专题04 统计概率（解答题11种考法）（精练）（原卷版）

专题04统计概率（解答题11种考法）1．（2023·陕西咸阳·校考三模）某大型企业生产的产品细分为10个等级，为了解这批产品的等级分布情况，从流水线上随机抽取了1000件进行检测、分类和统计，并依据以下规则对产品进行评分:检测到1级到3级的评为优秀，检测到4级到6级的评为良好，检测到7级到9级的评为合格，检测到10级的评为不合格.以下把频率视为概率，现有如下检测统计表:等级12345678910频数10901001501502001001005050(1)从这1000件产品中随机抽取1件，请估计这件产品评分为优良的概率；(2)从该企业的流水线上随机抽取4件产品，设这4件产品中评分为优秀的产品个数为，求的分布列及期望.2．（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）某区在高中阶段举行的物理实验技能操作竞赛分基本操作与技能操作两步进行，第一步基本操作：每位参赛选手从A类7道题中任选4题进行操作，操作完后正确操作超过两题的（否则终止比赛），才能进行第二步技能操作：从B类5道题中任选3题进行操作，直至操作完为止.A类题操作正确得10分，B类题操作正确得20分.以两步总分和决定优胜者.总分80分或90分为二等奖，100分为一等奖.某校选手李明A类7题中有5题会操作，B类5题中每题正确操作的概率均为23，且各题操作互不影响.(1)求李明被终止比赛的概率；(2)现已知李明A类题全部操作正确，求李明B类题操作完后得分的分布列及期望；(3)求李明获二等奖的概率.3．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）2022年的男足世界杯在卡塔尔举办，参赛的32支球队共分为8个小组，每个小组有4支球队，小组赛采取单循环赛制，即每支球队都要和同组的其他3支球队各比赛一场.每场比赛获胜的球队积3分，负队积0分.若打平则双方各积1分，三轮比赛结束后，积分从多到少排名靠前的2支球队小组出线（如果积分相等，还要按照其他规则来排名）.已知甲、乙、丙、丁4支球队分在同一个组，且甲队与乙、丙、丁3支球队比赛获胜的概率分别为12，13，14，与三支球队打平的概率均为14，每场比赛的结果相互独立.(1)某人对甲队的三轮小组赛结果进行了预测，他认为三场都会是平局，记随机变量X＝“结果预测正确的场次”，求X的分布列和数学期望；(2)假设各队先后对阵顺序完全随机，记甲队至少连续获胜两场的概率为p，那么甲队在第二轮比赛对阵哪个对手时，p的取值最大，这个最大值是多少？4．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）某地区举行数学核心素养测评，要求以学校为单位参赛，最终A学校和B学校进入决赛．决赛规则如下：现有甲、乙两个纸箱，甲箱中有4道选择题和2道填空题，乙箱中有3道选择题和3道填空题，决赛由两个环节组成，环节一：要求两校每位参赛同学在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答，作答后放回原箱；环节二：由A学校和B学校分别派出一名代表进行比赛．两个环节按照相关比赛规则分别累计得分，以累计得分的高低决定名次．(1)环节一结束后，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道从A学校抽取12人，其答对题目的平均数为1，方差为1，从B学校抽取8人，其答对题目的平均数为1.5，方差为0.25，求这20人答对题目的均值与方差；(2)环节二，A学校代表先从甲箱中依次抽取了两道题目，答题结束后将题目一起放入乙箱中，然后B学校代表再从乙箱中抽取题目，已知B学校代表从乙箱中抽取的第一题是选择题，求A学校代表从甲箱中取出的是两道选择题的概率．5．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）哈六中举行数学竞赛，竞赛分为初赛和决赛两阶段进行.初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个学年派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才具备参与决赛的资格.高三学年派出甲和乙参赛.在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是23，12，乙通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是34，23，且每名同学所有轮次比赛的结果互不影响.(1)若高三学年获得决赛资格的同学个数为X，求X的分布列和数学期望.(2)已知甲和乙都获得了决赛资格.决赛的规则如下：将问题放入,AB两个纸箱中，A箱中有3道选择题和2道填空题，B箱中有3道选择题和3道填空题.决赛中要求每位参赛同学在,AB两个纸箱中随机抽取两题作答.甲先从A箱中依次抽取2道题目，答题结束后将题目一起放入B箱中，然后乙再抽取题目.已知乙从B箱中抽取的第一题是选择题，求甲从A箱中抽出的是2道选择题的概率.6．（2023·广西柳州·统考模拟预测）新高考改革后广西省采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是语文､数学､外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理､历史里选一门；“2”指考生要在生物学､化学､思想政治､地理4门中选择2门.(1)若按照“3+1+2”模式选科，求甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数；(2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生5000名参加语数外的网络测试､满分450分，假设该次网络测试成绩服从正态分布2240,60N.①估计5000名学生中成绩介于120分到300分之间有多少人；②某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有10名同学获得430分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语的可信度.附：0.6827PX，220.9545PX，330.9973PX.7．（2023·福建厦门·厦门一中校考二模）法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包.