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专题1.2不等式及其应用【八大题型】【新高考专用】【题型1不等式性质的应用】...............................................................................................................................3【题型2利用基本不等式求最值】.......................................................................................................................4【题型3基本不等式中的恒成立、存在性问题】................................................................................................4【题型4一元二次不等式的解法】.......................................................................................................................5【题型5其他不等式的解法】...............................................................................................................................6【题型6由一元二次不等式的解确定参数】........................................................................................................6【题型7一元二次不等式恒成立问题】...............................................................................................................7【题型8一元二次不等式有解问题】...................................................................................................................81、不等式不等式与基本不等式的性质、求解、证明以及应用是每年高考的必考内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主，主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值问题。但不等式的相关知识往往可以渗透到高考的各个知识领域，作为解题工具与函数、向量、解析几何、数列等知识相结合，在知识的交汇处命题，难度中档，其中在解析几何中利用基本不等式求解范围或解决导数问题时利用不等式进行求解，难度偏高。【知识点1等式性质与不等式性质】1．等式的基本性质性质1如果a＝b，那么b＝a；性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4如果a＝b，那么ac＝bc；性质5如果a＝b，c≠0，那么ac＝bc.2．不等式的性质(1)如果ab，那么ba；如果ba，那么ab.即ab⇔ba.(2)如果ab，bc，那么ac.即ab，bc⇒ac.(3)如果ab，那么a＋cb＋c.(4)如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么acbc.(5)如果ab，cd，那么a＋cb＋d.(6)如果ab0，cd0，那么acbd.(7)如果ab0，那么anbn(n∈N，n≥2)．【知识点2基本不等式】1.两个不等式不等式内容等号成立条件重要不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)当且仅当“a=b”时取“=”基本不等式ab≤a＋b2(a0,b0)当且仅当“a=b”时取“=”a＋b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．2．基本不等式与最值已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值14S2.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．【知识点3一元二次不等式】1．一元二次不等式的解法(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；②计算对应方程的判别式；③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤：①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．2．分式、高次、绝对值不等式的解法(1)解分式不等式的一般步骤：①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．(2)解高次不等式的一般步骤：高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集.(3)解绝对值不等式的一般步骤：对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解.3．