专题09 数列（选填题8种考法）（原卷版）

专题09数列（选填题8种考法）考法一等差等比的基本量运算【例1-1】（2023·全国·统考高考真题）记nS为等差数列na的前n项和．若264810,45aaaa，则5S（）A．25B．22C．20D．15【例1-2】．（2023·全国·统考高考真题）设等比数列na的各项均为正数，前n项和nS，若11a，5354SS，则4S（）A．158B．658C．15D．40【变式】1．（2023·全国·统考高考真题）记nS为等比数列na的前n项和，若45S，6221SS，则8S（）．A．120B．85C．85D．1202．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模）公差不为0的等差数列na的前n项和为nS，若351Sa，1a，2a，6a成等比数列，则nS（）A．232nnB．22nnC．32nD．2532nn3（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知等差数列na的前n项和为nS，若11S且241424SS，则na（）A．32nB．43nC．54nD．65n考法二等差等比数列性质【例2-1】（2023·四川成都·模拟预测）已知等差数列na中，17134πaaa，则212tanaa的值为（）A．3B．3C．33D．33【例2-2】（2023·广东深圳·统考二模）设等差数列na的前n项和为nS，若1020S，2010S，则30S（）A．0B．10C．30D．40【例2-3】（2023·辽宁沈阳·沈阳铁路实验中学校考二模）设nS，nT分别是两个等差数列na，nb的前n项和．若对一切正整数n，231nnSnTn恒成立，66ab（）A．1219B．1117C．914D．57【例2-4】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模）设等比数列na，3a，7a是方程2540xx的两根，则5a的值是（）A．2或12B．2或12C．2D．12【例2-5】（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知等比数列na的前n项和为nS，若4817SS，则124SS（）A．41B．45C．36D．43【变式】1．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模）等差数列na中，1472120aaa，则746Sa（）A．60B．30C．10D．02．（2023·福建厦门·统考模拟预测）等差数列na的前n项和为nS，3918,3SS，则6S（）A．9B．212C．12D．2723．（2023·海南·校考模拟预测）已知等差数列na，nb的前n项和分别为nS，nT，若23nnnSnT，则56ab（）A．925B．13C．921D．11254．（2023·重庆·校联考三模）已知na是等差数列，nb是等比数列，若2464πaaa，24633bbb，则1726tan1aabb（）A．3B．33C．33D．35．（2023·山西吕梁·统考二模）等比数列na的前n项和为nS，24S，6364S，则4S为（）A．40或36B．36C．40D．32考法三通项【例3-1】（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知数列na的前n项和为nS，若满足43nnSa，则nS（）A．2415nB．2413nC．4313nD．431n【例3-2】（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）已知数列na的各项均不为零，且满足11a，111nnnaana（2n，*Nn），则na的通项公式na．【例3-3】（2023·河北秦皇岛·统考模拟预测）已知数列na各项均为正数，13a，且有123nnaa，则na（）A．121nB．321nC．1421nD．1221n【变式】1．（2023·河南·统考三模）已知数列na的前n项和为nS，11a，122(1)(1)nnnSnSnn，则数列na的通项na．2．（2023·广东佛山·统考模拟预测）数列na满足1nnaa，221nnaa，写出一个符合上述条件的数列na的通项公式.3．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知数列na满足112nnnana，11a，则数列na的通项公式为．考法四求和方法【例4-1】（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）等差数列na的前n项和nS，343,10aS，数列1nS的前n项和【例4-2】（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）已知数列na满足11a，22a，2(1)2nnnaa，则数列na的前30项和为.【例4-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列na满足212naaan，则1212222nnaaa.【变式】1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列na满足1211321323naanan，*nN，则12naaa.2．（2023·江西鹰潭·二模）已知等差数列na满足：11a，35a，数列nb的前n项和nS满足*1N2nnSbn，则数列1nnnab的前n项和nT.3．（2023·河南·校联考模拟预测）在数列na中，21212122121nnnna，其前n项和为nS，则3nS．4．（2023·江西赣州·统考二模）设nS为数列na的前n项和，满足11S，12nnSna其中*Nn，数列nb的前n项和为nT，满足21441nnnnaba，则2023T．