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重难点01利用基本不等式求最值【八大题型】【新高考专用】【题型1直接法求最值】.......................................................................................................................................2【题型2配凑法求最值】.......................................................................................................................................2【题型3常数代换法求最值】...............................................................................................................................2【题型4消元法求最值】.......................................................................................................................................3【题型5构造不等式法求最值】...........................................................................................................................3【题型6多次使用基本不等式求最值】...............................................................................................................4【题型7实际应用中的最值问题】.......................................................................................................................4【题型8与其他知识交汇的最值问题】...............................................................................................................6基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点.题型通常为选择题或填空题，但它的应用范围很广，涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、导数等内容，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用.【知识点1利用基本不等式求最值的方法】1．利用基本不等式求最值的几种方法(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.(5)构造不等式法：构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.【知识点2基本不等式的实际应用】1．基本不等式的实际应用的解题策略(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.【题型1直接法求最值】【例1】（2023上·北京·高一校考阶段练习）已知𝑎0，则𝑎+1𝑎+1的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【变式1-1】（2023·北京东城·统考一模）已知𝑥0，则𝑥−4+4𝑥的最小值为（）A．－2B．0C．1D．2√2【变式1-2】（2023上·山东·高一统考期中）函数𝑦=𝑥2−𝑥+9𝑥（𝑥0）的最小值为（）A．1B．3C．5D．9【变式1-3】（2023下·江西·高三校联考阶段练习）(3+1𝑥2)(1+4𝑥2)的最小值为（）A．9√3B．7+4√2C．8√3D．7+4√3【题型2配凑法求最值】【例2】（2023·浙江·校联考模拟预测）已知𝑎1，则𝑎+16𝑎−1的最小值为（）A．8B．9C．10D．11【变式2-1】（2023上·吉林·高一校考阶段练习）已知𝑥3，则𝑦=2𝑥−3+2𝑥的最小值是（）A．6B．8C．10D．12【变式2-2】（2023上·海南省直辖县级单位·高三校联考阶段练习）设𝑥2，则函数𝑦=4𝑥−1+4𝑥−2，的最小值为（）A．7B．8C．14D．15【变式2-3】（2023上·辽宁·高一校联考期中）若𝑥0，𝑦0且满足𝑥+𝑦=𝑥𝑦，则2𝑥𝑥−1+4𝑦𝑦−1的最小值为（）A．6+2√6B．4+6√2C．2+4√6D．6+4√2【题型3常数代换法求最值】【例3】（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）已知𝑎0，𝑏0，若2𝑎+3𝑏=1，则2𝑎+𝑏3的最小值是（）A．8B．9C．10D．11【变式3-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知正实数𝑎，𝑏，点𝑀(1,4)在直线𝑥𝑎+𝑦𝑏=1上，则𝑎+𝑏的最小值为（）A．4B．6C．9D．12【变式3-2】（2023上·重庆·高一统考期末）若正实数x，y满足2𝑥+8𝑦−𝑥𝑦=0，则2𝑥+𝑦的最大值为（）A．25B．16C．37D．