专题02 函数及其应用、指对幂函数（5大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）-备战2024年

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】专题02函数及其应用、指对幂函数易错点一：对函数定义域、值域及解析式理解存在偏差（定义域、值域及解析式的求算）已知函数的具体解析式求定义域的方法法1：若()fx是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集.法2：复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可.函数解析式的常见求法法1：配凑法：已知(())()fhxgx，求()fx的问题，往往把右边的()gx整理或配凑成只含()hx的式子，然后用x将()hx代换.法2：待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数()fx可设为2()(0)fxaxbxca，其中,,abc是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出,,abc即可.法3：换元法：已知(())()fhxgx，求()fx时，往往可设()hxt，从中解出x，代入()gx进行换元.应用换元法时要注意新元的取值范围.法4：解方程组法：已知fx满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如1fx(或()fx-)等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出fx．分段函数第一步：求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】析式求值．第二步：当出现ffa的形式时，应从内到外依次求值．第三步：当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点。结论：复合函数：一般地，对于两个函数()yfu和()ugx，如果通过变量,uy可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数()yfu和()ugx的复合函数，记作(())yfgx，其中()yfu叫做复合函数(())yfgx的外层函数，()ugx叫做(())yfgx的内层函数.抽象函数的定义域的求法：(1)若已知函数()fx的定义域为[,]ab，则复合函数(())fgx的家义域由()agxb剟求出.(2)若已知函数(())fgx的定义域为[,]ab，则()fx的定义域为()gx在[,]xab时的值域.易错提醒：函数的概念①一般地，给定非空数集A，B，按照某个对应法则f，使得A中任意元素x，都有B中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函数.记作：()xyfx，xA.集合A叫做函数的定义域，记为D，集合{(),}yyfxxA叫做值域，记为C.②函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.③函数表示法：函数书写方式为()yfx，xD④函数三要素：定义域、值域、对应法则.⑤同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.基本的函数定义域限制求解函数的定义域应注意：①分式的分母不为零；②偶次方根的被开方数大于或等于零：③对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；④零次幂或负指数次幂的底数不为零；⑤三角函数中的正切tanyx的定义域是,xxR且,2xkxkZ；⑥已知fx的定义域求解fgx的定义域，或已知fgx的定义域求fx的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；⑦对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.基本初等函数的值域资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】①(0)ykxbk的值域是R.②2(0)yaxbxca的值域是：当0a时，值域为24{}4acbyya；当0a时，值域为24{}4acbyya．③(0)kykx的值域是{0}yy.④(0xyaa且1)a的值域是(0)，.⑤log(0ayxa且1)a的值域是R.分段函数的应用分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．例1．函数31xfxx的定义域为（）A．,3B．1,C．1,3D．,13,【答案】C【详解】由题意得31010xxx，解得13x，则定义域为1,3，故选：C.变式1：设,0121,1xxfxxx，若1fmfm，则2fm（）A．14B．16C．2D．6【答案】A【详解】因为fx的定义域为0,，则010mm，解得0m，若m1，则121m，可得21222mmm，不合题意；若01m，则11m，可得2mm，解得14m；综上所述：14m.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以2814ffm.故选：A.变式2：已知集合22,22AxyxByyxx，则AB（）A．22,B．0,C．1,2D．0,2【答案】C【详解】由题意得22022,(1)11AxxxxByyxyy，所以1,2AB．故选:C.变式3：已知函数1,121,1xxfxfxx，则下列正确的是（）A．102ffB．214ffC．22log32ffD．fx的值域为0,1【答案】B【详解】对选项A，312211311201,0222284ffffff，故A错误；对选项B，31221131121,1222284fffff，故B正确．对选项C，因为2log31，所以22log31log3211log3223f，4321412log33322ffff，故C错误；对选项D，当1x时，110,22xfx，函数fx的值域为10,2，当01x时，11112,12xxfxfx，函数fx的值域为11,42，又因为1x时，1fxfx，所以当1x时，函数fx的值域为11,42，综上，函数fx的值域为10,2，故D错误．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：B1．已知函数e1lne1xxfx，则3ff（）A．ln3B．3C．3eD．3ln3e【答案】B【详解】因为函数e1lne1xxfx，则33e13lne1f,令3ft，则e13lne1ttffft，又因为33e13lne1tf，所以333e1ln3e133e1lne1333333e12e1e1e1e13lnlnln32e11e1e1e1ffftlne，所以33ff，故选：B.2．给出下列4个函数，其中对于任意xR均成立的是（）A．sin3sinfxxB．32sin3fxxxxC．222fxxD．242fxxx【答案】D【详解】对于A，当0x时，00f；当π3x时，302f，与函数定义矛盾，不符合；对于B，当0x时，00f；当π3x时，32πππ0++333f，与函数定义矛盾，不符合；对于C，当2x时，60f；当2x时，64f，与函数定义矛盾，不符合；对于D，令2xt，则2xt，所以222424fttftt，令244,tm，所以4tm，所以444fmmmm，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以44fxxx，符合.故选：D.3．已知函数22110xfxxx，则fx（）A．21101xxB．21111xxC．24101xxD．24111xx【答案】B【详解】令1tx，则1xt，且0x，则1t，可得2221111,111tftttt，所以21111xxxf.故选：B.4．已知函数fx满足21fxfx，则fx可能是（）．A．fxxB．2logfxxC．2xfxD．1,0,xfxxQQ【答案】D【详解】对于A，fxx，则22fxx，11fxx，不满足21fxfx；对于B，2logfxx，则222loglo21gfxxx，21log(1)fxx，不满足21fxfx；对于C，2xfx，则2224xxfx，11222xxfx，不满足21fxfx；对于D，1,Q0,Qxfxx，当Qx时，2Q,1Qxx，故211fxfx；当xQ时，2Q,1Qxx，故210fxfx，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即此时1,Q0,Qxfxx满足21fxfx，D正确，故选：D5．设集合2|4130Axxx，|23Byyx，则AB（）A．0,2B．0,3C．132,4D．133,4【答案】D【详解】由24130xx，即4130xx，解得1304x，所以213|4130|04Axxxxx，由20x，所以233x，所以|23|3Byyxyy，所以133,4AB．故选：D．6．集合2Pxx，21Qyyx，则PQ（）A．1,2B．12xxC．12xxD．12xx【答案】B【详解】由题意可得：2|22Pxxxx，21|1Qyyxyy，所以12PQxx.故选：B.易错点二：忽视单调性与单调区间的主次（函数的单调性与最值）1.函数的单调性是对函数定义内的某个区间而言的。2.函数()fx在给定区间上的单调性是函数在该区间上的整体性质。3.函数的单调定义中的1x、2x有三个特征：（1）任意性（2）有大小（3）属于同一个单调区间。资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4.求函数的单调区间必须先求定义域。5.判断函数单调性常用以下几种方法：方法1：定义法：一般步骤为设元作差变形判断符号→得出结论.方法2：图象法：如果()fx是以图象形式给出的，或者()fx的图象易作出，则可由图象的上升或下䧏确定单调性.方法3：导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间.方法4：性质法：（1）对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及()()fxgx增减性质进行判断；6.求函数最值（值域）的常用方法方法1：单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.方法2：图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.方法3：基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.方法4：导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.结论：1.单调性技巧（1）证明函数单调性的步骤①取值：设1x，2x是()fx