考法五数列在实际生活中应用【例5-1】（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里路，则该马第五天走的里程数约为（）A．2.76B．5.51C．11.02D．22.05【变式】1．（2023·贵州遵义·校考模拟预测）公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，前五人得到的玉米总量为（）A．55510887斗B．65510887斗C．55510887斗D．65510887斗2．（2023·陕西榆林·统考三模）现有17匹善于奔驰的马，它们从同一个起点出发，测试它们一日可行的路程．已知第i（1216i，，，）匹马的日行路程是第1i+匹马日行路程的1.05倍，且第16匹马的日行路程为315里，则这17匹马的日行路程之和约为（取171.052.292）（）A．7750里B．7752里C．7754里D．7756里3（2022·全国·统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AABBCCDD是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DDCCBBAA是举，1111,,,ODDCCBBA是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DDCCBBAAkkkODDCCBBA．已知123,,kkk成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则3k（）A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9考法六数列的单调性与最值【例6-1】（2023·四川自贡·统考三模）等差数列na的前n项和为nS，公差为d，若100S，110S，则下列四个命题正确个数为（）①5S为nS的最小值②60a③10a，0d④6S为nS的最小值A．1B．2C．3D．4【例6-2】（2023·江西赣州·统考一模）若等比数列na的公比为q，其前n项和为nS，前n项积为nT，并且9801aa，则下列正确的是（）A．1qB．101aC．nS的最大值为8SD．nT的最大值为8T【变式】1．（2023·山东烟台·校考模拟预测）设等差数列na的前n项和为nS，已知1890,,aaa是方程220230xx的两根，则能使0nS成立的n的最大值为（）A．15B．16C．17D．182．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考一模）设等差数列na的公差为d，共前n项和为nS，已知160S，170S，则下列结论不正确的是（）.A．10a，0dB．8S与9S均为nS的最大值C．890aaD．90a3．（2023·江苏盐城·盐城市伍佑中学校考模拟预测）（多选）设等比数列na的公比为q，其前n项和为nS，前n项积为nT，并且满足条件6167711,1,01aaaaa，则下列结论正确的是（）A．1qB．8601aa1C．nS的最大值为7SD．nT的最大值为6T考法七数列与其他知识的综合运用【例7-1】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）若i为虚数单位，则计算232021i2i3i2021i．【例7-2】（2023·山西阳泉·统考三模）已知数列na满足101021C33nnnnan，其前n项和为nS，则10S．【变式】1．（2023·河北沧州·校考三模）自然界中某些生物的基因型是由雌雄配子的基因组合而成，这种生物在生育下一代时，成对的基因相互分离形成配子，配子随机结合形成下一代.若某生物群体的基因型为Aa，在该生物个体的随机交配过程中，基因型为aa的子代因无法适应自然环境，会被自然界淘汰.例如，当亲代只有Aa基因型个体时，其子1代的基因型如下表所示：雌雄1A21a212A1AA41Aa41a21Aa4×由上表可知，子1代中AA:Aa1:2，子1代产生的配子中A占23，a占13.以此类推，则子10代中Aa个体所占比例为.2．（2023·全国·模拟预测）离子是指原子由于自身或外界的作用而失去或得到一个或几个电子后达到的稳定结构，得到电子为阴离子，失去电子为阳离子，在外界作用下阴离子与阳离子之间可以相互转化．科学家们在试验过程中发现，在特定外界作用下，1个阴离子可以转化为1个阳离子和1个阴离子，1个阳离子可以转化为1个阴离子，如果再次施加同样的外界作用，又能产生同样的转化．若一开始有1个阴离子和1个阳离子，则在9次该作用下，阴离子的个数为（）A．87B．89C．91D．93考法八新定义数列【例8-1】（2023·浙江·校联考模拟预测）（多选）意大利著名数学家莱昂纳多．斐波那契（LeonardoFibonacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”．同时，随着n趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割510.6182，因此又称“黄金分割数列”，记斐波那契数列为na，则下列结论正确的有（）A．2022202411kkaaB．10112202411kkaaC．20222202220231kkaaaD．221211()nnnnnnaaaaaa【例8-2】（2023·江苏扬州·统考模拟预测）（多选）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列1、2进行“美好成长”，第一次得到数列1、2、2；第二次得到数列1、2、2、4、2；L；设第n次“美好成长”后得到的数列为1、1x、2x、L、kx、2，并记212log12nkaxxx，则