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专题2.1函数的解析式与定义域、值域【七大题型】【新高考专用】【题型1具体函数的定义域的求解】...................................................................................................................2【题型2抽象函数的定义域的求解】...................................................................................................................2【题型3已知函数定义域求参数】.......................................................................................................................3【题型4已知函数类型求解析式】.......................................................................................................................4【题型5已知f(g(x))求解析式】............................................................................................................................4【题型6函数值域的求解】...................................................................................................................................5【题型7根据函数的值域或最值求参数】............................................................................................................61、函数的解析式与定义域、值域函数的解析式与定义域、值域问题是高考数学的必考内容。函数问题定义域优先，在解答函数问题时首先要考虑定义域；函数的解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现；函数的值域在整个高考范畴应用的非常广泛，例如恒成立问题、有解问题、数形结合问题、实际应用问题；基本不等式问题；数列的最大项、最小项；向量与复数的四则运算及模的最值；解析几何的函数性研究问题等；常常需要转化为求最值问题。在二轮复习过程中，在熟练掌握基本的解题方法的同时，也要多训练综合性较强的题目.【知识点1函数的定义域的求法】1.求给定解析式的函数定义域的方法求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.2.求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.【知识点2函数解析式的四种求法】1.函数解析式的四种求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(4)方程思想：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).【知识点3求函数值域的一般方法】1．求函数值域的一般方法(1)分离常数法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)单调性法；(6)换元法；(7)数形结合法；(8)导数法.【题型1具体函数的定义域的求解】【例1】（2023上·江苏南京·高一校考阶段练习）函数𝑓(𝑥)=√3−𝑥𝑥−1的定义域为（）A．(−∞,3]B．(1,+∞)C．(1,3]D．(−∞,1)∪[3,+∞)【变式1-1】（2023·海南·模拟预测）函数𝑓(𝑥)=√2-𝑥+1𝑥-1的定义域为()A．(-∞,1]B．(1,2]C．(-∞,2]D．(-∞,1)∪(1,2]【变式1-2】（2023上·江西景德镇·高一统考期中）函数𝑓(𝑥)=(𝑥−3)0+√3−𝑥+2𝑥−1的定义域为（）A．(−∞,1)∪[2,3)B．(−1,2)∪(3,+∞)C．(−∞,1)∪(1,3)D．(−1,2)∪(2,3]【变式1-3】（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知函数𝑦=𝑓(𝑥)的定义域为[0,4]，则函数𝑦=𝑓(𝑥+1)√𝑥−1+(𝑥−2)0的定义域是（）A．(1,5]B．(1,2)∪(2,5)C．(1,2)∪(2,3]D．(1,3]【题型2抽象函数的定义域的求解】【例2】（2023·江苏镇江·扬中市校考模拟预测）若函数𝑦=𝑓(2𝑥)的定义域为[−2,4]，则𝑦=𝑓(𝑥)−𝑓(−𝑥)的定义域为（）A．[−2,2]B．[−2,4]C．[−4,4]D．[−8,8]【变式2-1】（2023下·辽宁·高二校联考阶段练习）若函数𝑓(2𝑥−1)的定义域为[−3,1]，则𝑦=𝑓(3−4𝑥)√𝑥−1的定义域为（）A．{1}B．(1,32]C．(32,52]D．(1,52]【变式2-2】（2022上·湖南衡阳·高一校考期中）已知函数𝑓(𝑥+1)的定义域为[1,7]，则函数ℎ(𝑥)=𝑓(2𝑥)+√9−𝑥2的定义域为（）A．