专题14 二项式定理、复数（5大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）-备战2024年高考数学

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】专题14二项式定理、复数易错点一：忽略了二项式中的负号而致错（（a-b）n化解问题）Ⅰ：二项式定理一般地，对于任意正整数，都有：011()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．式中的rnrrnCab做二项展开式的通项，用1rT表示，即通项为展开式的第1r项：1rnrrrnTCab，其中的系数rnC（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，Ⅱ：二项式()nab的展开式的特点：①项数：共有1n项，比二项式的次数大1；②二项式系数：第1r项的二项式系数为rnC，最大二项式系数项居中；③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n．字母a降幂排列，次数由n到0；字母b升幂排列，次数从0到n，每一项中，a，b次数和均为n；④项的系数：二项式系数依次是012rnnnnnnCCCCC，，，，，，，项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）．Ⅲ：两个常用的二项展开式：①（）②nnba)(011()(1)(1)nnnrrnrrnnnnnnnabCaCabCabCb*Nn122(1)1nrrnnnnxCxCxCxx资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】Ⅳ：二项展开式的通项公式二项展开式的通项：1rnrrrnTCab0,1,2,3,,rn公式特点：①它表示二项展开式的第1r项，该项的二项式系数是；②字母b的次数和组合数的上标相同；③a与b的次数之和为n．注意：①二项式()nab的二项展开式的第r+1项和()nba的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换位置的．②通项是针对在()nab这个标准形式下而言的，如()nab的二项展开式的通项是（只需把b看成b代入二项式定理）．易错提醒：在二项式定理()nab的问题要注意b的系数为1，在展开求解时不要忽略.例、已知5axx的展开式中含32x的项的系数为30，则a（）A．3B．3C．6D．6错解：552155CCrrrrrrraTxaxx，令1r，可得530a，∴6a．错因分析：二项式5axx中的项为x，ax，错解中误认为是x，ax，忽略了负号而出现了错解．正解：D5215C1rrrrrTax，令1r，可得530a，∴6a．变式1：在5223xx的展开式中，x的系数是．【详解】二项式5223xx展开式的通项为5251031552C3C32rrrrrrrrTxxx（其中05r且Nr），令1031r，解得3r，所以33245C32720Txx，所以展开式中x的系数是720.故答案为：720变式2：621xx展开式的常数项为.rnCrnrrnCabrnrrnCba1(1)rrnrrrnTCab资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】展开式的通项公式为66316621C(1)CkkkkkkkTxxx，令630k，解得2k，所以常数项为236C15T，故答案为：15.变式3：612xx的展开式中4x的系数为.【详解】设展开式中的第1r项含有4x项，即6662661C212Crrrrrrrxxx，令624r，解得1r，即1515144661C22C192xxxx，所以展开式中4x的系数为192.故答案为：1921．712xx的二项式展开式中x的系数为（）A．560B．35C．-35D．-560【答案】D【分析】712xx中利用二项式定理可求得x的系数，从而求解.【详解】由题意知712xx的展开式为77721771C21C2rrrrrrrrTxxx，令721r，得3r，所以x的系数为337371C2560，故D项正确.故选：D.2．若*31Nnxnx的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则231nxx的展开式中的常数项为（）A．6B．8C．28D．56【答案】C资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】根据31nxx的展开式中所有项的二项式系数之和求出n的值，从而写出231nxx的展开式的通项公式，再令x的指数为0，即可求解常数项．【详解】由*31Nnxnx的展开式中所有项的二项式系数之和为16，得216n，所以4n，则二项式831xx的展开式的通项公式为848331881CCrrrrrrTxxx（08r且Nr），令8403r，解得2r，所以238C28T，故831xx的展开式中的常数项为28，故选：C．3．621()xxyy的展开式中42xy的系数为（）A．55B．70C．65D．25【答案】D【分析】根据6()xy展开式的通项公式进行计算即可.【详解】含42xy的项为242333426621CC25xTxyxyxyy，所以展开式中42xy的系数为25．故选：D.4．若23132nxx的展开式中含有常数项（非零），则正整数n的可能值是（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【分析】根据二项展开式的通项公式建立方程，求解即可.