专题08 数列（5大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）-备战2024年高考数学考试易错题（

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】专题08数列易错点一：混淆数列与函数的区别（数列求最值问题）1、等差数列的定义（1）文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；（2）符号语言：1nnaad(*nN，d为常数)．2、等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项．3、通项公式与前n项和公式（1）通项公式：1(1)naand．（2）前n项和公式：11()(1)22nnnaannSnad．（3）等差数列与函数的关系①通项公式：当公差0d时，等差数列的通项公式11(1)naanddnad是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d.若公差0d，则为递增数列，若公差0d，则为递减数列．②前n项和：当公差0d时，211(1)()222nnnddSnadnan是关于n的二次函数且常数项为0.已知数列na是等差数列，nS是其前n项和．1、等差数列通项公式的性质：（1）通项公式的推广：*()(,)nmaanmdnmN．（2）若*(,,,)klmnklmnN，则klmnaaaa．（3）若na的公差为d，则2na也是等差数列，公差为2d．（4）若nb是等差数列，则nnpaqb也是等差数列．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2、等差数列前n项和的性质（1）2121()()nnnnSnaanaa；（2）21(21)nnSna；（3）两个等差数列na，nb的前n项和nS，nT之间的关系为2121nnnnSaTb.（4）数列mS，2mmSS，32mmSS，…构成等差数列．3、关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质（1）若项数为2n，则SSnd奇偶，1nnSaSa奇偶；（2）若项数为21n，则(1)nSna偶，nSna奇，nSSa奇偶，1SnSn奇偶.最值问题：解决此类问题有两种思路：一是利用等差数列的前n项和公式，可用配方法求最值，也可用顶点坐标法求最值；二是依据等差数列的通项公式111naanddnad，当0d时，数列一定为递增数列，当0d时，数列一定为递减数列．所以当10a，且0d时，无穷等差数列的前n项和有最大值，其最大值是所有非负项的和；当10a，且0d时，无穷等差数列的前n项和有最小值，其最小值是所有非正项的和，求解非负项是哪一项时，只要令0na即可易错提醒：数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时有时可以利用函数的性质，但是在利用函数单调性求解数列问题，要注意n的取值不是连续实数，忽略这一点很容易出错.例．已知等差数列na的前n项和为nS，且41a，510S，求nS取得最大值时对应的n值.【详解】在等差数列na中，15352551022aaaS，则32a，而41a，于是公差431daa，因此3(3)5naandn，由0na，得5n，显然数列na是递减等差数列，前5项都是非负数，从第6项起为负数，所以nS的最大值为14454102aaSS，此时4n或5n.变式1．数列na是等差数列，150a，0.6d．(1)从第几项开始有0na？(2)求此数列的前n项和的最大值．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）因为150a，0.6d，所以500.610.650.6nann．令0.650.60n，则50.684.30.6n．由于*nN，故当85n时，0na，即从第85项开始各项均小于0；（2）方法1：2221503503500.60.350.30.326120nnnSnnnn．当n取最接近于5036的自然数，即84n时，nS取到最大值8421084S.．方法2：因为0.60d，1500a，由（1），知840a，850a，所以1284SSS，且848586SSS．所以84max848350840.62108.42nSS．变式2．记nS为等差数列na的前n项和，已知17a，315S．(1)求na的通项公式；(2)求nS的最小值．【详解】（1）设公差为d，17a，∴353(31221331)(7)Sdd，解得2d，∴1129naandn=．（2）∵17a，2d，∴21(1)82nnnSnadnn＝2164n，∴当4n时，nS最小，最小值为16．变式3．等差数列na，1111S，公差3d．(1)求通项公式和前n项和公式；(2)当n取何值时，前n项和最大，最大值是多少．【详解】（1）由nS为等差数列na的前n项和，则111611611112111122aaaSa，解得61a，66163173naandnn，则117314a，12141733312222nnnaannSnn.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由173nan，则数列na为递减数列，由610a，520a，则当5n时，nS取得最大值，即最大值为55142402S.1．已知数列na是等差数列，若9120aa，10110aa，且数列na的前n项和nS，有最大值，当0nS时，n的最大值为（）A．20B．17C．