专题03 空间几何与空间向量（解答题10种考法）（精练）（原卷版）

专题03空间几何（解答题10种考法）1．（2023·贵州·校联考模拟预测）如图，四棱锥PABCD中，2PAPBABAD，4BC，//ADBC，ADAB，AC与BD交于点O，过点O作平行于平面PAB的平面.(1)若平面分别交PC，BC于点E，F，求OEF的周长；(2)当22PD时，求平面与平面PCD夹角的正弦值.2．（2023·江西九江·统考一模）如图，直角梯形ABCD中，//ADBC，90BAD，2ABAD，22BC，将ABD△沿BD翻折至ABD的位置，使得ABAC，F为BC的中点．(1)求证：平面ABD平面BCD；(2)H为线段AC上一点（端点除外），若二面角CDFH的余弦值为33，求线段AH的长．3．（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）如图所示，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为直角梯形，ADBC∥，ABBC，侧面ABEF为菱形，平面ABEF平面ABCD，M为棱BE的中点．(1)若点N为DE的中点，求证：MN平面ABCD；(2)若12ABBCAD，60EBA，求平面MAD与平面EFD夹角的余弦值．4．（2023·新疆·统考三模）如图，在圆柱体1OO中，1OA，12OO，劣弧11AB的长为π6，AB为圆O的直径．(1)在弧AB上是否存在点C（C，1B在平面11OAAO同侧），使1BCAB，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；(2)求二面角111AOBB的余弦值．5．（2023·河南·校联考二模）如图所示，正六棱柱111111ABCDEFABCDEF的底面边长为1，高为3，P为线段1DF上的动点.(1)求证：//AP平面1ABC；(2)设直线AP与平面11CDFA所成的角为，求sin的取值范围.6．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）如图，在六面体ABCDEFG中，四边形ABCD是菱形，////AFDECG，AF平面ABCD，60DAB，H为CD的中点，//AH平面BGEF．(1)求AFCG；(2)若2AFAB，求直线BH与平面BGEF所成角的正弦值．7．（2023·四川成都·模拟预测）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，1AB，2AD，侧面PAB底面ABCD，侧面PAD底面ABCD，点F是PB的中点，动点E在边BC上移动，且1PA.(1)证明：PA垂直于底面ABCD.(2)当点E在BC边上移动，使二面角EAFB为π6时，求二面角FAEP的余弦值.8．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考一模）如图所示，,,,ABCD四点共面，其中90BADADC，12ABAD，点,PQ在平面ABCD的同侧，且PA平面ABCD，CQ平面ABCD.(1)若直线l平面PAB，求证：//l平面CDQ；(2)若//PQAC，45ABPDAC，平面BPQI平面CDQm，求锐二面角BmC的余弦值.9．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在三棱台ABCDEF中，G为AC中点，2ACDF，ABBC，BCCF.(1)求证：BC平面DEG；(2)若2ABBC，CFAB，平面EFG与平面ACFD所成二面角大小为π3，求三棱锥EDFG的体积.10．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知正四棱台1111ABCDABCD的体积为2823，其中1124ABAB.(1)求侧棱1AA与底面ABCD所成的角；(2)在线段1CC上是否存在一点P，使得1BPAD？若存在请确定点P的位置；若不存在，请说明理由.11．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，EA底面ABCD，//FDEA，且112FDEA.(1)记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面ECF平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明；(2)求直线EB与平面ECF所成角的正弦值.12．（2023·河北沧州·校考三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成.,,,CEDG在同一平面内，且CGDG.(1)证明：平面BFD平面BCG；(2)若直线GC与平面ABG所成角的正弦值为105，求平面BFD与平面ABG所成角的余弦值.13．（2022·贵州安顺·统考模拟预测）如图，在正方体1111ABCDABCD中，E是棱1CC上的点（点E与点C，1C不重合）．(1)在图中作出平面1ADE与平面ABCD的交线，并说明理由；(2)若正方体的棱长为1，平面1ADE与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为32222，求线段CE的长．14．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）直三棱柱111ABCABC-中，12ACBCCC，D为BC的中点，点E在1AA上，1ADDC.(1)证明：BC平面1AAD；(2)若二面角11ADEC大小为30，求以11AEDC,,,为顶点的四面体体积.15．（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）如图，在梯形ABCD中，ABCD，1ADDCCB，60ABC，四边形ACFE为矩形，平面ACFE平面ABCD，1CF.(1)求证：BC平面ACFE；(2)求二面角ABFC的平面角的余弦值；(3)若点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为(90)，试求cos的范围.16．