ABCD，且1,2PDADAB，点E是线段AB上一点，当二面角PECD的平面角的大小为π4时，AE．三、解答题10．（23·24高三上·四川成都·开学考试）如图，四棱锥ABCDE中，底面BCDE是平行四边形，平面ACE底面BCDE，BECE，24CEBE，23AC，2AE．(1)求证：平面ABE平面ACD；(2)求平面ABC与平面ACD所成的锐二面角的余弦值．11．（2023·新疆·三模）如图，在圆柱体1OO中，1OA，12OO，劣弧11AB的长为π6，AB为圆O的直径．(1)在弧AB上是否存在点C（C，1B在平面11OAAO同侧），使1BCAB，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；(2)求二面角111AOBB的余弦值．12．（2023·福建泉州·模拟预测）如图，三棱锥PABC中，PAPB，PAPB，22ABBC，平面PAB平面ABC.(1)求三棱锥PABC的体积的最大值；(2)求二面角PACB的正弦值的最小值.13．（2023·辽宁·模拟预测）已知直角梯形形状如下，其中ABAD，26DCABAE，6AB，2AD．(1)在线段CD上找出点F，将四边形ADFE沿EF翻折，形成几何体ABEDCF．若无论二面角AEFB多大，都能够使得几何体ABEDCF为棱台，请指出点F的具体位置（无需给出证明过程）．(2)在（1）的条件下，若二面角AEFB为直二面角，求棱台ABEDCF的体积，并求出此时二面角BADE的余弦值．14．（22·23高一上·吉林·阶段练习）如图①所示，长方形ABCD中，1AD，2AB，点M是边CD的中点，将ADM△沿AM翻折到PAM△，连接PB，PC，得到图②的四棱锥PABCM．(1)求四棱锥PABCM的体积的最大值；(2)设PAMD的大小为，若π0,2，求平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值．15．（22·23下·信阳·阶段练习）如图，在等腰梯形ABCD中，2π//,1,3ABCDADDCBCD，四边形ACFE为矩形，且CF平面ABCD，1CF.(1)求证：EF平面BCF；(2)在线段EF上是否存在点M，使得平面MAB与平面FCB所成锐二面角的平面角为，且满足7cos7.若不存在，请说明理由；若存在，求出EM的长度.16．（23·24上·山东·开学考试）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，//ADBC，ADCD，122ADCDBC，点E在平面PBC上运动．(1)试确定一点E，使得//CD平面PAE，并说明点E的位置；(2)若四棱锥