专题12 概率（3大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）-备战2024年高考数学考试易错题（

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】专题12概率易错点一：互斥与对立混淆致误（随机事件的概率）Ⅰ：首先明确什么是随机试验我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示．随机试验的要求：（1）试验可以在相同条件下重复进行；（2）试验的所有可能结果是明确的，结果不止一种；（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一种，但事先不能确定出现哪一种结果．Ⅱ：随机事件的前提样本空间我们把随机试验E的每个可能出现的结果称为样本点，全体样本集合称为试验E的样本空间，一般地，用表示样本空间，用表示样本点，如果一个随机试验有n个可能结果1，2，…，n，则称样本空间12,,,n为有限样本空间．Ⅲ：两类事件：随机事件、确定事件（1）一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．（2）作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件．（3）在每次试验中都不可能发生，我们称为不可能事件．（4）确定事件：必然事件和不可能事件统称为随机事件的确定事件．注意：事件的运算可以用韦恩图可以破解Ⅳ：互斥事件与对立事件（1）互斥事件：在一次试验中，事件A和事件B不能同时发生，即=AB，则称事件A与事件B互斥，可用韦恩图表示如下：资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】如果1A，2A，…，nA中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件1A，．2A．，…，nA彼此互斥．（2）对立事件：若事件A和事件B在任何一次实验中有且只有一个发生，即AB不发生，AB则称事件A和事件B互为对立事件，事件A的对立事件记为A．（3）互斥事件与对立事件的关系（重点）①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件．Ⅴ：概率与频率（1）频率：在n次重复试验中，事件A发生的次数k称为事件A发生的频数，频数k与总次数n的比值kn，叫做事件A发生的频率．（2）概率：在大量重复尽心同一试验时，事件A发生的频率kn总是接近于某个常数，并且在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件A的概率，记作()PA．（3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率kn随着试验次数的增加稳定于概率()PA，因此可以用频率kn来估计概率()PA．随机事件的概率对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用()PA表示.解题步骤如下：第一步：仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；第二步：判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；第三步：分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；第四步：利用公式()APA包含的基本事件的个数基本事件的总数求出事件A的概率．易错提醒：对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系；第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；第三，两个事件互斥是在试验的结果不能同时出现来确定的．对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A的对资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】立事件记作A．分类讨论思想是解决互斥事件中有一个发生的概率的一个重要的指导思想例、判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花各10张，且点数都是从1~10）中，任取一张．（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．解析：（1）是互斥事件，不是对立事件．原因是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，但是，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此二者不是对立事件．（2）既是互斥事件，又是对立事件．原因是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”是不可能同时发生的，但其中必有一个发生，因为扑克牌不是红色就是黑色，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．（3）不是互斥事件，也不是对立事件．原因是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽的点数为10．因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．变式1．从1，2，3，4，5，6这六个数中任取三个数，下列两个事件为对立事件的是（）A．“至多有一个是偶数”和“至多有两个是偶数”B．“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数”C．“至少有一个是奇数”和“全都是偶数”D．