该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000g，上下浮动不超过50g.这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g，标准差为50g的正态分布.(1)已知如下结论：若2,XN，从X的取值中随机抽取*,2kkNk个数据，记这k个数据的平均值为Y，则随机变量2~,YNk，利用该结论解决下面问题.（i）假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为Y，求980PY；（ii）庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在950,1050上，并经计算25个面包质量的平均值为978.72g.庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由；(2)假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包.求取出黑色面包个数的分布列及数学期望.附：①随机变量服从正态分布2,N，则0.6827P，220.9545P，330.9973P；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生.8．（2023·江西赣州·统考模拟预测）随着《2023年中国诗词大会》在央视持续热播，它将经典古诗词与新时代精神相结合，使古诗词绽放出新时代的光彩，由此，它极大地鼓舞了人们学习古诗词的热情，掀起了学习古诗词的热潮.某省某校为了了解高二年级全部1000名学生学习古诗词的情况，举行了“古诗词”测试，现随机抽取100名学生，对其测试成绩（满分：100分）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示.(1)根据频率分布直方图，估计这100名学生测试成绩的平均数（单位：分）；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）(2)若该校高二学生“古诗词”的测试成绩X近似服从正态分布,169N，其中近似为样本平均数，规定“古诗词”的测试成绩不低于87分的为“优秀”，据此估计该校高二年级学生中成绩为优秀的人数；（取整数）(3)现该校为迎接该省的2023年第三季度“中国诗词大会”的选拔赛，在五一前夕举行了一场校内“诗词大会”.该“诗词大会”共有三个环节，依次为“诗词对抗赛”“画中有诗”“飞花令车轮战”，规则如下：三个环节均参与，在前两个环节中获胜得1分，第三个环节中获胜得4分，输了不得分.若学生甲在三个环节中获胜的概率依次为45，57，12，假设学生甲在各环节中是否获胜是相互独立的.记学生甲在这次“诗词大会”中的累计得分为随机变量，求的分布列和数学期E.（参考数据：若2~,XN，则0.6826PX，220.9544PX，330.9974PX.9．（2023·福建宁德·福鼎市第一中学校考模拟预测）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，规定成绩为80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．(1)求图中a的值；(2)根据已知条件完成下面22列联表，并判断能否有90%的把握认为能否晋级成功与性别有关；晋级情况性别晋级成功晋级失败总计男16女50总计(3)将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望．参考公式：22nadbcKabcdacbd，其中nabcd．20PKk0.100.050.0250.0100.0010k2.7063.8415.0246.63510.82810．（2023·广东韶关·统考模拟预测）研究表明，如果温差本大，人们不注意保暖，可能会导致自身受到风寒刺激，增加感冒患病概率，特别是对于几童以及年老体弱的人群，要多加防范某中学数学建模社团成员研究了昼夜温差大小与某小学学生患感冒就诊人数多少之间的关系，他们记录了某六天的温差，并到校医室查阅了这六天中每天学生新增感冒就诊的人数，得到数据如下：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天昼夜温差x（C）47891412新增感就诊人数y（位）1y2y3y4y5y6y参考数据：623463iiy，62289iiyy(1)已知第一天新增感冒就的学生中有4位男生，从第一天多增的感冒就诊的学生中随机取2位，其中男生人数记为X，若抽取的2人中至少有一位女生的概率为56，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)已知两个变量x与y之间的样本相关系数1617r，请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程ˆˆˆybxa，据此估计昼夜温差为15C时，该校新增感冒就诊的学生人数.参考数据：2211niiinniiiixxyyrxxyy，21ˆniiiniixxyybxx11．（2023·河南·襄城高中校联考模拟预测）某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业．该公司生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用．已知在单位时间内，甲、乙两种类型的无人运输机操作成功的概率分别为23和12，假设每次操作能否成功相互独立．(1)该公司分别收集了甲型无人运输机在5个不同的地点测试的两项指标数ix，iy（1,2,3,4,5i），数据如下表所示：地点1地点2地点3地点4地点5甲型无人运输机指标数x24568甲型无人运输机指标数y34445试求y与x间的相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系；（若0.75r，则线性相关程度很高）(2)操作员连续进行两次无人机的操作有两种方案：方案一：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，若初次操作成功，则第二次继续使用该类型设备；若初次操作不成功，则第二次使用另一类型进行操作．方案二：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，无论初次操作是否成功，第二次均使用初次所选择的无人运输机进行操作．假定方案选择及操作不相互影响，试比较这两种方案的操作成功的次数的期望值．附：参考公式及数据：12211niiinniiiixxyyrxxyy