专题03 平面向量（选填题10种考法）（原卷版）

专题03平面向量（选填题10种考法）考法一平面向量的坐标运算【例1】（2023·湖南·校联考二模）（多选）已知向量2,1a，a//b，=2bc，1,2c，则（）A．acB．acC．4,2bD．bac【变式】1．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知向量1,,2,4amb，则下列说法正确的是（）A．若10abrr，则5mB．若ab，则2mC．若ab，则1mD．若1m，则向量,ab的夹角为锐角2（2023·广东广州·统考三模）（多选）已知向量(1,2)a，(2,1)b，则（）A．()()ababB．()//()ababC．||||ababD．ba在a上的投影向量是a3．（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）（多选）已知向量1,am，2,4b，则下列说法正确的是（）A．若10abrr，则5mB．若a∥b，则2mC．若ab，则1mD．若1m，则向量a，b的夹角为钝角考法二平面向量的基本定理【例2-1】（2023·安徽·校联考二模）如图，在ABC中，点D为线段BC的中点，点E，F分别是线段AD上靠近D，A的三等分点，则AD（）A．13BECFB．13BECFC．BECFD．49BECF【例2-2】（2023·河南·校联考模拟预测）在平行四边形ABCD中，点E满足4BDBE，(,)CEBABCR，则（）A．316B．38C．316D．1【变式】1（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）在平行四边形ABCD中，E､F分别在边AD､CD上，3AEED，,DFFCAF与BE相交于点G，记,ABaADb，则AG（）A．341111abB．631111abC．451111abD．361111ab2．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）如图，在ABC中，E是AB的中点，12,,3BDDCFCAFEF与AD交于点M，则AM（）A．33147ABACB．331414ABACC．2839ABACD．3477ABAC3．（2023·湖南娄底·娄底市第三中学校联考三模）2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割.所谓黄金分割点，指的是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，黄金分割比为512.如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，,,,BFACDHACAEBDCGBD，且点E为线段BO的黄金分割点，则BF（）A．3555210BABGB．3555210BABGC．5155210BABGD．35525BABG考法三平面向量的数量积【例3-1】（2022·全国·统考高考真题）已知向量,ab满足||1,||3,|2|3abab，则ab（）A．2B．1C．1D．2【例3-2】（2023·全国·统考高考真题）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则ECED（）A．5B．3C．25D．5【变式】1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知等边三角形ABC的边长为2，D，E分别是BC，AC上的点，且13BDBC，23CECA，则ADBE（）A．2B．2C．229D．2292．（2023·全国·统考高考真题）已知向量a，b满足3ab，2abab，则b．3．（2023·河北保定·统考二模）在ABC中，点D在边AB上，CD平分ACB，若1,2CACB，60ACB，则CDAB．考法四平面向量的共线定理【例4-1】（2023·山西临汾·统考一模）已知a、b为不共线的向量，5ABab，28BCab，3CDabuuurrr，则（）A．ABC，，三点共线B．ACD，，三点共线C．ABD，，三点共线D．BCD，，三点共线【例4-2】（2023·河北沧州·校考模拟预测）在ABC中,1122BEECBFBABC，点P为AE与BF的交点，APABAC，则（）A．0B．14C．12D．34【变式】1．（2023·广东广州·统考模拟预测）在ABC中，M是AC边上一点，且1,2AMMCN是BM上一点，若19ANACmBC，则实数m的值为（）A．13B．16C．16D．132．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）如图，在ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点，2AGGM，过点G的直线分别交直线AB，AC于P，Q两点，0ABxAPx，0ACyAQy，则411xy的最小值为（）．A．34B．94C．3D．93．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）1e，2e是两个不共线的向量，已知122ABeke，123CBee，122CDee且,,ABD三点共线，则实数k.考法五平面向量中的取值范围【例5-1】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在边长为2的菱形ABCD中，160,,0,13xBADAExABADx，则DEDC的最小值为（）A．2B．43C．23D．12【例5-2】（2023·山东潍坊·昌乐二中校考模拟预测）已知平面向量a、b、c满足1a，0bc，1ab，1ac，则bc的最小值为（）A．1B．