“恰有一个是奇数”和“至多有一个是偶数”解：从1，2，3，4，5，6这六个数中任取三个数，可能有0个奇数和3个偶数，1个奇数和2个偶数，2个奇数和1个偶数，3个奇数和0个偶数，“至多有一个是偶数”包括2个奇数和1个偶数，3个奇数和0个偶数，“至多有两个是偶数”包括1个奇数和2个偶数，2个奇数和1个偶数，3个奇数和0个偶数，即“至多有一个是偶数”包含于“至多有两个是偶数”，故A错误；“恰有一个是奇数”即1个奇数和2个偶数，“恰有一个是偶数”即2个奇数和1个偶数，所以“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数”是互斥但不对立事件，故B错误；资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】同理可得“恰有一个是奇数”和“至多有一个是偶数”是互斥但不对立事件，故D错误；“至少有一个是奇数”包括1个奇数和2个偶数，2个奇数和1个偶数，3个奇数和0个偶数，“全都是偶数”即0个奇数和3个偶数，所以“至少有一个是奇数”和“全都是偶数”为对立事件，故C正确；故选：C变式2．设A，B是两个随机事件，A，B分别为A，B的对立事件．给出以下命题：①若A，B为互斥事件，且12PA，13PB，则56PAB；②若12PA，13PB，且16PAB，则A，B相互独立；③若12PA，13PB，且13PAB，则A，B相互独立；④若12PA，13PB，且16PAB，则A，B相互独立．其中所有真命题的序号为（）A．①B．②C．①②③D．②③④【详解】对于①，因为A，B为互斥事件，且12PA，13PB，所以115()()236PABPAPB，所以①正确，对于②，因为12PA，所以112PAPA，因为13PB，16PAB,所以111()()()236PAPBPAB，所以A，B相互独立，所以②正确，对于③，因为12PA，13PB，所以112PAPA，213PBPB，所以121()()()233PAPBPAB，所以,AB相互独立，所以A，B相互独立，所以③正确，对于④，因为13PB，所以213PBPB，因为12PA，16PAB，所以1211()()()2336PAPBPAB，所以A，B不相互独立，所以④错误，故选：C变式3．（多选题）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝“两次都击中飞机”，B＝“两次都没击中飞机”，C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系正确的是（）A．A⊆DB．B∩D＝C．A∪C＝DD．A∪B＝B∪D【详解】“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一枚炮弹击中”包含两种情况：恰有一枚炮弹击中，两枚炮弹都击中．故A⊆D，A∪C＝D.故A、C正确；因为事件B，D为互斥事件，所以B∩D＝.故B正确；对于D：A∪B＝“两个飞机都击中或者都没击中”，B∪D为必然事件，这两者不相等.故D错误.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：ABC.1．某中学运动会上有一个项目的比赛规则是：比赛分两个阶段，第一阶段，比赛双方各出5人，一对一进行比赛，共进行5局比赛，每局比赛获胜的一方得1分，负方得0分；第二阶段，比赛双方各出4人，二对二进行比赛，共进行2局比赛，每局比赛获胜的一方得2分，负方得0分．先得到5分及以上的一方裁定为本次比赛的获胜方，比赛结束．若甲、乙两个班进行比赛，在第一阶段比赛中，每局比赛双方获胜的概率都是12，在第二阶段比赛中，每局比赛甲班获胜的概率都是45，每局比赛的结果互不影响，则甲班经过7局比赛获胜的概率是（）A．38B．110C．15D．316【答案】A【分析】可分类分别求出甲班在第一阶段获胜的局数对应的概率，最后各种情况概率相加即可求解.【详解】按照甲班在第一阶段获胜的局数，分类讨论如下：（1）若甲班在第一阶段获胜的局数为1，则甲班经过7局比赛获胜的概率52115141C2510P．（2）若甲班在第一阶段获胜的局数为2，则甲班经过7局比赛获胜的概率52225141C255P．（3）若甲班在第一阶段获胜的局数为3，则甲班经过7局比赛获胜的概率53351441C125520P．（4）若甲班在第一阶段获胜的局数为4，则甲班经过7局比赛获胜的概率54451441C125540P．所以所求概率123438PPPPP，故A项正确.故选：A.2．已知为随机试验的样本空间，事件A，B满足,AB，则下列说法正确的是（）A．若AB，且11,32PAPB，则56PABB．若AB，且11,32PAPB，则56PABC．若11,32PAPABPB，则14PBAD．若133,,248PAPABPAB，则23PB【答案】BD资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】对于A，由AB得(1)2PABPABPBU；对于B，根据互斥事件的概率加法公式即可判断；对于C，根据相互独立事件的概率乘法公式和条件概率的计算公式即可判断；对于D，根据条件概率以及全概率公式即可判断．【详解】选项A：因为AB，所以(1)2PABPABPBU，选项A不正确；选项B：若AB，则A，B互斥，由11,32PAPB，得115326PABPAPB，选项B正确；选项C：由PAPAB得事件A，B相互独立，所以事件,AB也相互独立，所以11111233PABPAPB，则1131213PABPBAPA，选项C不正确；选项D：由33,48PABPABPABPABPBPB，得33,48PABPBPABPB，3348PAPABPABPBPB，所以13311248PBPB，解得23PB，选项D正确．故选：BD.【点睛】方法点睛：条件概率中复杂事件的求解，可以灵活运用条件概率的相关性质，转化为彼此互斥的事件或对立的事件的概率求解．①已知事件A，B，C，如果B和C是两个互斥事件，则PBCAPBAPCA；②已知事件A，B，则1PBAPBA；③事件A与B相互独立时，有PBAPB．3．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A，2A和3A表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以B表示从乙罐取出的球是红球.