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知直三棱柱111ABCABC-中，侧面11AABB为正方形，ABBC，E，F分别为AC和1CC的中点，D为棱11AB上的动点.11BFAB.(1)证明：BFDE；(2)求平面11BBCC与平面DEF所成的二面角正弦值的最小值及此时点D的位置.17．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知P是平行六面体1111ABCDABCD中线段1CD上一点，且12DPPC．(1)证明：1//AC平面BDP；(2)已知四边形ABCD是菱形，12,120ABAABAD，并且1AAC为锐角，111coscos4AADAAB，求二面角PBDC的正切值．18．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）如图，在三棱锥ABCD中，AABCCB∠，点,EF分别是棱,BCDC的中点，CD平面AEF.(1)证明：平面ABC平面BCD；(2)过点B作CD的平行线交FE的延长线于点M，260ABCBCD，点G是线段BD上的动点，问：点G在何处时，平面AEG与平面ABM夹角的正弦值最小，并求出该最小正弦值.19．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，四边形ABCD是圆O的内接四边形，BD为底面圆的直径，M在母线PB上，且2ABBCBM，4BD，23MD．(1)求证：平面AMC平面ABCD；(2)设点E为线段PO上动点，求直线CE与平面ADM所成角的正弦值的最大值．20．（2023·浙江·校联考三模）如图，三棱台111ABCABC-中，114AC，6AC，D为线段AC上靠近C的三等分点.(1)线段BC上是否存在点E，使得1//AB平面1CDE，若不存在，请说明理由；若存在，请求出BEBC的值；(2)若14AAAB，1π3AACBAC，点1A到平面ABC的距离为3，且点1A在底面ABC的射影落在ABC内部，求直线1BD与平面11ACCA所成角的正弦值.21．（2023·湖北武汉·统考三模）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，平面PAB平面ABCD，2BCAB，60ABC．(1)证明：PBAC；(2)点Q在侧棱PD上，2DQQP，过B，Q两点作平面，设平面与PA，PC分别交于点E，F，当直线//AC时，求二面角BEQD的余弦值．22．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）如图，四边形11ABBA是圆柱1OO的轴截面，点M是母线1CC的中点，圆柱底面半径12,2RAA.(1)求证：11OC//平面1ABM；(2)当三棱锥1AABC的体积最大时，求平面1ABM与平面CBM夹角的余弦值.23．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知在多面体ABCDE中，DEAB∥，ACBC，24BCAC，2ABDE，DADC且平面DAC平面ABC.(1)设点F为线段BC的中点，试证明EF平面ABC；(2)若直线BE与平面ABC所成的角为60，求二面角BADC的余弦值．24．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）如图①所示，长方形ABCD中，2AD，3AB，点M是边CD靠近点C的三等分点，将△ADM沿AM翻折到△PAM，连接PB，PC，得到图②的四棱锥PABCM.(1)求四棱锥PABCM的体积的最大值；(2)设PAMD的大小为，若π0,2，求平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值.25．（2023·湖南永州·统考一模）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且24,ADABMN、分别为PDBC、的中点，H在线段PC上，且3PCPH．(1)求证：//MN平面PAB；(2)当AMPC时，求平面AMN与平面HMN的夹角的余弦值．26．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥PABCD中，平面PBC平面ABCD，底面ABCD是矩形，,OE分别是,BCPA的中点，平面经过点,,ODE与棱PB交于点F．(1)试用所学知识确定F在棱PB上的位置；(2)若3,22PBPCBCAB，求EF与平面PCD所成角的正弦值．27．（2021·天津红桥·统考二模）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，//ABCD且2CD，1AB，22BC，1PA，ABBC，N为PD的中点．(1)求证：//AN平面PBC；(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．28．（2023·海南·统考模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，ADBD，,2BCDCBCDCAD，将ABD△沿BD向上折起，使得平面ABD与平面ACD所成的锐二面角的平面角最大．(1)求该几何体中任意两点间的距离的最大值；(2)若DEAC，垂足为E，点F是AB上一点，证明：平面DEF平面ABC．29．（2023·广西柳州·统考模拟预测）如图，三棱柱111ABCABC-的底面ABC是正三角形，侧面11ACCA是菱形，平面11ACCA平面ABC，,EF分别是棱11,ACBC的中点.(1)证明：//EF平面11ABBA；(2)若11122,3ACACCGCC，求直线11BC与平面EFG所成角的正弦值.30．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）如图，在四棱锥PABCD中，//BCAD，2ADBC，M是棱PD上靠近点P的三等分点．(1)证明：PB//平面MAC；(2)画出平面PAB与平面PCD的交线l，并说明理由；(3)在（2）的条件下，若平面PAD平面ABCD，ABAD，PAAD，22PAADAB，求l与平面MAC所成角的正弦值．