专题05 三角函数（5大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）-备战2024年高考数学考试易错

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】专题05三角函数易错点一：三角函数值正负判断不清导致错误（任意角、弧度制及任意角的三角函数）1．角的概念（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．（2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是ZkkS，360．（3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．（4）象限角的集合表示方法：2．弧度制（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．（2）角度制和弧度制的互化：rad180，rad1801，180rad1．（3）扇形的弧长公式：rl，扇形的面积公式：22121rlrS．3．任意角的三角函数资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）定义：任意角α的终边与单位圆交于点)(yxP，时，则ysin，xcos，)0(tanxxy．（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P)(yxP，是角α终边上异于顶点的任一点，设点P到原点O的距离为r，则rysin，rxcos，)0(tanxxy三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sinR＋＋－－cosR＋－－＋tan}2|{Zkk，＋－＋－记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．4．三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A（1，0）作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T．三角函数线有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线易错提醒：（1）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数()kkZ赋值来求得所需的角．（2）确定*,kkNk的终边位置的方法先写出k或k的范围，然后根据k的可能取值确定k或k的终边所在位置．（3）利用三角函数的定义，已知角终边上一点P的坐标可求的三角函数值；已知角的三角函数值，也可以求出角终边的位置．（4）判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.例如图，已知两质点A，B同时从点P出发，绕单位圆逆时针做匀速圆周运动，质点A，B运动的角速度分资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】别为3rad/s和5rad/s，设两质点运动sx时这两质点间的距离为fx．(1)求fx的解析式；(2)求这两质点从点P出发后第n次相遇的时间nx（单位：s）．【详解】（1）由质点A，B运动的角速度分别为3rad/s和5rad/s，得sx时质点A，B的坐标分别为cos3,sin3xx，cos5,sin5xx，则22cos3cos5sin3sin522cos3cos52sin3sin5fxxxxxxxxx22cos22sinxx，所以fx的解析式为2sin0fxxx.（2）因为两质点从点P出发后每相遇一次即对应函数fx的一个零点，因此nx为fx在区间0,上第n个零点，由2sin0nnfxx，得sin0nx，解得*)π(Nnxnn，所以两质点从点P出发后第n次相遇的时间*πNsnxnn.变式1．如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11,Pxy，5cos5.(1)求1y的值；资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转2后与单位圆交于点22(,)Mxy，点N与M关于x轴对称，求tanMON的值.【详解】（1）解：因为锐角的终边与单位圆交于点11,Pxy，5cos5，所以2125sin1cos5y.（2）设单位圆与x轴负半轴交点为Q，则1,0Q，设MOQ，则22，所以sincos12tantan2sin2cos2，所以22122tan42tantan21tan3112MON.变式2．角α的终边与单位圆交于点125,1313P，分别写出点P关于x轴、y轴和原点对称的点的坐标，并求角π，，π，2π的正弦函数值、余弦函数值．【详解】点P关于x轴对称的点的坐标1125,1313P，点P关于y轴对称的点的坐标2125,1313P，点P关于原点对称的点的坐标3125,1313P.易知角π的终边经过点2125,1313P，根据三角函数的定义可知，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】5sinπ13，12cosπ13；角的终边经过点1125,1313P，根据三角函数的定义可知，5sin13，12cos13；角π+的终边经过点3125,1313P，根据三角函数的定义可知，5sinπ13，12cosπ13；角2π的终边经过点1125,1313P，根据三角函数的定义可知，5sin2π13，12cos2π13.变式3．如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为ππ42的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，设(0)POC.(1)若5ππ,124，求线段OA的长；(2)已知当π6时，矩形ABCD的面积S最大.求圆心角的大小，并求此时矩形ABCD面积S的最大值是多少？【详解】（1）πsinsin45πtantantantan12ADBCOCOA，ππ3tantan15πππ463tantan23ππ124631tantan1463，622OA.（2）由题意知sinBC，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】sin1cossincoscossintansinABOBOA，sinsincoscossinsinSBCAB21sinsin22cossin2sin1sinsin2coscos2cos2sin，1cos2cos2sinS，所以当cos2=1，即π23时，面积S最大，最大值为36.1．已知角的始边为x轴的非负半轴，终边经过点(3,4)P，则sincos22sin2cos22（）A．2B．12C．12或2D．14【答案】D【分析】先确定2所在的象限，再根据三角函数的定义及二倍角的正切公式求出tan2，再根据商数关系化弦为切即可得解.【详解】由题意，得角是第二象限角，则π2π,π2π,Z2kkk，故πππ,π,Z242kkk，当2,Zknn时，ππ2π,2π,Z242nnn，2为第一象限角，当21,Zknn时，5π3π2π,2π,Z242nnn，2为第三象限角，所以2是第一象限角或第三象限角，则tan02，又因为22tan42tan31tan2，所以tan22或1tan22（舍去），所以sincostan1211222224sin2costan2222．故选：D．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边过点,6m，且tan3，则cos（）A．105B．1010C．105D．1010【答案】B【分析】用终边经过的点求出2m即可求解.【详解】因为角的终边经过点,6m，且tantan3，所以63m，解得2m，所以22210cos1026．故选：B3．在平面直角坐标系xOy中，若角以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边，且终边过点32,12，则sin()yx取最小值时x的可能取值为（）A．4π3B．π3C．5π6D．π3【答案】A【分析】利用三角函数的定义可得，再结合三角函数的性质计算即可.【详解】∵角θ的终边经过点32,12，∴1sin2，3cos2，∴π2π6n，Zn，由正弦函数的性质可知在sinyx取最小值时．3π2π2xk，Zk，即44π2π2ππ2πZ33xknxmknm、、，0m时A正确；对于B，π45π2π336mm，不符合；对于C，5π413π2π6312mm，不符合；对于D，π41π2π332mm，不符合；故选:A．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4．已知是第三象限角，则点cos,sin2Q位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】根据角所在象限结合二倍角正弦公式即可判断答案.【详解】因为是第三象限角，故sin0,cos0，则sin22sincos0，故cos,sin2Q在第二象限，故选：B5．已知角终边上有一点2π2πsin,cos33P，则π为（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】C【分析】根据终边相同角的定义即可求解.【详解】已知角终边上有一点2π2πsin,cos33P，即点31,22P，π2π6kkZ，7ππ2π6kkZ为第三象限角.故选：C.6．已知角0,2π，终边上有一点cos2sin2,cos2sin2，则（）A．2B．3π24C．7π24D．π22【答案】C【分析】根据弦切互化，结合正切和差角公式，即可得3π2π4k，结合角的范围即可求解.【详解】πtantan2cos2sin21tan24tanπcos2sin21tan21tantan24ππ3πtan2tanπ2tan2444，故3π2π4k，kZ．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又cos2sin20，πcos2sin22sin204，故在第三象限，故1k，7π24．故选:C．7．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两个点1,Aa，2,Bb，且2cos23，则ab（）A．55B．55C．55或55D．255或255【答案】C【分析】根据三角函数的定义式可得tan2ba，又结合二倍角的余弦公式及齐次式的原因可得221213aa，接方程组即可.【详解】由已知可得tan2ba，2ba，又222cos2cossin3，2222cossin2c3ossin，221tan21tan3，即221213aa，联立得2221213baaa，解得55255ab