19D．21【答案】C【分析】可判断数列{}na是递减的等差数列，利用前n项和公式和等差数列的性质可得192000SS，，进而可得n的最大值．【详解】因为10110aa，所以10a和11a异号，又等差数列{}na的前n项和nS有最大值，所以数列{}na是递减的等差数列，所以100a，110a，所以1191910191902aaSa，120201209122010()10()02aaSaaaa，所以当0nS时，n的最大值为19．故选：C．2．已知等差数列na的前n项和为nS，59750aa，且95aa，则nS取得最小值时n的值为（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【分析】由等差数列na的通项公式，求得60a，70a，进而得到当当16,Nnn时，0na，当7,Nnn时，0na，即可求解.【详解】由等差数列na的通项公式59750aa，得资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1111117177458680,,330,12aadadadadd，又95aa，所以10,0,ad1116171721710,5050,0,3333adaddadaadda则等差数列na中满足60a，70a，且0d，数列na为递增数列，且当16,Nnn时，0na，当7,Nnn时，0na，所以当nS取得最小值时，n的值为6.故选：B.3．已知数列na中，1125,447,nnaaa若其前n项和为Sn，则Sn的最大值为（）A．15B．750C．7654D．7052【答案】C【分析】由题意可得数列na是以首项为25，公差74d的等差数列，结合等差数列的通项公式以及前n项和的性质分析运算.【详解】由1447nnaa，可得174nnaa，所以数列na是以首项为25，公差74d的等差数列，且na为单调递减数列，其通项公式为77107251444nann．当7107044nan且17100044nan时，Sn最大，解得1077n且1007n，则15n，即数列{an}的前15项均为非负值，第16项开始为负值，故S15最大，15151477651525244S.故选：C．4．若na是等差数列，首项10a，202120220aa，202120220aa，则使前n项和0nS成立的最大自然数n是（）A．2021B．2022C．4042D．4043【答案】C【分析】根据题意得20210a，20220a，再结合4043202240430Sa，2042041220222021()0aaS，求解即可．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】根据10a,202120220aa得20210a，20220a，所以14043404320224043()404302aaSa，因为202120220aa，所以140424042202120224042()2021()02aaSaa，所以使前n项和0nS成立的最大自然数n是4042．故选：C5．设na是等差数列，nS是其前n项和，且56SS，678SSS，则下列结论正确的是（）.A．0dB．70aC．95SSD．6S与7S均为nS的最大值【答案】BD【分析】对于B：根据题意结合前n项和分析可得6780,0,0aaa；对于A：根据等差数列的定义分析判断；对于C：根据等差数列的性质分析可得67890aaaa，进而可得结果；对于D：根据等差数列的正负性结合前n项和的性质分析判断.【详解】因为56SS，678SSS，则6657768870,0,0aSSaSSaSS，故B正确；设等差数列na的公差为d，则760daa，故A错误；可知数列na为递减数列，可得12780aaaa，可得6789788220aaaaaaa，所以9567895SSaaaaS，故C错误；因为6a为最后一项正数，根据加法的性质可知：6S为nS的最大值，又因为67SS，所以6S与7S均为nS的最大值，故D正确；故选：BD.6．设等差数列na的前n项和为nS，公差为d．已知412a，140S，150S，则下列结论正确的是（）A．70aB．2437dC．784SD．设nSn的前n项和为nT，则0nT时，n的最大值为27资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】BC【分析】由已知求得80a，70a，解公差为d的取值范围，利用等差数列的通项公式求和公式及其性质逐个选项判断正误即可.【详解】∵140S，150S，∴1147814702aaaa，1158151502aaa，∴780aa，80a，∴70a，A选项错误；又∵412a，即1123ad，∴78448434247041240aaadaddaadd，解得2437d，B选项正确；∵177477842aaSa，故C选项正确；因为等差数列na的前n项和为nS，所以1(1)2nnnSnad，即112nSnadn，由11nnSSnn11111222nndadad，∴数列nSn为等差数列，设112nnSnbadn，因为当14n时，0nS，当15n时，0nS，所以当14n时，0nb，当15n时，0nb，所以1272714272702bbTb，1282812715281421424222bbTadd，因为2437d，所以28T可能为正数，也可能为负数，所以D选项不正确．故选：BC．7．已知数列na的前n项和nS满足2*11,R,NnSannbabn，则下列说法正确的是（）A．0b是na为等差数列的充要条件B．na可能为等比数列C．若0a，Rb，则na为递增数列D．若1a