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重难点04指、对、幂数比较大小问题【七大题型】【新高考专用】【题型1利用单调性比较大小】...........................................................................................................................2【题型2中间值法比较大小】...............................................................................................................................2【题型3作差法、作商法比较大小】...................................................................................................................3【题型4构造函数法比较大小】...........................................................................................................................3【题型5数形结合比较大小】...............................................................................................................................4【题型6含变量问题比较大小】...........................................................................................................................4【题型7放缩法比较大小】...................................................................................................................................4从近几年的高考情况来看，指、对、幂数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，是高考的热点问题，主要以选择题的形式考查，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序比较大小.这类问题的主要解法是利用函数的性质与图象来求解，解题时要学会灵活的构造函数.【知识点1指、对、幂数比较大小的一般方法】1.单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：①底数相同，指数不同时，如1xa和2xa，利用指数函数xya的单调性；②指数相同，底数不同时，如1ax和2ax，利用幂函数ayx单调性比较大小；③底数相同，真数不同时，如1logax和2logax，利用指数函数logax单调性比较大小.2.中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定．3.作差法、作商法：(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.4.估算法：(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.5.构造函数法：构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.6、放缩法：(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；(2)指数和幂函数结合来放缩；(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.【题型1利用单调性比较大小】【例1】（2023·陕西商洛·统考一模）已知𝑎=0.91.1,𝑏=log1213,𝑐=log132，则（）A．𝑎𝑏𝑐B．𝑎𝑐𝑏C．𝑐𝑎𝑏D．𝑏𝑎𝑐【变式1-1】（2023·四川南充·模拟预测）已知𝑎=(25)25,𝑏=(35)25,𝑐=log252，则（）A．𝑎𝑏𝑐B．𝑏𝑎𝑐C．𝑐𝑏𝑎D．𝑐𝑎𝑏【变式1-2】（2023·广东广州·统考二模）已知𝑎=323，𝑏=234，𝑐=413，则（）A．𝑐𝑎𝑏B．𝑏𝑐𝑎C．𝑏𝑎𝑐D．𝑐𝑏𝑎【变式1-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知𝑎=ln𝜋,𝑏=log3𝜋,𝑐=√𝜋ln2，则𝑎,𝑏,𝑐的大小关系是（）A．𝑏𝑎𝑐B．𝑎𝑏𝑐C．𝑐𝑏𝑎D．bca【题型2中间值法比较大小】【例2】（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知𝑎=6log23.4，𝑏=6log43.6，𝑐=(16)log30.3，则（）A．𝑎𝑏𝑐B．𝑏𝑎𝑐C．𝑎𝑐𝑏D．