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资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】专题15排列组合易错点一：相邻与不相邻问题处理方法不当致误（相邻问题）相邻问题技巧总结相邻问题1、思路：对于相邻问题，一般采用“捆绑法”解决，即将相邻的元素看做是一个整体，在于其他元素放在一起考虑.如果设计到顺序，则还应考虑相邻元素的顺序问题，再与其他元素放在一起进行计算.2、解题步骤：第一步：把相邻元素看作一个整体（捆绑法），求出排列种数第二步：求出其余元素的排列种数第三步：求出总的排列种数易错提醒：排列组合实际问题主要有相邻问题和不相邻问题。（1）相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）；（2）不相邻（相间）问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）；例、现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙3人不能相邻的排法有（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．3565AA种B．863863AAA种C．3353AA种D．8486AA种易错分析：本题易出现的错误是把“甲、乙、丙3人不能相邻”理解为“甲、乙、丙3人互不相邻”的情况，使结果中遗漏甲、乙、丙3人中有两人相邻的情况．正解：在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙3人不相邻的方法数，即863863AAA，故选B．易错警示：处理相邻问题的基本方法是“捆绑法”，即把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个元素，然后与其余元素全排列，最后“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列．处理不相邻问题的基本方法是“插空法”，即先安排好没有限制条件的元素，然后把有限制条件的元素变式1：加工某种产品需要5道工序，分别为A，B，C，D，E，其中工序A，B必须相邻，工序C，D不能相邻，那么有（）种加工方法．A．24B．32C．48D．64解：工序A，B必须相邻，可看作一个整体，工序C，D不能相邻，所以先对AB，E工序进行排序，有222A种方法，AB内部排序，有222A种方法，排好之后有三个空可以把工序C，D插入，共236A种情况，所以一共有22624种可能性故选：A变式2：中国航天工业迅速发展，取得了辉煌的成就，使我国跻身世界航天大国的行列.中国的目标是到2030年成为主要的太空大国.它通过访问月球，发射火星探测器以及建造自己的空间站，扩大了太空计划.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（）A．24种B．48种C．96种D．144种解：首先将程序B和C捆绑在一起，再和除程序A之外的3个程序进行全排列，最后将程序A排在第一步或最后一步，根据分步计数原理可得241242224296AAA种.故选：C变式3：为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行，若主题班会、主题团日这两个阶段相邻，且中心组学习必须安排在前两阶段并与党员活动日不相邻，则不同的安排方案共有（）A．10种B．12种C．16种D．24种解：如果中心组学习在第一阶段，主题班会、主题团日在第二、三阶段，则其它活动有2种方法；主题班资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】会、主题团日在第三、四阶段，则其它活动有1种方法；主题班会、主题团日在第四、五阶段，则其它活动有1种方法，则此时共有22(211)8A种方法；如果中心组学习在第二阶段，则第一阶段只有1种方法，后面的三个阶段有222A种方法.综合得不同的安排方案共有10种.故选:A1．2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有（）A．1120B．7200C．8640D．14400【答案】B【分析】相邻问题用捆绑法看成一个整体，丙不排在两端可先排好其他人后再排丙.【详解】甲与乙相邻有22A种不同的排法，将甲与乙看作是一个整体，与除丙外的5人排好，有66A种不同的排法，再将丙排入隔开的不在两端的5个空中，有15C种不同的排法，所以共有261265AAC=7200种不同的排法．故选：B.2．六名同学暑期相约去都江堰采风观景，结束后六名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有（）A．48种B．72种C．120种D．144种【答案】D【分析】甲和乙相邻利用捆绑法，丙和丁不相邻用插空法，即先捆甲和乙，再与丙和丁外的两人共“3人”排列，再插空排丙和丁.【详解】甲和乙相邻，捆绑在一起有22A种，再与丙和丁外的两人排列有33A种，再排丙和丁有24A种，故共有232234AAA144种排法.故选：D.3．把二项式81xx的所有展开项重新排列，记有理项都相邻的概率为p，有理项两两不相邻的概率为q，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则pq（）A．5B．15C．4D．14【答案】A【分析】根据二项式的展开公式可得有5项有理项，4项无理项，从而可得p、q的值，再代入求解即可得答案.【详解】解：38421881CCrrrrrrTxxx，其中08r，rN，当0,2,4,6,8r时为有理项，故有5项有理项，4项无理项，故555599AAAp，454599AAAq，故55554545AA5AApq.故选:A．4．A，B，C，D，E，F六人站成一排，满足A，B相邻，C，D不相邻的不同站法的种数为（）A．48B．96C．144D．288【答案】C【分析】根据相邻捆绑法和不相邻问题插空法即可由排列数计算求解.【详解】由于A，B相邻，所以先将A,B看作一个整体捆绑起来与E,F进行全排列，然后将C，D插入到已排好队的两两之间以及首尾的空隙中即可，故共有322324AAA144,故选：C5．