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重难点02一元二次不等式恒成立、能成立问题【六大题型】【新高考专用】【题型1一元二次不等式在实数集上恒成立问题】...........................................................................................2【题型2一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】........................................................................................3【题型3给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】....................................................................................3【题型4一元二次不等式在实数集上有解问题】................................................................................................4【题型5一元二次不等式在某区间上有解问题】................................................................................................5【题型6一元二次不等式恒成立、有解问题的综合应用】................................................................................6一元二次不等式是高考数学的重要内容.其中，“含参不等式恒成立与能成立问题”是常考的热点内容，这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐.另一方面，在解决这类数学问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维能力都起到很好的作用.一元二次不等式应用广泛，考察灵活，高考复习过程要注重知识与方法的灵活运用.【知识点1一元二次不等式恒成立、能成立问题】1．一元二次不等式恒成立、能成立问题不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c0，它的解集为R的条件为a0，Δ＝b2－4ac0；一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为a0，Δ＝b2－4ac≤0；一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集为∅的条件为a0，Δ≤0.2．一元二次不等式恒成立问题的求解方法(1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数.①若ax2+bx+c0恒成立，则有a0，且△0；若ax2+bx+c0恒成立，则有a0，且△0.②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法).3．给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题的解题策略解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解.4．常见不等式恒成立及有解问题的函数处理策略不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下：(1)对任意的x∈[m,n]，af(x)恒成立af(x)max；若存在x∈[m,n]，af(x)有解af(x)min；若对任意x∈[m,n]，af(x)无解a≤f(x)min.(2)对任意的x∈[m,n]，af(x)恒成立af(x)min；若存在x∈[m,n]，af(x)有解af(x)max；若对任意x∈[m,n]，af(x)无解a≥f(x)max.【题型1一元二次不等式在实数集上恒成立问题】【例1】（2023·江西九江·校考模拟预测）无论𝑥取何值时，不等式𝑥2−2𝑘𝑥+40恒成立，则𝑘的取值范围是（）A．(−∞,−2)B．(−∞,−4)C．(−4,4)D．(−2,2)【变式1-1】（2023·山东潍坊·统考一模）“𝑏∈(−2,2)”是“∀𝑥∈𝑅，𝑥2−𝑏𝑥+1≥0成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【变式1-2】（2023上·福建三明·高一校联考期中）己知函数𝑓(𝑥)=−𝑥2+𝑎𝑥−4．(1)当𝑎=5时，解不等式𝑓(𝑥)0;(2)若不等式𝑓(𝑥)≤0的解集为R，求实数a的取值范围．【变式1-3】（2023上·浙江·高一校联考期中）已知函数𝑓(𝑥)=(𝑎2−2𝑎)𝑥2+(2𝑎−2)𝑥+1．(1)若对∀𝑥∈𝑅，都有𝑓(𝑥)−1成立，求实数a的取值范围；(2)解关于x的不等式𝑓(𝑥)0．【题型2一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】【例2】（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）已知当𝑥0时，不等式：𝑥2−𝑚𝑥+160恒成立，则实数𝑚的取值范围是（）A．(−8,8)B．(−∞,8]C．(−∞,8)D．(8,+∞)【变式2-1】（2023上·辽宁铁岭·高三校联考期中）已知∀𝑥∈[1,2]，∀𝑦∈[2,3]，𝑦2−𝑥𝑦−𝑚𝑥2≤0，则实数m的取值范围是（）A．[4,+∞)B．[0,+∞)C．[6,+∞)D．[8,+∞)【变式2-2】（2023上·福建莆田·高一校考期中）设函数𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑡𝑥+2，其中𝑡∈𝑅.