专题13 空间几何（选填题10种考法）（原卷版）

专题13空间几何（选填题10种考法）考法一空间几何体的体积与表面积【例1-1】（2023·全国·统考高考真题）在三棱锥PABC中，ABC是边长为2的等边三角形，2,6PAPBPC，则该棱锥的体积为（）A．1B．3C．2D．3【例1-2】（2023·全国·统考高考真题）已知四棱锥PABCD的底面是边长为4的正方形，3,45PCPDPCA，则PBC的面积为（）A．22B．32C．42D．62【例1-3】（2022·全国·统考高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m．时，相应水面的面积为21400km．；水位为海拔1575m．时，相应水面的面积为21800km．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m．上升到1575m．时，增加的水量约为（72.65）（）A．931.010mB．931.210mC．931.410mD．931.610m【例1-4】（2023·河南·校联考模拟预测）如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为4dm和2dm，正六棱台与正六棱柱的高分别为1dm和6dm，则该花灯的表面积为（）A．2108303dmB．272303dmC．264243dmD．248243dm【变式】1．（2023·全国·统考高考真题）已知圆锥PO的底面半径为3，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，120AOB，若PAB的面积等于934，则该圆锥的体积为（）A．B．6C．3D．362．（2023·天津·统考高考真题）在三棱锥PABC中，线段PC上的点M满足13PMPC，线段PB上的点N满足23PNPB，则三棱锥PAMN和三棱锥PABC的体积之比为（）A．19B．29C．13D．493．（2022·天津·统考高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（）A．23B．24C．26D．274．（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若=2SS甲乙，则=VV甲乙（）A．5B．22C．10D．5104考法二空间几何中的垂直与平行【例2-1】（2023·江苏连云港·校考模拟预测）设,mn是两条不同的直线，,是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若//m，//n，则//mnB．若//m，//m，则//C．若//mn，//m，n，则//nD．若//m，//，则//m【例2-2】（2022·全国·统考高考真题）在正方体1111ABCDABCD中，E，F分别为,ABBC的中点，则（）A．平面1BEF平面1BDDB．平面1BEF平面1ABDC．平面1//BEF平面1AACD．平面1//BEF平面11ACD【变式】1．（2023·福建泉州·统考模拟预测）（多选）已知圆柱12OO的轴截面是正方形ABCD，AB为底面圆1O的直径，点E在圆1O上，点F在圆2O上，且E，F不在平面ABCD内.若A，E，C，F四点共面，则（）A．直线//BE平面ADFB．直线BD平面AECFC．平面ADF∥平面BCED．平面BEF平面AECF2．（2023·全国·模拟预测）（多选）在正方体1111ABCDABCD中，1,PP分别是棱11,CDCD的中点，则（）A．1//AP平面1BCPB．平面11//BDP平面1BCPC．1AP平面11BDPD．平面11BDP平面1BCD3．（2023·福建南平·统考模拟预测）（多选）在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，E，F分别是AB，BC中点，则（）A．1//BC平面1BDEB．1DF平面1BDEC．平面1AAF平面1BDED．点E到平面11ADF的距离为24考法三空间距离【例3】（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）在三棱柱111ABCABC-中，1AABC是棱长为2的正四面体，则点A到平面11BCCB的距离为（）A．6B．3C．2D．1【变式】1．（2023·河北唐山·统考三模）把边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角DACB，则三棱锥DABC的外接球的球心到平面BCD的距离为（）A．33B．22C．63D．122．（2023·四川成都·成都外国语学校校考模拟预测）如图，底面同心的圆锥高为165，A，B在半径为3的底面圆上，C，D在半径为4的底面圆上，且//ABCD，ABCD，当四边形ABCD面积最大时，点O到平面PBC的距离为（）A．4825B．3625C．2D．33．（2020·四川眉山·校考二模）已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，CC1=22E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为A．2B．3C．2D．1考法四空间角【例4】．（2022·全国·统考高考真题）已知正方体1111ABCDABCD，则（）A．直线1BC与1DA所成的角为90B．直线1BC与1CA所成的角为90C．直线1BC与平面11BBDD所成的角为45D．直线1BC与平面ABCD所成的角为45【变式】1．（2022·全国·统考高考真题）在长方体1111ABCDABCD中，已知1BD与平面ABCD和平面11AABB所成的角均为30，则（）A．2ABADB．AB与平面11ABCD所成的角为30C．1ACCBD．1BD与平面11BBCC所成的角为452．（2023·吉林白山·统考二模）已知正四面体ABCD，E为CD的中点，则（）．A．直线AB与CD所成的角为90B．直线AC与BE所成的角为60C．直线AB与平面BCD所成角的余弦值为33D．直线BE与平面ACD所成角的余弦值为333．