专题05 解析几何（解答题10种考法）讲义（原卷版）

专题05解析几何（解答题10种考法）考法一定点【例1-1】（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）已知点4,3P为双曲线2222:1(0,0)xyEabab上一点，E的左焦点1F到一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线E的标准方程；(2)不过点P的直线ykxt与双曲线E交于,AB两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线ykxt过定点，并求该定点的坐标.【例1-2】（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)Cbbxaay的离心率是53，点2,0A在C上．(1)求C的方程；(2)过点2,3的直线交C于,PQ两点，直线,APAQ与y轴的交点分别为,MN，证明：线段MN的中点为定点．【例1-3】（2023·江西九江·统考一模）已知过点(2,0)P的直线l与抛物线2:2(0)Eypxp交于,AB两点，过线段AB的中点M作直线MNy轴，垂足为N，且PMPN.(1)求抛物线E的方程；(2)若C为E上异于点,AB的任意一点，且直线,ACBC与直线2x交于点,DR，证明：以DR为直径的圆过定点.【变式】1．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过30,2,,12AB两点．(1)求E的方程；(2)设过点1,2P的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MTTH．证明：直线HN过定点．2．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知椭圆2222:10xyEabab的离心率是22，上、下顶点分别为A，B.圆22:2Oxy与x轴正半轴的交点为P，且1PAPB.(1)求E的方程；(2)直线l与圆O相切且与E相交于M，N两点，证明：以MN为直径的圆恒过定点.3（2023·河南·校联考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的焦距为2，圆224xy与椭圆C恰有两个公共点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知结论：若点00,xy为椭圆22221xyab上一点，则椭圆在该点处的切线方程为00221xxyyab．若椭圆C的短轴长小于4，过点(8,)Tt作椭圆C的两条切线，切点分别为,AB，求证：直线AB过定点．考法二定值【例2】（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知椭圆2222:10xyCabab的左、右焦点为1F，2F，离心率为12．点P是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线1PF、2PF分别与椭圆C交于点A、B，1PFB△的周长为8．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若111PFFA，222PFFB，求证：12为定值．【变式】1．（2023·河北保定·统考二模）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为短轴长的2倍，若椭圆C经过点2,2P，(1)求椭圆C的方程；(2)若,AB是椭圆上不同于点P的两个动点，直线,PAPB与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，证明：直线AB的斜率为定值．2．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知椭圆2222:10xyCabab的左、右焦点为12,FF，离心率为12.点P是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线12,PFPF分别与椭圆C交于点,AB，1PFB△的周长为8.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设12PFF△，1PFB△，PAB的面积分别为123,,SSS.求证：213221SSSSSS为定值.3.（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知抛物线T的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过2,1，11,4，2,2，3,2四点中的两点.(1)求抛物线T的方程：(2)已知圆2223xy，过点,13Pmm作圆的两条切线，分别交抛物线T于11,Axy，22,Bxy和33,Cxy，44,Dxy四个点，试判断1234xxxx是否是定值?若是定值，求出定值，若不是定值，请说明理由.考法三定直线【例3】（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为25,0，离心率为5．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为1A，2A，过点4,0的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线1MA与2NA交于点P．证明:点P在定直线上.【变式】1．（2023·湖南永州·统考一模）已知点A为圆22:21060Cxyx上任意一点，点B的坐标为10,0，线段AB的垂直平分线与直线AC交于点D．(1)求点D的轨迹E的方程；(2)设轨迹E与x轴分别交于12,AA两点（1A在2A的左侧），过3,0R的直线l与轨迹E交于,MN两点，直线1AM与直线2AN的交于P，证明：P在定直线上．2．（2023·江苏常州·校考一模）已知椭圆C：222210xyabab的短轴长为22，离心率为22．(1)求椭圆C的方程；(2)过点4,1P的动直线l与椭圆C相交于不同的,AB两点，在线段AB上取点Q，满足APQBAQPB，证明：点Q总在某定直线上．考法四最值【例4】（2023·全国·统考高考真题）已知直线210xy与抛物线2:2(0)Cypxp交于,AB两点，且||415AB．(1)求p；(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，0FMFN，求MFN△面积的最小值．【变式】1．