专题02 数列（解答题12种考法）（精练）（原卷版）

专题02数列（解答题12种考法）1．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知数列{}na中，13a，*1(21)(23)(N)nnnanan．(1)求数列{}na的通项公式；(2)求数列1{}na的前n项和nS．2．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知等比数列na的前n项和为nS，且*12N.nnSan(1)求数列na的通项公式；(2)在na与1na之间插入n个数，使这2n个数组成一个公差为nd的等差数列，求数列1nd的前n项和nT．3（2023秋·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）在等差数列na中，47a，38235aa，数列nb的前n项和为nS，且321nnbS.(1)求数列na和nb的通项公式；(2)若nnnacb，求数列nc的前n项和nT.4．（2023·四川成都·校联考二模）已知数列na是公差为2的等差数列，且31a是1a和81a的等比中项.(1)求数列na的通项公式；(2)设11(32)2nnnnnbaa，求数列nb的前n项和nS.5．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知数列na的前n项和为nS，13a，且1132nnnSSa．(1)证明：数列na为等比数列，并求其通项公式；(2)若______，求数列nb的前n项和nT．从①nnbna；②2123nnnbnna；③111nnnnbaa，这三个条件中任选一个补充在上面的横线上并解答问题．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．6．（2023秋·江西南昌·高三南昌县莲塘第一中学校考阶段练习）已知数列na的首项13a，其前n项和为nS，且1323nnSSn，*Nn.(1)求数列na的通项公式na；(2)设1nnbna，求数列nb的前n项和nT.7．（2023·广东汕头·统考三模）等差数列na和各项均为正数的等比数列nb满足：112ab，338ab.(1)求数列na和nb的通项公式；(2)数列nc是由数列na和nb中不同的项按照从小到大的顺序排列得到的新数列，记数列nc的前n项和为nS，求100S.8．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知数列na满足211222,1,3nnnnaaaaa．(1)求数列na的通项公式；(2)求111222(1)nnnnnaa的前n项和nT．9．（2023秋·天津河东·高三校考阶段练习）正项数列na的首项为3的等差数列，前n项和为nS，且2240aS，正项数列nb是首项为1的等比数列，且2312bb(1)求,nnab；(2)设11nnncaa，求数列nc的前n项的和nT；(3)设1nnneab，求数列ne的前n项的和nP．10．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知数列na中，13a，3a是25a与9的等差中项，记nS为数列1na的前n项和，满足113nnSkS（0k）.(1)求数列na的通项公式；(2)若3812nnS，求实数的最小值.11.（2023·福建厦门·厦门外国语学校校考模拟预测）已知数列na满足111,12nnnaaaa．(1)证明1na为等差数列，并na的通项公式；(2)设214nnncnaa，求数列nc的前n项和nT．12．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）已知各项均为正数的数列na满足21nnSa，其中nS是数列na的前n项和.(1)求数列na的通项公式；(2)若对任意Nn，且当2n时，总有12311114111nSSSS恒成立，求实数的取值范围.13．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）记nS为数列na的前n项和，已知1nnSann.(1)求数列{na}的通项公式；(2)数列{nb}满足*1N,22nnnabbnn且111ab，1nb的前n项和为nT，证明:12nT.14．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知数列na和nb满足：11a，1nnnaba，nnab（为常数，且1）．(1)证明：数列nb是等比数列；(2)若当3n和4n时，数列na的前n项和nS取得最大值，求nS的表达式．15．（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）已知数列na的前n项和为nS，且11a，21nnSna.(1)求na的通项公式；(2)记数列12lognnaa的前n项和为nT，求集合*10,NkkTk中元素的个数.16．（2023秋·天津红桥·高三天津市瑞景中学校考阶段练习）已知na为等差数列，nb为等比数列，115435431,5,4abaaabbb．(1)求na和nb的通项公式；(2)设nnncab，求数列的前n项和nR.(3)设nnntab，求数列nt的前n项和nT.(4)记na的前n项和为nS，求证：2*21nnnSSSnN；17．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）已知数列na为等差数列，且2410aa，416S．