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专题2.4函数的图象与函数的零点问题【八大题型】【新高考专用】【题型1函数图象的画法与图象变换】...............................................................................................................2【题型2函数图象的识别】...................................................................................................................................3【题型3函数图象的应用】...................................................................................................................................5【题型4函数零点所在区间的判断】...................................................................................................................6【题型5求函数的零点或零点个数】...................................................................................................................7【题型6根据函数零点的分布求参数】...............................................................................................................7【题型7根据函数零点个数求参数范围】............................................................................................................8【题型8函数零点的大小与范围问题】...............................................................................................................91、函数的图象与函数的零点问题函数图象问题主要以考查图象识别为重点和热点，也可能考查利用函数图象解函数不等式等，一般以选择题或填空题的形式出现，难度不大.函数的零点问题是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，一般以选择题与填空题的形式出现，有时候也会结合导数在解答题中考查，此时难度偏大.【知识点1函数的图象问题】1.作函数图象的一般方法(1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.2.函数图象识别的解题思路(1)抓住函数的性质，定性分析：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的循环往复；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性.(2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.【知识点2函数的零点问题】1.函数零点个数的判断方法函数零点个数的判定有下列几种方法：(1)直接法：直接求零点，令f(x)=0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.(3)图象法：画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.(4)性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.2.已知函数零点求参数的方法(1)已知函数的零点求参数的一般方法①直接法：直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；②数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；③分离参数法：分离参数，转化为求函数的最值问题来求解.(2)已知函数零点个数求参数范围的方法已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.【题型1函数图象的画法与图象变换】【例1】（2023上·北京·高三校考阶段练习）要得到函数𝑦=𝑥𝑥−1的图象，只需将函数𝑦=1𝑥的图象（）A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度【变式1-1】（2023上·甘肃武威·高一统考开学考试）将函数𝑦=|−𝑥2+1|+2向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图像为（）A．B．C．D．【变式1-2】（2023上·陕西汉中·高一校考期中）已知函数𝑓(𝑥)={2𝑥,𝑥≥2𝑥2−3,𝑥2.(1)求𝑓(6)，𝑓(−1)的值；(2)利用描点法直接在所给坐标系中作出𝑦=𝑓(𝑥)的简图（不用列表）.【变式1-3】（2023上·河南南阳·高三校考阶段练习）作出下列函数的标准图象：(1)𝑦=2𝑥−1𝑥−1；(2)𝑦=𝑥2−2|𝑥|−1．