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专题3.1导数的概念及其意义与运算【八大题型】【新高考专用】【题型1导数的定义及其应用】...........................................................................................................................2【题型2求（复合）函数的导数的方法】............................................................................................................3【题型3求曲线切线的斜率（倾斜角）】............................................................................................................3【题型4求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】............................................................................4【题型5已知切线（斜率）求参数】...................................................................................................................4【题型6切线的条数问题】...................................................................................................................................5【题型7两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】....................................................................................5【题型8与切线有关的最值问题】.......................................................................................................................61、导数的几何意义与运算导数是高考数学的必考内容，是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，主要涉及导数的运算及几何意义，一般以选择题、填空题的形式考察导数的几何意义、求曲线的切线方程，导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档.【知识点1切线方程的求法】1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率；②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0).2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：①设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)；②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；③将已知条件代入②中的切线方程求解.【知识点2复合函数的导数】1.复合函数的定义一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).2.复合函数的求导法则复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为=，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.3.求复合函数导数的步骤第一步：分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；第二步：分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；第三步：相乘：把上述求导的结果相乘；第四步：变量回代：把中间变量代回.【题型1导数的定义及其应用】【例1】（2023下·山东·高二校联考阶段练习）若limΔ𝑥→0𝑓(−2+Δ𝑥)−𝑓(−2−Δ𝑥)Δ𝑥=−2，则𝑓′(−2)=（）A．1B．-1C．2D．-2【变式1-1】（2022·高二课时练习）设𝑓(𝑥)是可导函数，且lim𝛥𝑥→0𝑓(𝑥0−2𝛥𝑥)−𝑓(𝑥0)𝛥𝑥=2，则𝑓′(𝑥0)=（）A．12B．-1C．0D．-2【变式1-2】（2022·安徽合肥·合肥校考模拟预测）如图所示，连接棱长为2cm的正方体各面的中心得到一个多面体容器，从顶点A处向该容器内注水，直至注满水为止.已知顶点B到水面的距离h以每秒1cm的速度匀速上升，设该容器内水的体积𝑉(cm3)与时间𝑡(s)的函数关系是𝑉(𝑡)，则函数𝑦=𝑉(𝑡)的图象大致是（）A．B．C．D．【变式1-3】（2022·陕西宝鸡·统考一模）设函数𝑓(𝑥)在点𝑥0处附近有定义，且𝑓(𝑥0+Δ𝑥)−𝑓(𝑥0)=𝑎Δ𝑥+𝑏(Δ𝑥)2,𝑎,𝑏为常数，则（）A．𝑓′(𝑥)=𝑎B．𝑓′(𝑥)=𝑏C．𝑓′(𝑥0)=𝑎D．𝑓′(𝑥0)=𝑏【题型2求（复合）函数的导数的方法】【例2】（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）函数𝑓(𝑥)=log21𝑥的导函数为（）A．𝑓′(𝑥)=ln2𝑥B．𝑓′(𝑥)=1𝑥ln2C．𝑓′(𝑥)=−ln2𝑥D．𝑓′(𝑥)=−1𝑥ln2【变式2-1】（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）下列求导数运算错误的是（）A．