（2023·浙江·模拟预测）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C上任意一点,Pxy满足2222(2)(2)2xyxy.(1)化简曲线C的方程；(2)已知圆22:1Oxy（O为坐标原点），直线l经过点,0(1)Amm且与圆O相切，过点A作直线l的垂线，交C于,MN两点，求OMN面积的最小值.2．（2023·浙江·模拟预测）已知椭圆22:184xyC，点0,1N，斜率不为0的直线l与椭圆C交于点,AB，与圆N相切且切点为,MM为AB中点.(1)求圆N的半径r的取值范围；(2)求AB的取值范围.3．（2023·河北秦皇岛·校联考二模）已知双曲线22221(0,0)xyabab实轴的一个端点是P，虚轴的一个端点是Q，直线PQ与双曲线的一条渐近线的交点为11,22.(1)求双曲线的方程；(2)若直线1(01)ykxkk与曲线C有两个不同的交点,ABO、是坐标原点，求OAB的面积最小值.考法五轨迹问题【例5】（2023·湖南·校联考二模）已知12,FF为双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左右焦点，且该双曲线离心率小于等于72，点M和N是双曲线上关于x轴对称非重合的两个动点，12,AA为双曲线左右顶点，12124,27MFMFMAMF恒成立．(1)求该双曲线C的标准方程；(2)设直线1NA和2MA的交点为P，求点P的轨迹方程．【变式】1（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知过右焦点3,0F的直线交双曲线2222:1(,0)xyCabab于,MN两点，曲线C的左右顶点分别为12,AA，虚轴长与实轴长的比值为52．(1)求曲线C的方程；(2)如图，点M关于原点O的对称点为点P，直线1AP与直线2AN交于点S，直线OS与直线MN交于点T，求T的轨迹方程．2．（2023·江西·校联考二模）已知过曲线2222:1,0xyCabab上一点00,xy作椭圆C的切线l，则切线l的方程为00221xxyyab.若P为椭圆221:12xCy上的动点，过P作1C的切线0l交圆222:4Cxy于,MN，过,MN分别作2C的切线12,ll，直线12,ll交于点Q.(1)求动点Q的轨迹E的方程；(2)已知R为定直线4x上一动点，过R的动直线m与轨迹E交于两个不同点,AB，在线段AB上取一点T，满足ARTBATRB，试证明动点T的轨迹过定点.3．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知椭圆C：2214xy，直线l与椭圆C交于A，B两点．(1)点00(,)Pxy为椭圆C上的动点（与点A，B不重合），若直线PA，直线PB的斜率存在且斜率之积为14，试探究直线l是否过定点，并说明理由；(2)若OAOB．过点O作OQAB，垂足为点Q，求点Q的轨迹方程．考法六长度比值【例6】（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了DeCasteljau算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论．如图所示，抛物线2:2xpy，其中0p为一给定的实数.(1)写出抛物线的焦点坐标及准线方程；(2)若直线:22lykxpkp与抛物线只有一个公共点，求实数k的值；(3)如图，A，B，C是H上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D，E，F，证明：||||||||||||ADEFDBDEFCBF．【变式】1．（2023·云南·校联考三模）如图，已知椭圆2222:10xyabab的上、下顶点为0,1,0,1MN，右顶点为P，离心率为32，直线xa和yb相交于点A，过N作直线交x轴的正半轴于B点，交椭圆于C点，连接MC交AP于点D.(1)求的方程；(2)求证：OBADBPDP.2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线2222:10xyCaaa的左、右焦点分别为1F，2F.过2F的直线l交C的右支于M，N两点，当l垂直于x轴时，M，N到C的一条渐近线的距离之和为22.(1)求C的方程；(2)证明：1122MFNFMFNF为定值.考法七存在性【例7】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知椭圆222:1(0)3xyCaa经过点31,2（），过点3,0T的直线交该椭圆于P，Q两点.(1)求OPQ△面积的最大值，并求此时直线PQ的方程；(2)若直线PQ与x轴不垂直，在x轴上是否存在点,0Ss使得PSTQST恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由.【变式】1．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l与椭圆C相交于A，B两点，与y轴相交于(0,)Mm点，若存在实数m，使得34OAOBOM+=，求m的取值范围．2．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知动点M到定点1,0F的距离与动点M到定直线2x的距离之比为22．(1)求点M的轨迹C的方程；(2)对Rk，曲线C上是否始终存在两点A，B关于直线ykxb对称？若存在，求实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．3．（2023·四川成都·模拟预测）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的中心为O，左、右焦点分别为1F，2F，M为椭圆C上一点，线段1MF与圆222xy相切于该线段的中点N，且12MFF△的面积为4.(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆C上是否存在三个点A，B，P，使得直线AB过椭圆C的左焦点1F，且四边形OAPB是平行四边形？若存在，求出直线AB的方程；若不存在.请说明理由.考法八角度关系转斜率【例8】（2022·全国·统考高考真题）已知点(2,1)A在双曲线2222:1(1)1xyCaaa上，直线l交C于P，Q两点，直线,APAQ的斜率之和为0．(1)求l的斜率；(2)若tan22PAQ，求PAQ△的面积．【变式】1．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知点P是平面直角坐标系xOy异于O的任意一点过点P作直线