2C．2D．4【变式】1．（2023·河南开封·统考模拟预测）折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形AOB，其中120AOB，2OC，5OA，点E在CD上，则EAEB的最小值是．2．（2023·四川成都·校联考二模）平面向量a，b满足||||ab，且|3|1ab，则cos,3bba的最小值是．3．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知ABC中，22ABAC，min2RABBC，12AMMB，22sincosAPABAC，ππ,63，则MP的取值范围为（）A．4245,33B．445,33C．1741,33D．441,334．（2023·全国·统考高考真题）已知O的半径为1，直线PA与O相切于点A，直线PB与O交于B，C两点，D为BC的中点，若2PO，则PAPD的最大值为（）A．122+B．1222C．12D．22考法六平面向量与四心【例6】（2023春·福建莆田·高一福建省仙游县华侨中学校考阶段练习）已知O，N，P，I在ABC所在的平面内，则下列说法不正确的是（）A．若OAOBOC，则O是ABC的外心B．若0CBIAACIBBAIC，则I是ABC的内心C．若PAPBPBPCPCPA，则P是ABC的垂心D．若0NANBNC，则N是ABC的重心【变式】1．（2023春·河南濮阳·高一统考期末）点,,OGP为ABC所在平面内的点，且有222222OABCOBCAOCAB，0GAGBGC，0PAPBABPBPCBCPCPACA，则点,,OGP分别为ABC的（）A．垂心，重心，外心B．垂心，重心，内心C．外心，重心，垂心D．外心，垂心，重心2．（2023春·广东珠海）（多选）在ABC所在平面内，点满足ABACAPmABnAC，其中0,，m，Rn，0m，0n，则下列说法正确的是（）A．当1mABnAC时，直线AP一定经过ABC的重心B．当1mn时，直线AP一定经过ABC的外心C．当cosmB，cosnC时，直线AP一经过ABC的垂心D．当sinmB，sinnC时，直线AP一定经过ABC的内心3．（2023春·湖北）（多选）在ABC所在的平面上存在一点P，,RAPABAC，则下列说法错误的是（）A．若1，则点P的轨迹不可能经过ABC的外心B．若2，则点P的轨迹不可能经过ABC的垂心C．若12，则点P的轨迹可能经过ABC的重心D．若，则点P的轨迹可能经过ABC的内心4．（2023春·江苏扬州）（多选）已知直角三角形ABC满足90A，3,4ABAC，则下列结论正确的是（）A．若点O为ABC的重心，则1133AOABAC；B．若点O为ABC的外心，则1122AOABAC；C．若点O为ABC的垂心，则1692525AOABAC；D．若点O为ABC的内心，则1134AOABAC．考法七平面向量巧建坐标【例7】（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在Rt△ABC中，90B??，7AB，2BC，若动点P满足2AP，则BPCP的最大值为（）A．16B．17C．18D．19【变式】1（2022·北京·统考高考真题）在ABC中，3,4,90ACBCC．P为ABC所在平面内的动点，且1PC，则PAPB的取值范围是（）A．[5,3]B．[3,5]C．[6,4]D．[4,6]2．（2023·重庆·统考模拟预测）在正方形ABCD中，动点E从点B出发，经过C，D，到达A，AEABAC，则的取值范围是（）A．1,1B．0,1C．1,2D．0,23．（2023·广东东莞·统考模拟预测）如图所示，梯形ABCD中，//ABCD，且2222ABADCDCB，点P在线段BC上运动，若APxAByAD，则22xy的最小值为（）A．54B．45C．1316D．134考法八平面向量与奔驰定理【例8-1】（2023春·江苏盐城）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是ABC内一点，BOC，AOC，AOB的面积分别为,,ABCSSS，则0ABCSOASOBSOC，O是ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是ABC的三个内角，以下命题正确．．的有（）A．若2340OAOBOC，则4:::3:2ABCSSSB．若2OAOB，23AOB，且2340OAOBOC，则934ABCS△C．若OAOBOBOCOCOA，则O为ABC的垂心D．若O为ABC的内心，且512130OAOBOC，则π2ACB【例8-2】（2023春·宁夏银川）已知点O是ABC内一点，满足2OAOBmOC，47△△AOBABCSS，则实数m为．【变式】1．（2023秋·福建厦门·高二厦门一中校考开学考试）已知O为ABC的外心，4AB，6AC，1469AOABAC，则ABC的面积为（）A．12B．123C．6D．632．（2023秋·河北保定·高三校联考阶段练习）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是ABC内一点，BOC，AOC，AOB的面积分别为AS，BS，CS，则0ABCSOASOBSOC．设O是ABC内一点，ABC的三个内角分别为A，B，C，BOC，AOC，AOB的面积分别为AS，BS，CS，若3450OAOBOC，则以下命题正确的有（）A．::3:4:5ABCSSSB．O有可能是ABC的重心C．若O为ABC的外心，则sin:sin:sin3:4:5ABCD．若O为ABC的内心，则ABC为直角三角形3．（2023秋·江西宜春）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是ABC内的一