专题10 直线和圆的方程（4大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）-备战2024年高考数学考

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】专题10直线和圆的方程易错点一：使用两平行线间距离公式忽略系数相等致错（平行线求距离问题）距离问题技巧总结①两点间的距离：已知111222(,),(,)PxyPxy则22122121()()PPxxyy②点到直线的距离:0022AxByCdAB③两平行线间的距离：两条平行直线11:0lAxByC与22:0lAxByC的距离公式1222CCdAB．易错提醒：在求两条平行线间距离时，先将两条直线yx,前的系数统一，然后代入公式求算.例．已知直线1:4330lxy，2:(2)(1)0lmxmym(R)m，则（）A．直线2l过定点(1,2)B．当2m时，12ll//C．当1m时，12llD．当12ll//时，12,ll之间的距离为15【详解】由2:2(1)20lmxxmyymmxyxy，令1020xyxy，可得12xy，所以2l过定点(1,2)，A对资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2m时，2:4320lxy，而1:4330lxy，即12ll//，B对1m时，2:10lx，而1:4330lxy，显然不垂直，C错12ll//，则3(2)4(1)mm，可得2m，由上知，12,ll之间的距离为22321543D对.故选：ABD变式1．曲线2ecos3xyx在点0,1处的切线与其平行直线l的距离为5，则直线l的方程可能为（）A．26yxB．24yxC．31yx=+D．34yx【详解】222ecos3e3sin3xxyxx2e2cos33sin3xxx，0|2xy所以曲线2ecos3xyx在点0,1处的切线方程为12(0)yx，即210xy设直线:20lxyt（1t），依题意得22|1|521t，解得6t或4t所以直线l的方程为26yx或24yx故选：AB变式2．已知直线1l：1ykx，2l：2ymx，圆C：22126xy，下列说法正确的是（）A．若1l经过圆心C，则1kB．直线2l与圆C相离C．若12ll∥，且它们之间的距离为55，则2kD．若1k，1l与圆C相交于M，N，则2MN【详解】对于A，因为圆心1,2C在直线1ykx上，所以21k，解得1k，A正确,对于B，因为直线2:2lymx恒过点0,2，且2201226即点0,2在圆C内，所以2l与圆C相交，B错误,对于C，因为12ll∥，则mk故10kxy与20kxy之间的距离21551dk，所以2k，C正确对于D，1k时，直线1l：1yx，即10xy因为圆心1,2C到直线10xy的距离22211d,所以22624MN，D错误,故选：AC变式3．已知直线12:4340,:(2)(1)250(R)lxylmxmymm，则（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．直线2l过定点(2,1)B．当1m时，12llC．当2m时，12ll//D．当12ll//时，两直线12,ll之间的距离为1【详解】依题意，直线2:(2)(25)0lxymxy，由20250xyxy解得：31xy,因此直线2l恒过定点(3,1)，A不正确当1m时，直线2:3270lxy，而直线1:4340lxy，显然34(2)(3)0，即直线12,ll不垂直，B不正确当2m时，直线2:4390lxy，而直线1:4340lxy，显然434439，即12ll//，C正确当12ll//时，有2(1)25434mmm，解得2m，即直线2:4390lxy,因此直线12,ll之间的距离22|94|14(3)d，D正确故选：CD1．若直线230xy与420xya之间的距离为5，则a的值为（）A．4B．56C．4或16D．8或16【答案】C【分析】将直线230xy化为4260xy，再根据两平行直线的距离公式列出方程，求解即可.【详解】将直线230xy化为4260xy，则直线230xy与直线420xya之间的距离|(6)||6|16425aad，根据题意可得：|6|525a，即|6|10a，解得4a或16a，所以a的值为4a或16a.故选：C资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．若两条直线1:2lyxm，2:2lyxn与圆2240xyx的四个交点能构成正方形，则mn（）A．45B．210C．22D．4【答案】B【分析】由直线方程知12ll//，由题意正方形的边长等于直线1l、2l的距离d，又2dr，结合两线距离公式即可求mn的值.【详解】由题设知：12ll//，要使A，B，C，D四点且构成正方形ABCD，∴正方形的边长等于直线1l、2l的距离d，则||5mnd，若圆的半径为r，2240xyx，即2224xy，则2r，由正方形的性质知：222dr，∴||225mn，即有210mn.故选：B.3．两条平行直线230xy和340axy间的距离为d，则a，d分别为（）A．6a，63dB．6a，63dC．6a，53dD．6a，53d【答案】D【分析】根据两直线平行的性质可得参数a，再利用平行线间距离公式可得d.【详解】由直线230xy与直线340axy平行，得2310a，解得6a，所以两直线分别为230xy和6340xy，即6390xy和6340xy，所以两直线间距离22945363d，故选：D.4．