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专题03空间几何（解答题10种考法）考法一平行【例1-1】（2023春·河北邯郸）如图，在三棱柱ABCDEF中，G，O，H，M分别为DE，DF，AC，BC的中点，N为GC的中点.(1)证明：MN∥平面ABED.(2)证明：平面GOH∥平面BCFE.【例1-2】（2023秋·云南）如图，四棱锥PABCD的底面为平行四边形．设平面PAD与平面PBC的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．(1)求证：平面//MNQ平面PAD；(2)求证：//BCl．【例1-3】（2023·青海）如图，在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，M为CD中点，连接BM，CE交于点F，G为△ABE的重心，证明：//GF平面ABC【例1-4】（2023·全国·统考高考真题）如图，在正四棱柱1111ABCDABCD中，12,4ABAA．点2222,,,ABCD分别在棱111,,AABBCC,1DD上，22221,2,3AABBDDCC，证明：2222BCAD∥【例1-5】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥BACD中，ABBC，DAAC，G为点B在平面ACD上的射影，M为BC的中点．证明：//MG平面ABD.【变式】1．（2023春·浙江金华）在正方体1111ABCDABCD中，MNP、、分别是1ADBD、和1BC的中点，求证(1)//MN1CD(2)//MN平面11CCDD．(3)平面//MNP平面11CCDD．2．（2023春·新疆省直辖县级单位）如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，2ADDEAB，F为CD的中点，求证：AF∥平面BCE.3．（2022春·浙江温州）已知三棱锥PABC中，ABBCCA，3PA，F为AP中点，G为CF中点，E在PB上，3PEBE，求证：GE//平面ABC4．（2022秋·吉林长春）如图，在正三棱柱111ABCABC-中，1ABAA，点M在11AB上，且112AMMB，N为1BB中点，证明：CN∥平面1MAC考法二垂直【例2-1】（2023秋·海南海口）已知三棱锥PABC中，PC底面ABC，ABBC，,DF分别为AC，PC的中点，DEAP于E．(1)求证：AP平面BDE；(2)求证：平面BDE平面BDF．【例2-2】（2022·河北石家庄·模拟预测）如图，在四棱锥PABCD中，PAPD，//ABCD，CDAD，2CDAB，点E为PC的中点，且BE平面PCD，求证：CD平面PAD【例2-3】（2023北京）在平行四边形ABCD中6,4,ABBC过A点作CD的垂线交CD的延长线于点E，AE23.连接EB交AD于点F，如图1，将ADE沿AD折起，使得点E到达点P的位置.如图2.证明：直线AD平面BFP.【例2-4】（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱锥PABC中，PAB，ABC均为等边三角形，4PA，O为AB中点，点D在AC上，满足1AD，且面PAB面ABC．证明：DC面POD．【变式】1.（2023·全国·统考高考真题）如图，三棱锥ABCD中，DADBDC，60ADBADC，E为BC的中点，证明：BCDA；2．（2023秋·山东）如图所示，在正方体1111ABCDABCD中，M为棱1AA的中点，N为棱11AB上的点，且1113ANNB，求证：MNMC.3．（2023·湖南）如图，在四棱台1111ABCDABCD中，平面11ADDA平面ABCD，底面ABCD为正方形，2AD，11111DDDAAA.求证：1AD平面11CDDC.4.（2023湖北）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱111ABCABC中，123333ABACAABC，M是线段BC的中点，N是线段1AM靠近点M的四等分点，点G在线段1AC上，求证：ANBG考法三空间角之向量法【例3-1】（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱111ABCABC-中，112,,AAABACAAABACAB，D为11AB的中点，E为1AA的中点，F为CD的中点．(1)求证：//EF平面ABC；(2)求直线BE与平面1CCD所成角的正弦值；(3)求平面1ACD与平面1CCD夹角的余弦值．【例3-2】（2023·广东茂名·统考一模）如图所示，三棱锥PABC，BC为圆O的直径，A是弧BC上异于B、C的点.点D在直线AC上，OD∥平面PAB，E为PC的中点.(1)求证：//DE平面PAB；(2)若4PAPBPDABAD，求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值.【变式】1．（2023·云南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，//ADBC，BCCD，π4ABC，112CDCEBE，2PAAD，F为PD的中点．(1)证明：ABPE；(2)求二面角AEFD的平面角的余弦值．2.（2023·全国·统考高考真题）如图，三棱锥ABCD中，DADBDC，BDCD，60ADBADC，E为BC的中点．(1)证明：BCDA；(2)点F满足EFDA，求二面角DABF的正弦值．3（2022·全国·统考高考真题）如图，PO是三棱锥PABC的高，PAPB，ABAC，E是PB的中点．(1)证明：//OE平面PAC；(2)若30ABOCBO，3PO，5PA，求二面角CAEB的正弦值．考法四空间角之几何法【例4-1】（2023秋·四川遂宁）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，2AD，22DC，四边形DCFE为梯形，//DECF，3DE，6CF，45ADE，CD平面ADE(1)求证：//AE平面BCF；(2)求直线AC与平面CDEF所成角的正弦值.【例4-2】（2023春·河南商丘）如图，四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，且2PAAB＝.