【详解】由二项式定理知，2131C(3)()2rnrrrnTxx251C3()2rnrrnrnx，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为其含有常数项，即存在*,Nnr，使得25,nr此时52rn，所以2r时，5n，故选：C.5．7ymxyx的展开式中34xy的系数为105，则实数m（）A．2B．1C．1D．2【答案】D【分析】利用二项式的展开式公式展开，再与前面的项相乘求解即可.【详解】7xy的展开式的通项公式为7171CrrrrrTxy，所以61171CrrrrryTxyx．令6314rr，解得3r，7171CrrrrrmTmxy．令734rr，解得4r．由题意，可知3434343777771C1CCC1C105mmm，所以2m．故选：D．6．在7(3)x的展开式中，3x的系数为（）A．21B．21C．189D．189【答案】B【分析】利用二项展开式的通项公式可得解.【详解】由二项展开式的通项公式得11772277C3()C3(1)rrrrrrrxx，令132r得6r，所以3x的系数为667C3(1)21.故选：B.7．721232xxx的展开式中含x的项的系数为.【答案】960【分析】利用二项展开式的通项公式分析运算求解.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】712x的展开式的通项为7217C2(1)rrrrrTx，故令0,2r，可得721232xxx的展开式中含x的项的系数为：0725773C22C23841344960.故答案为：960.8．已知91axx的展开式中的常数项是672，则a.【答案】2【分析】写出二项式通项1rT，整理后让x的次数为0，得出r的值，再根据常数项的值列出等式方程即可得出a的值．【详解】展开式的通项为399929191CC1rrrrrrrrTaxaxx，令3902r，得6r，所以常数项是36619C672Ta，故2a．故答案为：2．9．在412xx的展开式中，x的系数为．【答案】24【分析】求出二项式展开式的通项公式，再求出指定项的系数即得.【详解】二项式412xx展开式的通项为344421441C212C,N,4rrrrrrrrTxxrrx，由3412r，得2r，则2223412C24Txx，所以x的系数为24.故答案为：24.10．43(12)(1)xx的展开式中，按x的升幂排列的第3项的系数为．【答案】3【分析】根据已知得出按x的升幂排列的第3项即含2x的项.结合二项式定理，分类讨论求解，即可得出答案.【详解】由已知可得，展开式中含有常数项、一次项、两次项，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以，按x的升幂排列的第3项即含2x的项.412x展开式中的常数项为0044C121x，31x展开式中含2x的项为21223C13xx；412x展开式中含x的项为1134C128xx，31x展开式中含x的项为123C13xx；412x展开式中含2x的项为22224C1224xx，31x展开式中的常数项为0303C11x.所以，43(12)(1)xx的展开式中，含2x的项为22213832413xxxxx.故答案为：3.11．在622xx的展开式中的3x的系数是.【答案】402【分析】根据二项展开式的通项公式，可令3r求得3x的系数.【详解】622xx展开式的通项公式为：662361662CC12rrrrrrrrTxxx，令363r，解得：3r，所以3x的系数为3336C12402.故答案为：402.12．二项式61xx的展开式中常数项为．【答案】20【分析】根据给定的条件，利用二项式定理求解作答.【详解】61xx的展开式的通项为6621661C1CrrrrrrrTxxx．令620r，得3r，故常数项为633()C012．故答案为：20.13．3nxx的展开式的第三项的系数为135，则n．【答案】6【分析】先写出展开式的通项公式1rT；再令2r，列出等式求解即可.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】3nxx的展开式的通项公式为213C3CrrrnrrnrrnnTxxx，则第三项的系数为22213C9C91352nnnn，即130nn，解得5n（舍去）或6n．故答案为：6.易错点二：三项式转化不合理导致计算麻烦失误（三项展开式的问题）求三项展开式式中某些特定项的系数的方法第一步：通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解第二步：两次利用二项式定理的通项公式求解第三步：由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量易错提醒：对于三项式的展开问题，一般采取转化为二项式再展开的办法进行求解，但在转化为二项式的时候，又有不同的处理策略：一是如果三项式能够化为完全平方的形式，或者能够进行因式分解，则可通过对分解出来的两个二项展开式分别进行分析，进而解决问题（如本例中的解法二）；二是不能化为完全平方的形式，也不能进行因式分解时，可直接将三项式加括号变为二项式，套用通项公式展开后对其中的二项式再利用通项展开并进行分析求解，但要结合要求解的问题进行合理的变形，以利于求解.例、5232xx的展开式中，x的一次项的系数为（）A．120B．240C．3