(1)求na的通项公式；(2)数列nb满足1113nnnnnbnaaN，数列nb的前n项和为nS，求证：112nS．18．（2023·全国·统考高考真题）设nS为数列na的前n项和，已知21,2nnaSna．(1)求na的通项公式；(2)求数列12nna的前n项和nT．19．（2023·全国·统考高考真题）已知na为等差数列，6,2,nnnanban为奇数为偶数，记nS，nT分别为数列na，nb的前n项和，432S，316T．(1)求na的通项公式；(2)证明：当5n时，nnTS．20．（2022·天津·统考高考真题）设na是等差数列，nb是等比数列，且1122331ababab．(1)求na与nb的通项公式；(2)设na的前n项和为nS，求证：1111nnnnnnnSabSbSb；(3)求211(1)nkkkkkaab．21．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知数列na与nb的前n项和分别为nA和nB，且对任意*nN，1132nnnnaabb恒成立.(1)若2332nnnA，12b，求nB；(2)若对任意*nN，都有nnaB及3124122334113nnnbbbbaaaaaaaa恒成立，求正整数1b的最小值.22．（2022·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）已知数列na满足211231333N3nnnaaaan.(1)求数列na的通项公式；(2)设111311nnnnbaa，数列nb的前n项和nS，求证：716nS.23．（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）在某个周末，甲、乙、丙、丁四名同学相约打台球．四人约定游戏规则：①每轮游戏均将四人分成两组，进行组内一对一对打；②第一轮甲乙对打、丙丁对打；③每轮游戏结束后，两名优胜者组成优胜组在下一轮游戏中对打，同样的，两名失败者组成败者组在下一轮游戏中对打；④每轮比赛均无平局出现．已知甲胜乙、乙胜丙、丙胜丁的概率均为12，甲胜丙、乙胜丁的概率均为35，甲胜丁的概率为23．(1)设在前三轮比赛中，甲乙对打的次数为随机变量X，求X的数学期望；(2)求在第10轮比赛中，甲丙对打的概率．24．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知各项均为正数的数列na的首项11a，其前n项和为nS，从①21nnaS；②214SS，11212nnnSSSn；③12nnnaSSn中任选一个条件作为已知，并解答下列问题.(1)求数列na的通项公式；(2)设11nnnnabSS，设数列nb的前n项和nT，求证：314nT.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.25．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）某知识测试的题目均为多项选择题，每道多项选择题有A，B，C，D这4个选项，4个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.已知测试过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否为正确选项相互独立.若第一题正确选项为两个的概率为13，并且规定若第1,2,,1iin题正确选项为两个，则第1i+题正确选项为两个的概率为13；第1,2,,1iin题正确选项为三个，则第1i+题正确选项为三个的概率为13.(1)若第二题只选了“C”一个选项，求第二题得分的分布列及期望；(2)求第n题正确选项为两个的概率；(3)若第n题只选择B、C两个选项，设Y表示第n题得分，求证：1718EY.26．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）已知等差数列na满足31720,56aaa.(1)求数列na的通项公式；(2)记41nnSbn，其中nS为数列na的前n项和.设x表示不超过x的最大正整数，求使1232023nbbbb的最大正整数n的值.27．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）设nS为数列na的前n项和，已知11a，且满足2(1)nnSan．(1)求数列na的通项公式；(2)设nT为数列nb的前n项和，当2n时，111nnnnbaaa．若对于任意*nN，有1nT，求1b的取值范围．28．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知数列na的前n项和nS满足21nnSna，且11a．(1)求na的通项公式；(2)若2(1)nnnba，求数列nb的前n项和nT．29．（2023·山东·山东师范大学附中校考模拟预测）已知na是各项均为正数的数列，nS为na的前n项和，且na，nS，2na成等差数列．(1)求na的通项公式；(2)已知1nnnba，求数列nb的前n项和nT．30．（2023·河北·统考模拟预测）已知数列na的前n项和为nS，且12nnaSn.(1)证明：数列na是等差数列；(2)若21a，31a，5a成等比数列.从下面三个条件中选择一个，求数列nb的前n项和nT.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）①221nnnnbaa；②11nnnbaa；③11232nnnnnbaa.