𝑐𝑎𝑏【变式2-1】（2023上·天津河东·高三校考阶段练习）已知𝑎=2−log23，𝑏=2−log34，𝑐=log23+log34，则（）A．𝑐𝑎𝑏B．𝑏𝑎𝑐C．𝑎𝑏𝑐D．𝑐𝑏𝑎【变式2-2】（2023上·河南开封·高一校考阶段练习）已知𝑎=log132023,𝑏=log20232024,𝑐=2023−2024，则a，b，c的大小关系是（）A．𝑎𝑏𝑐B．𝑏𝑐𝑎C．𝑏𝑎𝑐D．𝑐𝑎𝑏【变式2-3】（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知𝑎=1.11.2,𝑏=1.21.3,𝑐=1.31.1，则（）A．𝑐𝑏𝑎B．𝑎𝑏𝑐C．𝑐𝑎𝑏D．𝑎𝑐𝑏【题型3作差法、作商法比较大小】【例3】（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知𝑥=log32，𝑦=log43，𝑧=(34)23，则𝑥、𝑦、𝑧的大小关系为（）A．𝑥𝑦𝑧B．𝑦𝑥𝑧C．𝑧𝑦𝑥D．𝑦𝑧𝑥【变式3-1】（2023·云南·校联考模拟预测）已知𝑎=log169,𝑏=log2516,𝑐=e−2，则（）A．𝑏𝑎𝑐B．𝑏𝑐𝑎C．𝑐𝑏𝑎D．𝑐𝑎𝑏【变式3-2】（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）若𝑎=ln22，𝑏=ln33，𝑐=ln55，则（）A．𝑎𝑏𝑐B．𝑐𝑏𝑎C．cabD．𝑎𝑐𝑏【变式3-3】（2023·全国·模拟预测）已知𝑎=log8.14，𝑏=log3.1e，𝑐=ln2.1,，则（）A．𝑎𝑐𝑏B．𝑎𝑏𝑐C．cabD．bca【题型4构造函数法比较大小】【例4】（2023·福建宁德·校考模拟预测）记𝑎=e√𝜋，𝑏=√𝜋+1，𝑐=1eln𝜋+2，则（）A．𝑎𝑏𝑐B．𝑐𝑏𝑎C．bcaD．𝑎𝑐𝑏【变式4-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知实数𝑎,𝑏,𝑐满足𝑎2+log2𝑎=0,2023−𝑏=log2023𝑏,𝑐=log7√6，则（）A．𝑎𝑏𝑐B．𝑐𝑎𝑏C．𝑏𝑐𝑎D．𝑐𝑏𝑎【变式4-2】（2023·全国·模拟预测）已知𝑎=log0.090.18，𝑏=√6.2−√4.2，𝑐=ln89+98，则（）A．𝑎𝑏𝑐B．𝑐𝑎𝑏C．𝑏𝑎𝑐D．𝑎𝑐𝑏【变式4-3】（2023·全国·模拟预测）设𝑎=0.2ln10，𝑏=0.99，𝑐=0.9e0.1，则（）A．𝑎𝑏𝑐B．𝑐𝑏𝑎C．𝑐𝑎𝑏D．𝑎𝑐𝑏【题型5数形结合比较大小】【例5】（2022·广东茂名·统考一模）已知𝑥,𝑦,𝑧均为大于0的实数，且2𝑥=3𝑦=log5𝑧，则𝑥,𝑦,𝑧大小关系正确的是（）A．𝑥𝑦𝑧B．𝑥𝑧𝑦C．𝑧𝑥𝑦D．𝑧𝑦𝑥【变式5-1】（2023上·四川·高三校联考阶段练习）已知𝑎+log2𝑎=4,𝑏+log3𝑏=𝑐+log4𝑐=3，则（）A．𝑎𝑐𝑏B．𝑎𝑏𝑐C．𝑏𝑐𝑎D．𝑐𝑎𝑏【变式5-2】（2023上·广东江门·高一统考期末）已知𝑓(𝑥)=(12)𝑥−𝑥−2，𝑔(𝑥)=log12𝑥−𝑥−2，ℎ(𝑥)=𝑥3−𝑥−2的零点分别是𝑎，𝑏，𝑐，则𝑎，𝑏，𝑐的大小顺序是（）A．𝑎𝑏𝑐B．𝑐𝑏𝑎C．𝑏𝑐𝑎D．𝑏𝑎𝑐【变式5-3】（2022·河南·统考一模）已知𝑎=eπ,𝑏=πe,𝑐=(√2)eπ，则这三个数的大小关系为（）A．𝑐𝑏𝑎B．𝑏𝑐𝑎C．𝑏𝑎𝑐D．𝑐𝑎𝑏【题型6含变量问题比较大小】【例6】（2022上·江西吉安·高三统考期末）已知实数a，b，c，满足ln𝑏=e𝑎=𝑐，则a，b，c的大小关系为（）A．𝑎𝑏𝑐B．𝑐𝑏𝑎C．𝑏𝑐𝑎D．𝑎𝑐𝑏【变式6-1】（2022上·湖北·高三校联考开学考试）已知𝑎,𝑏,𝑐均为不等于1的正实数，且ln𝑐=𝑎ln𝑏,ln𝑎=𝑏ln𝑐，则𝑎,𝑏,𝑐的大小关系是（）A．𝑐𝑎𝑏B．𝑏𝑐𝑎C．𝑎𝑏𝑐D．𝑎𝑐𝑏【变式6-2】（2022上·江苏南通·高三统考期中）已知正实数𝑎，𝑏，𝑐满足e𝑐+e−2𝑎=e𝑎+e−𝑐，𝑏=log23+log86，𝑐+log2𝑐=2，则a，b，c的大小关系为()A．𝑎𝑏𝑐B．𝑎𝑐𝑏C．𝑐𝑎𝑏D．𝑐𝑏𝑎【变式6-3】（2023上·辽宁丹东·高三统考期末）设𝑚1，log𝑚𝑎=𝑚𝑏=𝑐，若a，b，c互不相等，则（）A．𝑎1B．𝑐≠eC．𝑏𝑐𝑎D．(𝑐−𝑏)(𝑐−𝑎)0【题型7放缩法比较大小】【例7】（2023·全国·模拟预测）已知𝑎=log2π，𝑏=ln4，𝑐=0.6−1.5，则（）A．𝑎𝑏𝑐B．bcaC．𝑏𝑎𝑐D．cab【变式7-1】（2023上·安徽·高二校联考阶段练习）已知𝑎=√19−√17,𝑏=6−34,𝑐=log53−29log35，则（）A．𝑎𝑏𝑐B．bcaC．𝑏𝑎𝑐D．cab【变式7-2】（2023上·江苏泰州·高一泰州中学校考期中）已知三个互不相等的正数𝑎,𝑏,𝑐满足𝑎=e23,𝑏=log23+log96,𝑐=log√5(2𝑎+1)，（其中e=2.71828⋯是一个无理数），则𝑎,𝑏,𝑐的大小关系为（）A．𝑎𝑏𝑐B．𝑎𝑐𝑏C．cabD．𝑐𝑏𝑎【变式7-3】（2023上·福建漳州·高一校考期中）设𝑎=0.712023，𝑏=(12023)0.7，𝑐=𝑎+14𝑎，则（）A．𝑐𝑎𝑏B．𝑐𝑏𝑎C．𝑎𝑐𝑏D．𝑏𝑐𝑎1．（2023·天津·统考高考真题）若𝑎=1.010.5,𝑏=1.010.6,𝑐=0.60.5，则𝑎,𝑏,𝑐的大小关系为（）A．𝑐𝑎𝑏B．𝑐𝑏𝑎C．𝑎𝑏𝑐D．𝑏𝑎𝑐2．（2022·天津·统考高考真题）已知