(1)若𝑡=1，且对任意的𝑥∈[𝑎,𝑎+2]，都有𝑓(𝑥)≤5，求实数𝑎的取值范围；(2)若对任意的𝑥1,𝑥2∈[0,4]，都有|𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)|≤8，求实数𝑡的取值范围.【变式2-3】（2023上·江苏盐城·高一校联考期中）设函数𝑓(𝑥)=𝑚𝑥2−𝑚𝑥−1．(1)若对于𝑥∈[−1,1],𝑓(𝑥)−𝑚+5恒成立，求𝑚的取值范围；(2)若对于𝑚∈[−2,2],𝑓(𝑥)−𝑚+5恒成立，求𝑥的取值范围．【题型3给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】【例3】（2022下·河南濮阳·高一濮阳一高校考期中）已知当−1≤𝑎≤1时，𝑥2+(𝑎−4)𝑥+4−2𝑎0恒成立，则实数𝑥的取值范围是（）A．(−∞,3)B．(−∞,1]∪[3,+∞)C．(−∞,1)D．(−∞,1)∪(3,+∞)【变式3-1】（2023上·山东淄博·高一校考阶段练习）若命题“∃−1≤𝑎≤3，𝑎𝑥2−(2𝑎−1)𝑥+3−𝑎0”为假命题，则实数x的取值范围为（）A．{𝑥|−1≤𝑥≤4}B．{𝑥|0≤𝑥≤53}C．{𝑥|−1≤𝑥≤0或53≤𝑥≤4}D．{𝑥|−1≤𝑥0或53𝑥≤4}【变式3-2】（2023上·浙江宁波·高一校考阶段练习）（1）解关于x不等式𝑎𝑥2−3𝑥+25−𝑎𝑥(𝑎0)；（2）若对于−2≤𝑚≤2，不等式𝑚𝑥2−𝑚𝑥−1−𝑚+5恒成立，求x的取值范围．【变式3-3】（2023上·山东潍坊·高一校考阶段练习）已知关于𝑥的不等式2𝑥−1𝑚(𝑥2−1).(1)是否存在实数𝑚，使不等式对任意𝑥∈𝑅恒成立，并说明理由；(2)若不等式对于𝑚∈[−2,2]恒成立，求实数𝑥的取值范围；(3)若不等式对𝑥∈[2,+∞)有解，求𝑚的取值范围.【题型4一元二次不等式在实数集上有解问题】【例4】（2023下·辽宁阜新·高二校考期末）若命题“∃𝑥∈𝑅，𝑥2−2𝑚𝑥+𝑚+20”为真命题，则实数m的取值范围是（）.A．𝑚−1或𝑚2B．𝑚≤−1或𝑚≥2C．−1≤𝑚≤2D．−1𝑚2【变式4-1】（2023上·高一课时练习）若存在𝑥∈R，使得4𝑥+𝑚𝑥2−2𝑥+3≥2成立，则实数𝑚的取值范围为（）A．{𝑚|𝑚≤0}B．{𝑚|𝑚0}C．{𝑚|𝑚≥−2}D．{𝑚|𝑚−2}【变式4-2】（2022上·湖南·高一统考期末）设函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+(𝑏−1)𝑥+2.(1)若不等式𝑓(𝑥)0的解集为(1,2)，求实数a，b的值；(2)若𝑓(−1)=5，且存在𝑥∈𝑅，使𝑓(𝑥)1成立，求实数a的取值范围.【变式4-3】（2022上·辽宁沈阳·高一校联考期中）已知𝑓(𝑥)=𝑥2−𝑎𝑥−6𝑎，其中a是常数.(1)若𝑓(𝑥)0的解集是{𝑥|−3𝑥6}，求a的值，并求不等式𝑓(𝑥)≥0的解集；(2)若不等式𝑓(𝑥)0有解，且解区间的长度不超过5个单位长度，求实数a的取值范围.【题型5一元二次不等式在某区间上有解问题】【例5】（2023·河南·长葛市统考模拟预测）已知命题“∃𝑥0∈[−1,1]，−𝑥02+3𝑥0+𝑎0”为真命题，则实数𝑎的取值范围是（）A．(−∞,−2)B．(−∞,4)C．(−2,+∞)D．(4,+∞)【变式5-1】（2023上·福建·高一校联考期中）若至少存在一个𝑥0，使得关于𝑥的不等式3−|3𝑥−𝑎|𝑥2+2𝑥成立，则实数𝑎的取值范围是（）A．(−374,3)B．(−3,134)C．(−374,134)D．(−3,3)【变式5-2】（2023上·重庆·高一校联考阶段练习）已知函数𝑓(𝑥)=2𝑥2−2𝑎𝑥+1．(1)解关于𝑥的不等式𝑓(𝑥)𝑎+1−𝑥；(2)若不等式𝑓(𝑥)0在𝑥∈[−2,0)上有解，求实数𝑎的取值范围．【变式5-3】（2023上·山东淄博·高一校考期中）设函数𝑓(𝑥)=𝑚𝑥2−𝑚𝑥−1.(1)若命题：∃𝑥∈R,𝑓(𝑥)0是假命题，求𝑚的取值范围；(2)若存在𝑥∈(−4,0),𝑓(𝑥)≥(𝑚+1)𝑥2+3成立，求实数𝑚的取值范围.【题型6一元二次不等式恒成立、有解问题的综合应用】【例6】（2023上·浙江台州·高一校联考期中）已知函数𝑓(𝑥)=2𝑥2−𝑎𝑥+𝑎2−4，𝑔(𝑥)=𝑥2−𝑥+𝑎2−314，(𝑎∈R)(1)当𝑎=1时，解不等式𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)；(2)若任意𝑥0，都有𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)成立，求实数𝑎的取值范围；(3)若∀𝑥1∈[0,1]，∃𝑥2∈[0,1]，使得不等式𝑓(𝑥1)𝑔(𝑥2)成立，求实数𝑎的取值范围.【变式6-1】（2022上·重庆渝中·高一校考阶段练习）若命题𝑝：存在1≤𝑥≤2,𝑥2−𝑥+3−𝑎0，命题𝑞：二次函数𝑦=𝑥2−2𝑎𝑥+1在1≤𝑥≤2的图像恒在𝑥轴上方(1)若命题𝑝,𝑞中至少有一个真命题，求𝑎的取值范围？(2)对任意的−1≤𝑎≤1，存在0≤𝑏≤2，使得不等式𝑥2−2𝑎𝑥+𝑎≥|𝑏−1|+|𝑏−2|成立，求𝑥的取值范围？【变式6-2】（2023下·浙江·高二统考学业考试）设二次函数𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑏,𝑐∈R)．(1)若𝑐=𝑏，且𝑓(𝑥)在[0,2]上的最大值为𝑐+2，求函数𝑓(𝑥)的解析式；(2)若对任意的实数b，都存在实数𝑥0∈[1,2]，使得不等式|𝑓(𝑥0)|≥𝑥0成立，求实数c的取值范围．【变式6-3】（2023上·天津北辰·高一校考阶段练习）已知函数𝑦1=𝑥+𝑚和𝑦2=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐.（1）若𝑐=2−𝑎，关于𝑥的不等式𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐0的解集是{𝑥|−1𝑥3}.求实数𝑎，𝑏的值；（2）若𝑐=2−𝑎，𝑏=2，𝑎≥0，解关于𝑥的不等式𝑎𝑥