(3𝑥)′=3𝑥ln3B．(𝑥2ln𝑥)′=2𝑥ln𝑥+𝑥C．(cos𝑥𝑥)′=𝑥sin𝑥−cos𝑥𝑥2D．(2ln(𝑥2+1))′=2𝑥ln2𝑥2+1⋅2ln(𝑥2+1)【变式2-2】（2023上·湖北·高二期末）已知函数𝑓(𝑥)=𝑓′(π4)cos2𝑥+sin𝑥，则𝑓(𝑥)在𝑥=π4处的导数为（）A．√26B．√24C．√22D．−√22【变式2-3】（2023下·黑龙江哈尔滨·高二校考阶段练习）已知函数𝑓(𝑥)=(𝑥+1)2+sin𝑥𝑥2+1，其导函数记为𝑓′(𝑥)，则𝑓(389)+𝑓′(389)+𝑓(−389)−𝑓′(−389)=（）A．2B．−2C．3D．−3【题型3求曲线切线的斜率（倾斜角）】【例3】（2023·河北唐山·模拟预测）已知曲线𝑓(𝑥)=2𝑥cos𝑥在𝑥=0处的切线为𝑙，则𝑙的斜率为（）A．ln2B．−ln2C．1D．−1【变式3-1】（2023·新疆阿克苏·校考一模）若直线𝑦=𝑘𝑥+𝑛与曲线𝑦=ln𝑥+1𝑥相切，则k的取值范围是（）A．(−∞,14]B．[4,+∞)C．[−4,+∞)D．[14,+∞)【变式3-2】（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）函数𝑦=𝑓(𝑥)在𝑃(1,𝑓(1))处的切线如图所示，则𝑓(1)+𝑓′(1)=（）A．0B．12C．32D．-12【变式3-3】（2023·贵州·校联考模拟预测）设点𝑃是函数𝑓(𝑥)=𝑥3−12𝑓′(1)𝑥+𝑓′(2)图象上的任意一点，点𝑃处切线的倾斜角为𝛼，则角𝛼的取值范围是（）A．[0,3π4)B．[0,π2)∪[3π4,π)C．(π2,3π4)D．[0,π2)∪(3π4,π)【题型4求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】【例4】（2023·江苏连云港·校考模拟预测）曲线𝑦=𝑥3+1在点(𝑎,2)处的切线方程为（）A．𝑦=3𝑥+3B．𝑦=3𝑥−1C．𝑦=−3𝑥−1D．𝑦=−3𝑥−3【变式4-1】（2023下·辽宁·高二校联考阶段练习）过原点且与函数𝑓(𝑥)=ln(−𝑥)图像相切的直线方程是（）A．𝑦=−𝑥B．𝑦=−2e𝑥C．𝑦=−1e𝑥D．𝑦=−e𝑥【变式4-2】（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数𝑓(𝑥)=1e𝑥−1，则曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(−1,𝑓(−1))处的切线方程为（）A．e𝑥+𝑦+1=0B．e𝑥−𝑦+1=0C．e𝑥+𝑦−1=0D．e𝑥−𝑦−1=0【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数𝑓(𝑥)=𝑥3−𝑥2+2𝑥+1，则曲线𝑦=𝑓(𝑥)过坐标原点的切线方程为（）A．𝑦=𝑥B．𝑦=2𝑥C．𝑦=3𝑥D．𝑦=4𝑥【题型5已知切线（斜率）求参数】【例5】（2023·重庆·统考三模）已知直线y＝ax－a与曲线𝑦=𝑥+𝑎𝑥相切，则实数a＝（）A．0B．12C．45D．32【变式5-1】（2023·河南郑州·统考二模）已知曲线𝑦=𝑥ln𝑥+𝑎e−𝑥在点𝑥=1处的切线方程为2𝑥−𝑦+𝑏=0，则𝑏=（）A．－1B．－2C．－3D．0【变式5-2】（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏ln𝑥的图象在点(1,𝑓(1))处的切线方桯为𝑦=3𝑥−1.则𝑎−𝑏的值为（）A．1B．2C．3D．4【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）已知曲线𝑦=𝑎𝑥e𝑥+ln𝑥在点(1,𝑎e)处的切线方程为𝑦=3𝑥+𝑏，则（）A．𝑎=e，𝑏=−2B．𝑎=e，𝑏=2C．𝑎=e−1，𝑏=−2D．𝑎=e−1，𝑏=2【题型6切线的条数问题】【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数𝑓(𝑥)=−𝑥3+3𝑥，则过点(−3,−9)可作曲线𝑦=𝑓(𝑥)的切线的条数为（）A．0B．1C．2D．3【变式6-1】（2023·全国·模拟预测）若曲线𝑦=(1−𝑥)e𝑥有两条过点𝐴(𝑎,0)的切线，则𝑎的取值范围是（）A．(−∞,−1)∪(3,+∞)B．(−3,1)C．(−∞,−3)D．(−∞,−3)∪(1,+∞)【变式6-2】（2023·全国·模拟预测）若过点𝑃(𝑚,0)与曲线𝑓(𝑥)=𝑥+1e𝑥相切的直线只有2条，则𝑚的取值范围是（）A．(−∞,+∞)B．(−∞,−3)∪(1,+∞)C．(−1,3)D．(−∞,−1)∪(3,+∞)【变式6-3】（2023上·湖北·高三鄂南高中校联考期中）函数𝑓(𝑥)=𝑥3+(𝑎−1)𝑥2−𝑥+𝑏为R上的奇函数，过点𝑃(−12,1)作曲线𝑦=𝑓(𝑥)的切线，可作切线条数为（）A．1B．2C．3D．不确定【题型7两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】【例7】（2023·陕西渭南·统考一模）已知直线𝑦=𝑎𝑥+𝑏(𝑎∈R,𝑏0)是曲线𝑓(𝑥)=e𝑥与曲线𝑔(𝑥)=ln𝑥+2的公切线，则𝑎+𝑏等于（）A．e+2B．3C．e+1D．2【变式7-1】（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）函数𝑓(𝑥)=𝑥−𝑎ln𝑥在区间(1,6)的图象上存在两条相互垂直的切线，则𝑎的取值范围（）A．(1,6)B．(1,3)C．(3,4)D．(4,6)【变式7-2】（2023·全国·模拟预测）已知函数𝑓(𝑥)=ln𝑥与𝑔(𝑥)的图象关于直线𝑦=𝑥对称，直线𝑙与𝑔(𝑥),ℎ(𝑥)=e𝑥+1−1的图象均相切，则𝑙的倾斜角为（）A．𝜋6B．𝜋4C．𝜋3D．3𝜋4【变式7-3】（2023·海南·海南华侨中学校考一模）若对函数𝑓(𝑥)=2𝑥−sin𝑥的图象上任意一点处的切线𝑙1，函数𝑔(𝑥)=𝑚𝑒𝑥+(𝑚−2)𝑥的图象上总存在一点处的切线𝑙2，使得𝑙1⊥𝑙2，则𝑚的取值范围是（）A．(−𝑒2,0)B．(0,𝑒2)C．(−1,0)D．(0,1)【题型8与切线有关的最值问题】【例8】（2023·广东广州·统考一模）若点P是曲线𝑦=𝑥2上一动点，则点P到直线𝑦=2𝑥−3的最小距离为.【变式8-1】（