2023年5月21日，中国羽毛球队在2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛决赛中以总比分3:0战胜韩国队，实现苏迪曼杯三连冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷赛后在现场合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（）A．18种B．24种C．30种D．36种【答案】C【分析】分别计算丙站在左端时和丙不站在左端时的情况，即可得到答案.【详解】当丙站在左端时，甲、丙必须相邻，其余人全排列，有33A6种站法；当丙不站在左端时，从丁、戊两人选一人站左边，再将甲、丙捆绑，与余下的两人全排，有123223AAA24种站法，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以一共有62430种不同的站法．故选：C6．为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动.高一､高二､高三年级分别有1名､2名､3名同学获一等奖.若将上述获一等奖的6名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（）A．18种B．36种C．72种D．144种【答案】C【分析】根据相邻问题捆绑法即可由全排列求解.【详解】由题意可得12331233AAAA72，故选:C7．甲、乙两个家庭周末到附近景区游玩，其中甲家庭有2个大人和2个小孩，乙家庭有2个大人和3个小孩，他们9人在景区门口站成一排照相，要求每个家庭的成员要站在一起，且同一家庭的大人不能相邻，则所有不同站法的种数为（）A．144B．864C．1728D．2880【答案】C【分析】利用捆绑以及插空法求得正确答案.【详解】甲家庭的站法有2223AA12种，乙家庭的站法有3234AA72种，最后将两个家庭的整体全排列，有22A2种站法，则所有不同站法的种数为127221728．故选：C8．某驾校6名学员站成一排拍照留念，要求学员A和B不相邻，则不同的排法共有（）A．120种B．240种C．360种D．480种【答案】D【分析】正难则反，首先我们可以求出6名学员随机站成一排的全排列数即66A，然后求学员A和B相邻的排列数，两数相减即可.【详解】一方面：若要求学员A和B相邻，则可以将学员A和B捆绑作为一个“元素”，此时一共有5个元素，但注意到学员A和B可以互换位置，所以学员A和B相邻一共有2525AA2154321240种排法.另一方面：6名学员随机站成一排的全排列数为66A654321720种排法.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】结合以上两方面：学员A和B不相邻的不同的排法共有625625AAA720240480种排法.故选：D.9．某高铁动车检修基地库房内有AE共5条并行的停车轨道线，每条轨道线只能停一列车，现有动车01,02、高铁01,02,03共五列车入库检修，若已知两列动车安排在相邻轨道，则动车01停放在A道的概率为（）A．14B．15C．18D．110【答案】C【分析】根据条件概型以及排列数的计算求得正确答案.【详解】记M“两动车相邻”，N“动车01停在A道”，则332424A1AA8nMNPNMnM.故选：C10．班长邀请,,,ABCD四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则,AB两位同学座位相邻的概率是（）A．12B．13C．14D．23【答案】A【分析】先计算出,,,ABCD四位同学参加圆桌会议的情况数，再计算出,AB两位同学座位相邻的情况，从而计算出概率.【详解】,,,ABCD四位同学参加圆桌会议，共有44A24种情况，其中,AB两位同学可坐在①②，②③，③④三个位置，并可进行互换位置，有223A6种情况，,CD两位同学坐在其余两个位置，且可互换，有22A2种情况，故,AB两位同学座位相邻的情况有6212种情况，所以,AB两位同学座位相邻的概率为121242.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：A11．将3名男生，2名女生排成一排，要求男生甲必须站在中间，2名女生必须相邻的排法种数有（）A．4种B．8种C．12种D．48种【答案】B【分析】根据分步乘法原理结合排列数求解即可.【详解】先让甲站好中间位置，再让2名女生相邻有两种选法，最后再排剩余的2名男生，根据分步乘法原理得，有22222AA8种不同的排法.故选：B12．5名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须排在一起的不同排法有（）A．70种B．72种C．36种D．12种【答案】C【分析】相邻问题用捆绑法即可得解.【详解】甲、乙、丙先排好后视为一个整体与其他2个同学进行排列，则共有3333AA36种排法.故选：C13．现有2名男生和3名女生，在下列不同条件下进行排列，则（）A．排成前后两排，前排3人后排2人的排法共有120种B．全体排成一排，女生必须站在一起的排法共有36种C．全体排成一排，男生互不相邻的排法共有72种D．全体排成一排，甲不站排头，乙不站排尾的排法共有72种【答案】ABC【分析】根据题意，利用排列数公式，以及捆绑法、插空法，以及分类讨论，结合分类计数原理，逐项判定，即可求解.【详解】由题意知，现有2名男生和3名女生，对于A中，排成前后两排，前排3人后排2人，则有3252AA120种排法，所以A正确；对于B中，全体排成一排，女生必须站在一起，则有3333AA36种排法，所以B正确；对于C中，全体排成一排，男生互不相邻，则有3234AA72种排法，所以C正确；对于D中，全体排成一排，甲不站排头，乙不站排尾资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】可分为两类：（1）当甲站在中间的三个位置中的一个位置时，有13A3种排法，此时乙有13A3种排法，共有113333AAA54种排法；（2）当甲站在排尾时，甲只有一种排法，此时乙有14A4种排法，共有1343AA24种排法，综上可得，共有542478种不同的排法，所以D错误.故选：AB