两条平行直线34120xy与8110axy之间的距离（）A．235B．2310C．72D．7【答案】C【分析】首先根据两条直线平行求出参数a的值，然后利用平行线间的距离公式求解即可.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】由已知两条直线平行，得348a，所以6a，所以直线34120xy可化为68240xy，则两平行线间的距离2224117268d.故选：C5．已知直线1:0lxmy和2:2(1)0(R)lxmymm与圆C都相切，则圆C的面积的最大值是（）A．2B．4C．8D．16【答案】A【分析】易得12,ll互相平行，故圆C的直径为12,ll间的距离，再表达出距离求最大值即可得圆C的直径最大值，进而得到面积最大值【详解】由题，12,ll互相平行，且210m，故圆C的直径为12,ll间的距离2222211211mmdmm，令1tm，则1mt，222222222111111222tdtttt，故当1102t，即2,1tm时d取得最大值22d，此时圆C的面积为222dS故选：A6．若直线1:60lxay与2:(2)320laxya平行，则1l与2l间的距离为（）A．2B．823C．3D．833【答案】B【分析】由两直线平行的判定有3(2)0aa且22180a求参数a，应用平行线距离公式求1l与2l间的距离.【详解】∵直线1:60lxay与2:(2)320laxya平行，∴3(2)0aa且22180a，解得221,:3320,03alxyxy．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴直线1l与2l间的距离222682331(1)d．故选：B．7．已知直线1l：324220xy（R），2l：20xy，若12//ll，则1l与2l间的距离为（）A．22B．2C．2D．22【答案】B【分析】由直线平行的结论列方程求，再由平行直线的距离公式求两直线的距离.【详解】由12//ll得32422112，解得1，所以直线1l：550xy，即0xy，所以1l与2l间的距离为222d，故选B．8．已知直线1:360lmxy，2:43120lxmy，若12ll//，则12,ll之间的距离为（）A．121313B．81313C．91313D．13【答案】A【分析】由(3)(3)40mm，解得2m，2m时舍去，可得2m，再利用平行线之间的距离公式即可得出．【详解】由于两条直线平行，得(3)(3)40mm，解得2m，当2m时，两直线方程都是2360xy故两直线重合，不符合题意.当2m时，1:2360lxy，2:2360lxy，故两平行直线的距离为22|6(6)|12121323.故选A.【点睛】本题主要考查了直线平行的充要条件及其距离，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．若两条平行直线1:200lxymm与2:260lxny之间的距离是5，则m+n=A．0B．1C．-2D．-1资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】C【分析】根据直线平行得到n4，根据两直线的距离公式得到2m，得到答案.【详解】由12ll，得122n，解得n4，即直线2:230lxy，两直线之间的距离为223512md，解得2m(8m舍去)，所以2mn故答案选C.【点睛】本题考查了直线平行，两平行直线之间的距离，意在考查学生的计算能力.10．已知直线1:3450lxy，2:68150lxy，则两条直线之间的距离为A．4B．2C．52D．5【答案】C【分析】利用两平行直线距离公式即可求得.【详解】因为215:3402lxy，则2215552234d，故选C.【点睛】本题考查了两平行直线距离问题，运用平行直线距离公式可以求解，但要注意将两直线一般方程的,xy系数化为相同的值；也可以在其中一条直线中选取一个特殊点，然后利用点到直线距离公式进行求解，属于基础题.易错点二：求有关截距相等问题时易忽略截距为零的情况（直线截距式的考点）直线方程的五种形式的比较如下表：名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式()11yykxx-=-11(,)xy是直线上一定点，k是斜率不垂直于x轴斜截式ykxb=+k是斜率，b是直线在y轴上的截距不垂直于x轴两点式112121yyxxyyxx--=--11(,)xy，22(,)xy是直线上两定点不垂直于x轴和y轴截距式1xyab+=a是直线在x轴上的非零截距，b是直不垂直于x轴和y轴，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】线在y轴上的非零截距且不过原点一般式2200AxByCAB++=+?（）A、B、C为系数任何位置的直线给定一般式求截距相等时，具体方案如下：形如：第一种情况BABCACACxyBCyxCByAx000令令第二种情况：000时，横纵截距皆为CCByAx截距之和为0时，横纵截距都为0也是此类模型易错提醒：求截距相等时，往往会忽略横纵截距为0的情况从而漏解例．已知直线l过点（2，1）且在x，y轴上的截距相等（1）求直线l的一般方程；（2）若直线l在x，y轴上的截距不为0，点,Pab在直线l上，求33ab的最小值．【详解】试题分析：（1）当截距为0时，得到20xy；当截距不为0时设直线方程为1xytt，代入点坐标即可得方程．（2）由第一问可得xy30l的方程为，ab3，由不等式得到结果.⑴①10l:y2x截距为时，即20xy