搜索
重难点08正、余弦定理解三角形的重要模型和综合应用【八大题型】【新高考专用】【题型1三角形中的边、角计算】.......................................................................................................................3【题型2解三角形中的中线模型】.......................................................................................................................4【题型3解三角形中的倍角模型】.......................................................................................................................6【题型4解三角中的角平分线模型】...................................................................................................................7【题型5解三角形中的等分点模型】...................................................................................................................8【题型6三角形、四边形的面积最值或范围问题】............................................................................................9【题型7三角形中的边长或周长的最值或范围问题】......................................................................................11【题型8解三角形与三角函数综合】.................................................................................................................12解三角形是高考的热点内容，是每年高考必考内容之一.从近几年的高考情况来看，正、余弦定理解三角形在选择题、填空题中考查较多，难度较易；综合考查以解答题为主，中等难度.对于解答题，主要考查正、余弦定理与三角形面积公式的综合应用，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合考查.【知识点1解三角形中的重要模型】1.中线模型(1)中线长定理：在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BC边上的中线，则.(2)向量法：.2.倍角模型222222BAbaacCBcbbaACaccb（）（）（），这样的三角形称为“倍角三角形”．推论1：22sin2sinsin32cos34sinabcacABbBBBBB；推论2：212cos2coscABAbcaBb.3.角平分线模型角平分线张角定理：如图，AD为BAC平分线，则1cos()2ADADBADbc斯库顿定理：如图，AD是ABC△的角平分线，则2·ADABACBDDC，可记忆：中方=上积-下积．4.等分点模型如图，若P在边BC上，且满足PCBP，APm，则延长AP至D，使PDAP，连接CD.易知AB∥DC，且DCc，(1)ADAP，180BACACD．【知识点2正、余弦定理解三角形的方法技巧】1.正弦定理、余弦定理解三角形的主要作用正弦定理、余弦定理解三角形的主要作用是将三角形中已知条件的边、角关系转化为角的关系或边的关系，实现三角形边角关系的互化，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．2.对三角形解的个数的研究已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定.(1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知a,b和A，解三角形为例加以说明.由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：①若B=1，则满足条件的三角形的个数为0；②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1；③若B=1，则满足条件的三角形的个数为1或2.显然由0B=1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三角形内角和等于”等，此时需进行讨论.3.与三角形面积有关问题的求解思路：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.4.三角形中的最值（范围）问题的解题策略：(1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运用．解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值（范围）．(2)“坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值．【题型1三角形中的边、角计算】【例1】（2023·四川绵阳·四川校考一模）记△𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知𝑎sin(𝐴+𝐵)=𝑐sin𝐵+𝐶2．(1)求A；(2)已知𝑐=3，𝑏=1，边BC上有一点D满足𝑆△𝐴𝐵𝐷=3𝑆△𝐴𝐷𝐶，求AD．【变式1-1】（2023·河南郑州·统考模拟预测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶=√33𝐵𝐶，点𝐷在𝐴𝐵延长线上，且𝐴𝐷=52𝐵𝐷．