一元二次不等式恒成立、存在性问题不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c0，它的解集为R的条件为a0，Δ＝b2－4ac0；一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为a0，Δ＝b2－4ac≤0；一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集为∅的条件为a0，Δ≤0.【题型1不等式性质的应用】【例1】（2023·海南海口·海南中学校考二模）设𝑥,𝑦∈𝑅，则“𝑥3且𝑦3”是“𝑥+𝑦6”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【变式1-1】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）下列不等式正确的是（）A．若𝑎𝑐2≥𝑏𝑐2，则𝑎≥𝑏B．若𝑐𝑎𝑐𝑏，则𝑎𝑏C．若𝑎+𝑏0，𝑐−𝑏0，则𝑎𝑐D．若𝑎0，𝑏0，𝑚0，且𝑎𝑏，则𝑎+𝑚𝑏+𝑚𝑎𝑏【变式1-2】（2023·湖南·模拟预测）已知正实数x，y满足𝑥𝑦，设𝑎=𝑥e𝑥+𝑦，𝑏=𝑦e𝑦+𝑥，𝑐=𝑦e𝑥+𝑥（其中e为自然对数：e≈2.71828⋯），则a，b，c的大小关系是（）A．𝑎𝑐𝑏B．cabC．𝑐𝑏𝑎D．𝑏𝑐𝑎【变式1-3】（2023·贵州遵义·统考模拟预测）已知𝑎,𝑏,𝑥均为实数，下列不等式恒成立的是（）A．若𝑎𝑏，则𝑎2024𝑏2024B．若𝑎𝑏，则2024𝑎2024𝑏C．若𝑎𝑥2024𝑏𝑥2024，则𝑎𝑏D．若𝑎𝑏，则𝑎𝑥2024𝑏𝑥2024【题型2利用基本不等式求最值】【例2】（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）设𝑥0，𝑦0，𝑚=2𝑥2+2√2𝑥𝑦+𝑦2𝑥2+𝑦2，则𝑚有（）A．最小值3B．最大值3C．最小值32+√2D．最大值32+√2【变式2-1】（2023·浙江·统考模拟预测）已知正实数𝑥,𝑦满足𝑥+2𝑦=1，则1𝑥+1+2𝑦+1的最小值为（）A．12+√2B．3+√22C．94D．3415【变式2-2】（2023·浙江金华·校联考模拟预测）已知𝑎0,𝑏0,2𝑎+𝑏=𝑎𝑏，则2𝑎𝑎−1+𝑏𝑏−2的最小值为（）A．4B．6C．4√2D．3+2√2【变式2-3】（2023·河南安阳·统考三模）已知𝑎0,𝑏0，则下列命题错误的是（）A．若𝑎𝑏≤1，则1𝑎+1𝑏≥2B．若𝑎+𝑏=4，则1𝑎+9𝑏的最小值为4C．若𝑎2+𝑏2=4，则𝑎𝑏的最大值为2D．若2𝑎+𝑏=1，则𝑎𝑏的最大值为√22【题型3基本不等式中的恒成立、存在性问题】【例3】（2023·广东湛江·统考二模）当𝑥，𝑦∈(0,+∞)时，4𝑥4+17𝑥2𝑦+4𝑦2𝑥4+2𝑥2𝑦+𝑦2𝑚4恒成立，则m的取值范围是（）A．(25,+∞)B．(26,+∞)C．(994,+∞)D．(27,+∞)【变式3-1】（2023上·江西南昌·高一校考期中）若两个正实数𝑥，𝑦满足1𝑥+4𝑦=1，且不等式𝑥+𝑦4𝑚2−3𝑚有解，则实数𝑚的取值范围是（）A．{𝑚|−1𝑚4}B．{𝑚|𝑚−4或𝑚1}C．{𝑚|−4𝑚1}D．{𝑚|𝑚−1或𝑚4}【变式3-2】（2022上·天津和平·高一校考阶段练习）已知𝑥0，𝑦0.(1)若𝑥+9𝑦+𝑥𝑦=7，求3𝑥𝑦的最大值；(2)若𝑥+𝑦=1，若1𝑥+1𝑦+𝑚12𝑚2恒成立，求实数m的取值范围.【变式3-3】（2023上·湖北宜昌·高一校考阶段练习）（1）已知𝑎0，𝑏0，若不等式3𝑎+1𝑏≥𝑚𝑎+3𝑏恒成立，求m的最大值；（2）若关于x的不等式3𝑥2+𝑏𝑥+3≥0在[0,2]上恒成立，求实数b的取值范围.【题型4一元二次不等式的解法】【例4】（2023·山东·校联考模拟预测）不等式𝑥2+4𝑥−21≤0的解集为（）A．(−∞,−7]∪[3,+∞)B．[−7,3]C．(−∞,−3]∪[7,+∞)D．[−3,7]【变式4-1】（2023·河南·校联考模拟预测）某同学解关于𝑥的不等式𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐0(𝑎≠0)时，因弄错了常数𝑐的符号，解得其解集为(−∞,−3)∪(−2,+∞)，则不等式𝑏𝑥2+𝑐𝑥+𝑎0的解集为（）A．(−1,−15)B．(−∞,−1)∪(−15,+∞)C．(15,1)D．(−∞,15)∪(1,+∞)【变式4-2】（2023下·河南·高一校联考阶段练习）已知𝑎,𝑏,𝑐∈𝑅，且𝑎≠0，关于x的不等式𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐0的解集为(−3,2)，则关于x的不等式𝑐𝑥2+𝑎𝑥+𝑏0的解集为（）A．(−13,12)B．(−12,13)C．(−∞,−13)∪(12,+∞)D．(−∞,−12)∪(13,+∞)【变式4-3】（2022下·浙江湖州·高一校联考开学考试）已知关于𝑥的不等式𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐0的解集为{𝑥|𝑥−1或𝑥4}，则下列说法正确的是（）A．𝑎0B．不等式𝑎𝑥2+𝑐𝑥+𝑏0的解集为{𝑥|2−√7𝑥2+√7}C．𝑎+𝑏+𝑐0D．不等式𝑎𝑥+𝑏0的解集为{𝑥|𝑥3}【题型5其他不等式的解法】【例5】（2023上·广东深圳·高一校考阶段练习）分式不等式𝑥+51−𝑥≤0的解集为（）A．{𝑥|−5≤𝑥≤1}B．{𝑥|−5≤𝑥1}C．{𝑥|𝑥≤−5或𝑥≥1}D．{𝑥|𝑥≤−5或𝑥1}【变式5-1】（2023上·辽宁·高一校联考期中）不等式(𝑥+3)(𝑥−2)𝑥−1≥0的解集为（）A．[−3,1)∪[2,+∞)B．(−∞,−3]∪(1,2]C．[−3,1)∪(1,2]D．(−∞,−3]∪[2,+∞)【变式5-2】（2023上·江苏扬州·高一校考期中）求下列不等式的解