求：(1)求二面角BPAC的大小．(2)求二面角APDC的大小.(3)求二面角BPDA的大小的正弦值．【变式】1．（2023春·福建宁德）四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD，已知=45ABC，2AB，22BC，3SASB．(1)证明：SABC；(2)求直线SD与平面SBC所成角的正弦值．2．（2023秋·山东潍坊·高三校考阶段练习）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，且2AD，1AB，PA平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点.(1)证明：PFFD；(2)若PB与平面ABCD所成的角为45，求二面角PFDC的余弦值.考法五空间距离之向量法【例5】（2023·重庆·统考模拟预测）在多面体111ABCCAB中，四边形11BBCC是边长为4的正方形，1ABBB，△ABC是正三角形．(1)若1A为AB的中点，求证：直线//AC平面11ABC；(2)若点1A在棱1AB上且1112AAAB，求点C到平面11ABC的距离．【变式】1．（2023·天津北辰·校考模拟预测）在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且2PA，四边形ABCD是直角梯形，且ABAD，//BCAD，2ADAB，4BC，M为PC中点，E在线段BC上，且1BE.(1)求证：//DM平面PAB；(2)求直线PB与平面PDE所成角的正弦值；(3)求点E到PD的距离.2．（2023·江西景德镇·统考三模）如图，等腰梯形ABCD中，//ADBC，122ABBCCDAD，现以AC为折痕把ABC折起，使点B到达点P的位置，且PACD.(1)证明：面PAC面ACD；(2)若M为PD上的一点，点P到面ACM的距离为255，求二面角MACD的余弦值.3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）三棱台111ABCABC-中，1AA平面ABC，90ABC，且12ABBCAA，111BC，F是1AA的中点．(1)求三角形ABC重心G到直线11BC的距离；(2)求二面角11BBCF的余弦值．考法六空间距离之几何法【例6】（2023·天津·统考高考真题）三棱台111ABCABC-中，若1AA面111,,2,1ABCABACABACAAAC，,MN分别是,BCBA中点.(1)求证：1AN//平面1CMA；(2)求平面1CMA与平面11ACCA所成夹角的余弦值；(3)求点C到平面1CMA的距离．【变式】1．（2023·江西景德镇·统考三模）如图，等腰梯形ABCD中，//ADBC，122ABBCCDAD，现以AC为折痕把ABC折起，使点B到达点P的位置，且PACD.(1)证明：平面PAC平面ACD；(2)若M为PD的中点，求点P到平面ACM的距离.2．（2023·新疆·统考三模）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是长方形，22,5ADCDPDPA，120PDC，点E为线段PC的中点，点F在线段AB上，且12AF．(1)证明：平面PCD平面PAD；(2)求点C到平面DEF的距离．3．（2023·江西景德镇·统考三模）如图，等腰梯形ABCD中，//ADBC，122ABBCCDAD，现以AC为折痕把ABC折起，使点B到达点P的位置，且PACD.(1)证明：平面PAC平面ACD；(2)若M为PD的中点，求点P到平面ACM的距离.考法七折叠问题【例7】（2023秋·山东泰安）如图1，四边形ABCD为矩形，2BCAB，E为AD的中点，将ABE、DCE△分别沿BE、CE折起得图2，使得平面ABE平面BCE，平面DCE平面BCE．(1)求证：AD平面BCE；(2)若F为线段BC的中点，求直线FA与平面ADE所成角的正弦值．【变式】1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知ABC中，90ABC，6ABBC，13AADB，13AEAC，将ADEV沿DE折起，使点A到点A处，90DAB．(1)证明：平面ABE平面ADE¢；(2)求直线CD与平面ADE¢所成角的余弦值．2．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）长方形ABCD中，222ABAD，点E为CD中点（如图1），将点D绕AE旋转至点P处，使平面PAE平面ABCE（如图2）．(1)求证：PAPB；(2)点F在线段PB上，当二面角FAEP大小为π4时，求四棱锥FABCE的体积．考法八动点【例8-1】（2023春·山西运城·高一统考期中）如图，正三棱柱111ABCABC-中，E、F、G分别为棱AB、BC、11BC的中点．(1)证明：1BE∥平面ACG；(2)在线段1CC是否存在一点N，使得平面NEF∥平面11ABC？若存在，请指出并证明；若不存在，请说明理由．【例8-2】（2023秋·湖南长沙）如图，在四棱锥QABCD中，底面ABCD是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面QAD底面ABCD，M是QD的中点．(1)求证：AM平面QCD；(2)在棱BQ上是否存在点N使平面ACN平面ACM成立？如果存在，求出BNNQ；如果不存在，说明理由．【变式】1．（2023·全国·统考高考真题）如图，在正四棱柱1111ABCDABCD中，12,4ABAA．点2222,,,ABCD分别在棱111,,AABBCC,1DD上，22221,2,3AABBDDCC．(1)证明：2222BCAD∥；(2)点P在棱1BB上，当二面角222PACD为150时，求2BP．2．（2023春·浙江嘉兴）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，且PAAB，,FG分别为,PBAD的中点.(1)证明：BC平面PAB；(2)在线段BC上是否存在一点N，使得平面//AFN平面PCG，若存在，请找出该点，并给出证明；若不存在，请说明理由.3．（2023·北京）如图，在四棱锥PABCD中，侧棱PD底面