(1)求sin∠𝐴𝐶𝐷sin∠𝐵𝐶𝐷；(2)若△𝐴𝐵𝐶面积为√3，求𝐶𝐷．【变式1-2】（2023·云南·统考模拟预测）在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且𝑏=𝑐(cos𝐴−sin𝐴).(1)求角C；(2)若𝑐=2√5，D为边BC的中点，△𝐴𝐷𝐶的面积𝑆=1且𝐵𝐴，求AD的长度.【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）已知平面四边形ABCD，𝐴𝐵=6，𝐴𝐶=2√19，𝐵𝐶𝐴𝐵，△𝐴𝐵𝐶的面积为6√3．(1)求∠𝐴𝐵𝐶；(2)若𝑆△𝐴𝐵𝐶=3𝑆△𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐷=2𝐵𝐷，求CD的长度．【题型2解三角形中的中线模型】【例2】（2023下·辽宁大连·高一校联考期中）在△𝐴𝐵𝐶中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，𝑐=2𝑏，2sin𝐴=3sin2𝐶.(1)求sin𝐶；(2)若△𝐴𝐵𝐶的面积为6√7，求𝐴𝐵边上的中线𝐶𝐷的长.【变式2-1】（2023·青海海东·统考模拟预测）在△𝐴𝐵𝐶中，内角𝐴,𝐵,𝐶的对边分别为𝑎,𝑏,𝑐，且12cos𝐵cos𝐶+1=tan𝐵tan𝐶．(1)求角𝐴的值；(2)若𝑎=2，求𝐵𝐶边上的中线𝐴𝐷的最大值．【变式2-2】（2023下·浙江湖州·高一湖州中学校考阶段练习）在△𝐴𝐵𝐶中，已知𝐴𝐵=2，𝐴𝐶=4，∠𝐵𝐴𝐶=60°，𝐵𝐶，𝐴𝐶边上的两条中线𝐴𝑀，𝐵𝑁相交于点P．(1)求𝐵𝑃的长度；(2)求∠𝑀𝑃𝑁的余弦值．【变式2-3】（2023·广东广州·统考模拟预测）在锐角△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴,𝐵,𝐶所对的边分别为𝑎,𝑏,𝑐，且2𝑐2=(𝑎2+𝑐2−𝑏2)(tan𝐴+tan𝐵).(1)求角𝐴的大小；(2)若边𝑎=√2，边𝐵𝐶的中点为𝐷，求中线𝐴𝐷长的取值范围.【题型3解三角形中的倍角模型】【例3】（2023下·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考期中）在锐角△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，设向量𝑚⃗⃗=(𝑎+𝑐,𝑎)，𝑛⃗=(𝑎−𝑐,𝑏)，且𝑚⃗⃗⊥𝑛⃗.(1)求证：𝐶=2𝐴(2)求𝑏𝑎+(2𝑎𝑐)2的取值范围.【变式3-1】（2023·重庆·统考模拟预测）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足𝑏2=𝑐(𝑐+𝑎)．(1)证明：𝐵=2𝐶；(2)求1tan𝐶−1tan𝐵+3sin𝐵的取值范围．【变式3-2】（2023·全国·模拟预测）记△𝐴𝐵𝐶的内角𝐴,𝐵,𝐶的对边分别为𝑎,𝑏,𝑐，已知𝑎2=𝑏(𝑏+𝑐)．(1)判断𝐴与𝐵的等量关系，并证明．(2)若𝑏=1，求△𝐴𝐵𝐶周长的取值范围．【变式3-3】（2023·云南昆明·校联考一模）在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，𝑐2+𝑎𝑐=𝑏2.(1)证明：𝐵=2𝐶；(2)求𝑎+𝑏𝑐的取值范围.【题型4解三角中的角平分线模型】【例4】（2023·云南曲靖·统考一模）在△ABC中，角A，B，C的对边长依次是a，b，c，𝑏=2√3，sin2𝐴+sin2𝐶+sin𝐴sin𝐶=sin2𝐵．(1)求角B的大小；(2)当△ABC面积最大时，求∠BAC的平分线AD的长．【变式4-1】（2023·山西吕梁·统考二模）如图，在平面四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴=135°，𝐴𝐵=2，∠𝐴𝐵𝐷的平分线交𝐴𝐷于点𝐸，且𝐵𝐸=2√2．(1)求∠𝐴𝐵𝐸及𝐵𝐷；(2)若∠𝐵𝐶𝐷=60°，求△𝐵𝐶𝐷周长的最大值．【变式4-2】（2023下·江西·高一校联考期末）记△𝐴𝐵𝐶的内角𝐴,𝐵,∠𝐴𝐶𝐵的对边分别为𝑎,𝑏,𝑐,𝑐=6,△𝐴𝐵𝐶的面积𝑆=√34(𝑎2+𝑏2−𝑐2).(1)若cos𝐵=35，求𝑎；(2)已知𝐷为𝐴𝐵上一点，从下列两个条件中任选一个作为已知，求线段𝐶𝐷长度的最大值.①𝐶𝐷为∠𝐴𝐶𝐵的平分线；②𝐶𝐷为边𝐴𝐵上的中线.注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【变式4-3】（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知△𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos2𝐵+cos2𝐶−2cos2𝐴=2(sin𝐵−sin𝐶)2．(1)求A；(2)若D为边BC上的一点，AD为∠BAC的平分线，且𝐴𝐷=√3，求𝑏+9𝑐的最小值．【题型5解三角形中的等分点模型】【例5】（2023上·安徽芜湖·高三校考阶段练习）已知△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷为线段𝐴𝐶上靠近𝐴的四等分点，其中cos∠𝐵𝐷𝐶=−2√77，5sin∠𝐴𝐵𝐷=√3cos∠𝐴𝐵𝐷.（1）求𝐴的值；（2）若𝐵𝐷=3√7，求△𝐴𝐵𝐶的面积.【变式5-1】（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）已知函数𝑓(𝑥)=2√3cos(𝑥−𝜋2)cos𝑥+2sin2𝑥，在△𝐴𝐵𝐶中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且𝑓(𝐴)=3．(1)求角A；(2)若b=3，c=2，点D为BC边上靠近点C的三等分点，求AD的长度．【变式5-2】（2023·湖北·模拟预测）在△𝐴𝐵𝐶中，内角A，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，已知𝑎2(1+cos𝐴)=2𝑏𝑐sin2𝐴．(1)判断△𝐴𝐵𝐶的形状；(2)已