19【变式3-3】（2023·重庆·统考一模）已知a，b为非负实数，且2𝑎+𝑏=1，则2𝑎2𝑎+1+𝑏2+1𝑏的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【题型4消元法求最值】【例4】（2023上·江苏·高一校联考阶段练习）已知正数x，y满足3𝑥−4=9𝑦，则𝑥+8𝑦的最小值为.【变式4-1】（2023上·安徽池州·高一统考期中）已知𝑥,𝑦∈R+，若2𝑥+𝑦+𝑥𝑦=7，则𝑥+2𝑦的最小值为.【变式4-2】（2023上·山东淄博·高一校考阶段练习）已知正实数𝑎,𝑏，且2𝑎+𝑏+6=𝑎𝑏，则𝑎+2𝑏的最小值为.【变式4-3】（2023·上海崇明·统考一模）已知正实数𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑满足𝑎2 −𝑎𝑏+1=0，𝑐2 +𝑑2 =1，则当(𝑎−𝑐)2 +(𝑏−𝑑)2取得最小值时，𝑎𝑏=．【题型5构造不等式法求最值】【例5】（2023下·河南·高三校联考阶段练习）已知2𝑎+𝑏=𝑎𝑏(𝑎0,𝑏0)，下列说法正确的是（）A．𝑎𝑏的最大值为8B．1𝑎−1+2𝑏−2的最小值为2C．𝑎+𝑏有最小值3+√2D．𝑎2−2𝑎+𝑏2−4𝑏有最大值4【变式5-1】（2022上·山东青岛·高一青岛二中校考期中）已知𝑥0，𝑦0，且𝑥+𝑦+𝑥𝑦−3=0；则下列结论正确的是（）A．xy的最小值是1B．𝑥+𝑦的最小值是2C．𝑥+4𝑦的最小值是8D．𝑥+2𝑦的最大值是4√2−3【变式5-2】（2023上·江苏·高一专题练习）下列说法正确的是（）A．若𝑥2，则函数𝑦=𝑥+1𝑥−1的最小值为3B．若𝑥0，𝑦0，3𝑥+1𝑦=5，则5𝑥+4𝑦的最小值为5C．若𝑥0，𝑦0，𝑥+𝑦+𝑥𝑦=3，则xy的最小值为1D．若𝑥1，𝑦0，𝑥+𝑦=2，则1𝑥−1+2𝑦的最小值为3+2√2【变式5-3】（2023上·广东中山·高三校考阶段练习）设正实数𝑥,𝑦满足𝑥+2𝑦=3，则下列说法错误的是（）A．𝑦𝑥+3𝑦的最小值为4B．𝑥𝑦的最大值为98C．√𝑥+√2𝑦的最大值为2D．𝑥2+4𝑦2的最小值为92【题型6多次使用基本不等式求最值】【例6】（2023·河南·校联考模拟预测）已知正实数𝑎，𝑏，满足𝑎+𝑏≥92𝑎+2𝑏，则𝑎+𝑏的最小值为（）A．5B．52C．5√2D．5√22【变式6-1】（2023·山东菏泽·统考一模）设实数𝑥,𝑦满足𝑥+𝑦=1，𝑦0，𝑥≠0，则1|𝑥|+2|𝑥|𝑦的最小值为（）A．2√2−1B．2√2+1C．√2−1D．√2+1【变式6-2】（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）已知实数𝑥,𝑦,𝑧0，满足𝑥𝑦+𝑧𝑥=2，则当4𝑦+1𝑧取得最小值时，𝑦+𝑧的值为（）A．1B．32C．2D．52【变式6-3】（2023上·辽宁大连·高一期末）若𝑎0,𝑏0,𝑎+𝑏=1，则𝑎2+3𝑎𝑏𝑎+2𝑏+2𝑏+1−1𝑏的最大值为（）A．√2B．2−√2C．3−√2D．3−2√2【题型7实际应用中的最值问题】【例7】（2023上·四川眉山·高一校联考期中）如图，高新区某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形𝐴𝐵𝐶𝐷和𝐸𝐹𝐺𝐻构成的面积为400m2的十字形地域.计划在正方形𝑀𝑁𝑃𝑄上建一座花坛，造价为8400元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为420元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为160元/m2.设总造价为y（单位：元），AD长为x（单位：m）.(1)用x表示AM的长度，并求x的取值范围；(2)当x为何值时，y最小？并求出这个最小值.【变式7-1】（2023上·山东·高一校联考期中）某校地势较低，一遇到雨水天气校园内会有大量积水，不但不方便师生出行，还存在严重安全问题.为此学校决定利用原水池改建一个深3米，底面面积16平方米的长方体蓄水池.不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校植被.改建及蓄水池盖儿固定费用800元，由招标公司承担.现对水池内部地面及四周墙面铺设公开招标.甲工程队给出的报价如下：四周墙面每平方米150元，地面每平方米400元.设泳池宽为𝑥米.(2≤𝑥≤6)(1)当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价.(2)现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为900𝑎(𝑥+2)𝑥元(𝑎0)（整体报价中含固定费用）.若无论宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求𝑎的取值范围.【变式7-2】（2023上·江苏苏州·高一校考阶段练习）因新冠疫情零星散发，某实验中学为了保障师生安全，同时考虑到节省费用，拟借助校门口一侧原有墙体建造一间高为4米、底面积为24平方米、背面靠墙体的长方体形状的隔离室．隔离室的正面需开一扇安全门，此门高为2米，且此门高为此门底的13．因此室的后背面靠墙，故无需建墙费用，但需粉饰．现学校面向社会公开招标，甲工程队给出的报价：正面为每平方米360元，左右两侧面为每平方米300元，已有墙体粉饰为每平方米100元，屋顶和地面以及安全门报价共计12000元．设隔离室的左右两侧面的底边长度均为𝑥米(1≤𝑥≤5)．(1)记𝑦为甲工程队整体报价，求𝑦关于𝑥的关系式；(2)现有乙工程队也要参与此隔离室建造的竞标，其给出的整体报价为4800𝑡(𝑥+1)𝑥元，问是否存在实数𝑡，使得无论左右两侧底边长为多少，乙工程队都能竞标成功（注：整体报价小者竞标成功），若存在，