[4,16]B．(−∞,1]∪[3,+∞)C．[1,3]D．[3,4]【变式2-3】（2021·高一单元测试）已知函数𝑓(𝑥)的定义域为(0,1)，若𝑐∈(0,12)，则函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥+𝑐)+𝑓(𝑥−𝑐)的定义域为（）A．(−𝑐,1−𝑐)B．(𝑐,1−𝑐)C．(1−𝑐,𝑐)D．(𝑐,1+𝑐)【题型3已知函数定义域求参数】【例3】（2023上·陕西西安·高一统考期中）已知函数𝑓(𝑥)=√𝑚𝑥2+(𝑚−3)𝑥+1的定义域为R，则实数𝑚的取值范围是（）A．[1,9]B．(1,9)C．(−∞,1]∪[9,+∞)D．{3}【变式3-1】（2023上·高一课时练习）若函数𝑦=√𝑎𝑥+1在区间[−2,−1]上有意义，则实数a的可能取值是()A．1B．2C．3D．4【变式3-2】（2023上·辽宁鞍山·高一期中）已知函数𝑓(𝑥)=√(𝑎2−1)𝑥2+(𝑎+1)𝑥+1的定义域为R，则实数a的取值范围为（）A．[−1,53]B．(−∞,−1)∪[53,+∞)C．[53,+∞)D．(−∞,−1]∪[53,+∞)【变式3-3】（2022上·江苏苏州·高一校考阶段练习）已知函数𝑓(𝑥)=√𝑥2−3𝑥−𝑚√𝑥−1(𝑚∈R)(1)若𝑓(2)=2，求实数m及𝑓(𝑓(5)+1)；(2)若𝑚=10，求𝑓(𝑥)的定义域；(3)若𝑓(𝑥)的定义域为(1,+∞)，求实数m的取值范围.【题型4已知函数类型求解析式】【例4】（2023上·高一课时练习）图象是以(1,3)为顶点且过原点的二次函数𝑓(𝑥)的解析式为（）A．𝑓(𝑥)=−3𝑥2+6𝑥B．𝑓(𝑥)=−2𝑥2+4𝑥C．𝑓(𝑥)=3𝑥2−6𝑥D．𝑓(𝑥)=2𝑥2−4𝑥【变式4-1】（2023上·浙江嘉兴·高一校考阶段练习）已知函数𝑓(𝑥)是一次函数，且𝑓[𝑓(𝑥)−2𝑥]=3，则𝑓(5)=（）A．11B．9C．7D．5【变式4-2】（2023上·河北石家庄·高一校考期中）已知𝑓(𝑥)是二次函数，若𝑓(0)=0，且𝑓(𝑥+1)=𝑓(𝑥)+𝑥+1．(1)求二次函数的解析式；(2)当−1≤𝑥≤1时，求二次函数的最大值与最小值．【变式4-3】（2023上·安徽·高一校联考期中）已知一次函数𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑓(𝑥))=𝑥+3.(1)求𝑓(𝑥)的解析式；(2)若𝑔(𝑥)=𝑥𝑓(𝑥)−12，求𝑔(1)+𝑔(2)+⋯+𝑔(2023)+𝑔(12023)+𝑔(12022)+⋯+𝑔(12)的值.【题型5已知f(g(x))求解析式】【例5】（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数𝑓(1−𝑥)=1−𝑥2𝑥2(𝑥≠0)，则𝑓(𝑥)=（）A．1(𝑥−1)2−1(𝑥≠0)B．1(𝑥−1)2−1(𝑥≠1)C．4(𝑥−1)2−1(𝑥≠0)D．4(𝑥−1)2−1(𝑥≠1)【变式5-1】（2023上·天津南开·高一南开中学校考期中）已知𝑓(𝑥−1𝑥)=𝑥2+1𝑥2，则函数𝑓(𝑥+1)的表达式为（）A．𝑓(𝑥+1)=(𝑥+1)2+1(𝑥+1)2B．𝑓(𝑥+1)=(𝑥+1𝑥)2+1(𝑥+1𝑥)2C．𝑓(𝑥+1)=𝑥2+2𝑥+3D．𝑓(𝑥+1)=𝑥2+2𝑥+1【变式5-2】（2023上·河南·高一校联考期中）已知函数𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑥)=1𝑥−1(𝑥≠1)．(1)求𝑓(2−𝑥)的解析式；(2)求𝑓(120)+𝑓(320)+𝑓(520)+⋅⋅⋅+𝑓(3520)+𝑓(3720)+𝑓(3920)的值．【变式5-3】（2023上·安徽蚌埠·高一校考期中）求下列函数的解析式：(1)已知𝑓(𝑥+2)=2𝑥+3，求𝑓(𝑥)；(2)已知𝑓(√𝑥+1)=𝑥+2√𝑥，求𝑓(𝑥)；(3)已知𝑓(𝑥)是一次函数，且𝑓(𝑓(𝑥))=16𝑥−25，求𝑓(𝑥)；(4)定义在区间(−1,1)上的函数𝑓(𝑥)满足2𝑓(𝑥)−𝑓(−𝑥)=𝑥2，求𝑓(𝑥)的解析式．【题型6函数值域的求解】【例6】（2023上·福建厦门·高一校考期中）已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑥−2,𝑥∈[−2,2]，函数𝑓(𝑥)的值域为（）A．[−3,6]B．[−2,6]C．[2,10]D．[1,10]【变式6-1】（2023上·江苏苏州·高一苏州中学校考期中）函数𝑦=1−𝑥+√1−2𝑥的值域为（）A．(−∞,12]B．[0，+∞)C．[12,+∞)D．(12,+∞)【变式6-2】（2023上·河南郑州·高一统考期中）下列函数中与函数y=√𝑥2值域相同的是（）A．y=xB．y=1𝑥C．𝑦=−𝑥2D．𝑦=𝑥2−2𝑥+1【变式6-3】（2023上·安徽芜湖·高一校考阶段练习）在实数集𝑅中定义一种运算“∗”，具有下列性质：①对任意a，𝑏∈𝑅，𝑎∗𝑏=𝑏∗𝑎；②对任意𝑎∈𝑅，𝑎∗0=𝑎；③对任意a，𝑏∈𝑅，(𝑎∗𝑏)∗𝑐=𝑐∗(𝑎𝑏)+(𝑎∗𝑐)+(𝑏∗𝑐)−2𝑐．则函数𝑓(𝑥)=𝑥∗𝑥2(𝑥∈[−2,2])的值域是（）A．(−∞,5)B．[−98,5]C．[98,+∞)D．[−5,5]【题型7根据函数的值域或最值求参数】【例7】（2023上·吉林长春·高一校考阶段练习）若函数𝑓(𝑥)=(2𝑎2+5𝑎+3)𝑥2+(𝑎+1)𝑥−1的定义域､值域都为𝑅,则实数𝑎满足A．𝑎=−1或𝑎=−32B．−139𝑎−1C．𝑎≠−1且𝑎≠−32D．𝑎=−32【变式7-1】（2023·全国·统考一模）函数𝑓(𝑥)=𝑥2−4𝑥−6的定义域为[0,𝑚]，值域为[−10,−6]，则𝑚的