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）（多选）已知正方体1111ABCDABCD，则（）A．异面直线AD与1BC所成的角为45B．异面直线1BD与AD所成角的正切值为22C．直线AD与平面11BBDD所成的角为45D．直线1BD与平面ABCD所成角的正切值为22考法五外接球与内切球【例5-1】（2023·江西九江·统考一模）三棱锥ABCD中，ABD△与BCD△均为边长为2的等边三角形，若平面ABD平面BCD，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．8π3B．20π3C．8πD．20π【例5-2】（2023·河北秦皇岛·校联考模拟预测）如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为1V，它的内切球的体积为2V，则12:VV（）A．2:3B．22:3C．2:2D．2:1【变式】1．（2023·河南·统考模拟预测）在菱形ABCD中，5AB，6AC，AC与BD的交点为G，点M，N分别在线段AD，CD上，且13AMMD，13CNND，将MND沿MN折叠到MND△，使22GD，则三棱锥DABC的外接球的表面积为．2．（2023·四川南充·模拟预测）已知四棱锥PABCD的底面是边长为2的正方形，322PBPD，二面角PBDC的余弦值为255，则四棱锥PABCD的外接球的表面积为．3．（2023·四川南充·模拟预测）已知四棱锥PABCD的底面是边长为2的正方形，6PBPD，三棱锥PBCD的体积为223，则四棱锥PABCD的外接球的表面积为．考法六轨迹与轨迹的长度【例6】（2023·辽宁·校联考模拟预测）如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”．点A，B，M是该多面体的三个顶点，点N是该多面体表面上的动点，且总满足MNAB，若4AB，则该多面体的表面积为，点N轨迹的长度为．【变式】1．（2023·江苏南京·校联考一模）如图，在矩形ABCD中，24ABAD，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD的中点，AC与BD交于点O，现将AEH△，BEF△，CFG△，DGH分别沿EH，EF，FG，GH把这个矩形折成一个空间图形，使A与D重合，B与C重合，重合后的点分别记为M，N，Q为MN的中点，则多面体MNEFGH的体积为；若点P是该多面体表面上的动点，满足PQON时，点P的轨迹长度为．2．（2023春·云南）在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，E为棱BC的中点，F是侧面11BBCC内的动点，若1//AF平面1ADE，则点F轨迹的长度为（）A．22B．2C．322D．223．（2023·全国·高三专题练习）已知ABCDABCD是棱长为1的正方体，点P为正方体表面上任一点，则下列说法不正确的是（）A．若1AP，则点P的轨迹长度为32B．若233AP，则点P的轨迹长度为536C．若2AP，则点P的迹长度为32D．若32AP，则点P的轨迹长度为544（2022·全国·高三专题练习）如图，在体积为6的三棱锥PABC中，PA､PB､PC两两互相垂直，1PA，若点M是底面CBP内一动点，且满足AMBC，则点M的轨迹长度的最大值为（）A．6B．3C．32D．62考法七截面【例7】．（2023·河南·校联考模拟预测）在正四棱柱1111ABCDABCD中，124AAAB，点,,EFG分别是111,AAAB，11BC的中点，则过点,,EFG的平面截正四棱柱1111ABCDABCD所得截面多边形的周长为（）A．2233B．2235C．2243D．2245【变式】1．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）在正方体1111ABCDABCD中，以点A为球心，棱AB为半径的球将正方体截为P（含球心的部分）和Q两部分，则四边形11ABCD被球A截得的区域面积与P的表面积之比为.2．（2022秋·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）已知正四面体ABCD的棱长为a，E为CD上一点，且:2:1CEED，则截面ABE的面积是（）A．224aB．222aC．21712aD．21912a3．（2022秋·福建福州）（多选）如图，已知正方体1111ABCDABCD的棱长为1，E为11AD的中点，P为对角线上1DB的一个动点，过P作与平面ACE平行的平面，则此平面截正方体所得的截面（）A．截面不可能是五边形B．截面可以是正六边形C．P从D点向1B运动时，截面面积先增大后减小D．截面面积的最大值为21164．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）在三棱锥PABC中，侧面PAC是等边三角形，底面ABC是等腰直角三角形，ABBC，10ACPB，点M，N，E分别是棱PA，PC，AB的中点，过M，N，E三点的平面截三棱锥PABC所得截面为，给出下列结论：①截面的形状为正方形；②截面的面积等于2522；③异面直线PA与BC所成角的余弦值为24；④三棱锥PABC外接球的表面积等于400π3．其中所有正确结论的序号是（）A．①④B．②③C．①③④D．②③④考法八最值【例8-1】（2022·全国·统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A．13B．12C．33D．22【变式】1．（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36，且333l，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A．8118,4B．2781,44C．2764,43D．[18,27]2．（2023·河南·校联考模拟预测）在三棱锥PABC中，PA平面90ABCABACBAC，，，且6ABPA，当三棱