【题型2函数图象的识别】【例2】（2022·天津南开·统考一模）函数𝑦=(𝑥2−1)𝑒𝑥的图象可能是（）A．B．C．D．【变式2-1】（2023·北京·统考模拟预测）已知函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是（）A．𝑥2𝑓(𝑥)B．𝑓(𝑥)𝑥2C．𝑥𝑓(𝑥)D．𝑥𝑓2(𝑥)【变式2-2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）函数𝑦=(𝑥3−𝑥)⋅3|𝑥|的图象大致是（）A．B．C．D．【变式2-3】（2020上·广东·高三校联考阶段练习）函数𝑓(𝑥)=𝑥2sin𝑥−𝑥cos𝑥在[−𝜋,𝜋]上的图象大致为（）A．B．C．D．【题型3函数图象的应用】【例3】（2023·河南郑州·统考二模）若函数𝑓(𝑥)=2𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的部分图象如图所示，则𝑓(5)=（）A．−13B．−23C．−16D．−112【变式3-1】（2023·江苏·高一假期作业）如图为函数𝑦=𝑓(𝑥)和𝑦=𝑔(𝑥)的图象，则不等式𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)0的解集为（）A．(−∞,−1)∪(−1,0)B．(−∞,−1)∪(0,1)C．(−1,0)∪(1,+∞)D．(0,1)∪(1,+∞)【变式3-2】（2023上·浙江·高一校联考期末）函数𝑦=𝑎(𝑥−𝑏)|𝑥−𝑐|的图像如图所示，可以判断a，b，c分别满足（）A．𝑎0，𝑏0，𝑐=0B．𝑎0，𝑏0，𝑐=0C．𝑎0，𝑏=0，𝑐0D．𝑎0，𝑏=0，𝑐=0【变式3-3】（2023·陕西西安·统考三模）定义域和值域均为[−𝑎,𝑎](常数𝑎0)的函数𝑦=𝑓(𝑥)和𝑦=𝑔(𝑥)的图象如图所示，则方程𝑓[𝑔(𝑥)]=0解的个数为（）A．1B．2C．3D．4【题型4函数零点所在区间的判断】【例4】（2023·河北·石家庄一中校联考模拟预测）已知函数𝑓(𝑥)=3𝑥+𝑥−6有一个零点𝑥=𝑥0，则𝑥0属于下列哪个区间（）A．(12,1)B．(1,32)C．(32,2)D．(2,52)【变式4-1】（2023·海南·模拟预测）函数𝑓(𝑥)=1𝑥-ln𝑥+2的零点所在的大致区间为（）A．(1,e)B．(e,e2)C．(e2,e3)D．(e3,e4)【变式4-2】（2023·浙江宁波·统考一模）已知函数𝑓(𝑥)=2𝑥+log2𝑥,𝑔(𝑥)=(12)𝑥−log2𝑥,ℎ(𝑥)=𝑥3+log2𝑥的零点分别为𝑎,𝑏,𝑐，则（）A．𝑎𝑏𝑐B．𝑏𝑎𝑐C．𝑐𝑎𝑏D．𝑏𝑐𝑎【变式4-3】（2023·北京·统考模拟预测）已知函数𝑓(𝑥)={𝑥2−5,𝑥≤−2𝑥lg(𝑥+2),𝑥−2，若方程𝑓(𝑥)=1的实根在区间(𝑘,𝑘+1),𝑘∈Z上，则k的最大值是（）A．−3B．−2C．1D．2【题型5求函数的零点或零点个数】【例5】（2023·陕西西安·西安校考模拟预测）函数𝑓(𝑥)=1−lg(3𝑥+2)的零点为（）A．log38B．2C．log37D．log25【变式5-1】（2023·四川雅安·统考一模）已知函数𝑓(𝑥)={5𝑥−5(𝑥≤1)𝑥2−4𝑥+3(𝑥1)，则函数𝑦=𝑓(𝑥)−log2𝑥的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式5-2】（2023·山东·山东省五莲县第一中学校联考模拟预测）已知函数𝑓(𝑥)是定义在R上的奇函数，对任意𝑥∈R，都有𝑓(𝑥+2)+𝑓(2−𝑥)=0，当𝑥∈(0,2)时，𝑓(𝑥)=ln𝑥，则𝑓(𝑥)在[−10,10]上的零点个数为（）A．10B．15C．20D．21【变式5-3】（2023·四川成都·模拟预测）已知定义在R上的奇函数𝑦=𝑓(𝑥)，对于∀𝑥∈R都有𝑓(1+𝑥)=𝑓(1−𝑥)，当−1≤𝑥0时，𝑓(𝑥)=log2(−𝑥)，则函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−2在(0,8)内所有的零点之和为（）A．16B．12C．10D．8【题型6根据函数零点的分布求参数】【例6】（2023上·山东青岛·高一校考阶段练习）已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2−4𝑥−1(𝑎≠0)在区间(−1,1)内恰有一个零点，则满足条件的所有实数𝑎的集合是（）A．(−3,0)∪(0,5)B．[−3,0)∪(0,5]C．{−4}∪(−3,0)∪(0,5)D．{−4}∪[−3,0)∪(0,5]【变式6-1】（2023·高一课时练习）已知函数𝑓(𝑥)=3𝑎𝑥−1−2𝑎在区间(−1,1)上存在零点，则实数𝑎的取值范围是A．(−∞,−1)∪(15,+∞)B．(15,+∞)C．(−∞,−15)∪(1,+∞)D．(−∞,−15)【变式6-2】（2023·云南·统考二模）设𝑥1,𝑥2是关于x的方程𝑥2+(𝑎−1)𝑥+𝑎+2=0的根．若−1𝑥11,1𝑥22，则实数a的取值范围是（）A．(−43,−1)B．(−34,12)C．(−2,1)D．(−2,−1)【变式6-3】（2022·高一课时练习）已知函数𝑓(𝑥)=𝑚𝑥2−3𝑥+1的零点至少有一个大于0，则实数𝑚的取值范围为（）A．(−∞,2)B．(−∞,94]C．(−∞,94)D．(−∞,2]【题型7根据函数零点个数求参数范围】【例7】（2023上·贵州遵义·高三统考阶段练习）已知函数𝑓(𝑥)={|3𝑥−1|,𝑥1log2𝑥,𝑥≥1，若函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑚有3个零点，则𝑚的取值范围是（）A．(0,2)B．(−2,0)C．(0,1)D．(−1,0)【变式7-1】（2023上·四川凉山·高一校联考期末）设函数𝑓(𝑥)={|3𝑥−2|,𝑥≤27𝑥−1,𝑥2，若方程𝑓2(𝑥)