专题7.1 不等式的性质（原卷版）

7.1不等式的性质思维导图知识点总结1.两个实数比较大小的方法(1)作差法a－b0⇔ab，a－b＝0⇔a＝b，a－b0⇔ab.(2)作商法ab1（a∈R，b0）⇔ab（a∈R，b0），ab＝1⇔a＝b（a，b≠0），ab1（a∈R，b0）⇔ab（a∈R，b0）.2.不等式的性质性质1若ab，则ba.性质2若ab，bc，则.性质3若ab，则a＋cb＋c.性质4若ab，c0，则；若ab，c0，则.性质5若ab，cd，则a＋cb＋d.性质6若ab0，cd0，则acbd.性质7若ab0，则anbn(n∈N*).[常用结论]1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.有关分式的性质(1)若ab0，m0，则bab＋ma＋m；bab－ma－m(b－m0).(2)若ab0，则ab⇔1a1b.(6)可开方性：a＞b＞0⇒(n∈N，n≥2)．典型例题分析考向一比较数(式)的大小例1(1)若a＜0，b＜0，则p＝b2a＋a2b与q＝a＋b的大小关系为()A.p＜qB.p≤qC.p＞qD.p≥q(2)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________.感悟提升比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.考向二构造法比较大小例2(1)若a，b∈[0，＋∞)，A＝a＋b，B＝a＋b，则A，B的大小关系是()A.A≤BB.A≥BC.A＜BD.A＞B(2)若a＝ln33，b＝ln44，c＝ln55，则()A.abcB.cbaC.cabD.bac答案B考向三不等式的基本性质例3(1)(多选)(2023·张家口一模)若a＞b，则下列不等式中正确的有()A.a－b＞0B.2a＞2bC.ac＞bcD.a2＞b2(2)(多选)(2023·泰州调研)若a＞b＞0＞c，则()A.ca＞cbB.b－ca－c＞baC.ac＞bcD.a－c＞2－bc感悟提升解决此类题目常用的三种方法：(1)直接利用不等式的性质逐个验证，要特别注意前提条件；(2)利用特殊值排除法；(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断.考向四不等式性质的综合应用例4(1)已知－1x4，2y3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________.(2)已知a∈(－3，－2)，b∈(2，4)，则ba的取值范围是________.感悟提升利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.基础题型训练一、单选题1．若,abcd，则下列不等关系中一定成立的是（）A．acbdB．acbdC．acbdD．acbd2．下列命题中成立的是（）A．如果ab，0c，那么abccB．如果ab，那么22abC．如果ab，cd，那么adbcD．如果ab，cd，那么adbc3．已知,,abcR，且ab，则下列不等式中一定成立的是（）A．acbcB．acbcC．11abD．22acbc4．已知xR，下列不等式中正确的是（）.A．1123xxB．221111xxxxC．221112xxD．2112||1xx5．若关于x的不等式组4341,3632xxxax的解集为(,2)，则实数a的取值范围是（）A．[2,)B．(2,)C．(,2]D．(,2)6．设a，b，c，d为实数，满足0ab，0bc，0cd，0abbc，则下列不等式正确的是()A．20ccdB．cdabC．0acbdD．acbd二、多选题7．若0ab，则下列不等式不可能成立的是（）A．11abaB．abC．11abD．22ab8．已知a，b，c满足abc，且0ac，则下列不等式中恒成立的有（）A．0a，0cB．bcaaC．22baccD．abbc三、填空题9．不等式组214,1123xxxx的解集为________．10．若、满足ππ22，则2的取值范围是______．11．已知实数x，y满足41xy，145xy，则9txy的取值范围是___________．12．若关于x的不等式232366xxxax在2,10上恒成立，则a的取值范围是__．四、解答题13．（1）已知,abcd，求证：acbd；（2）已知410,24ab，求ab的取值范围；（3）已知12,224abab，求4ab的取值范围．14．已知a，bR，且满足1311abab，则42ab的取值范围是？15．证明下面的结论：（1）如果0ab，cd，且0c，那么acbd；（2）如果0ab，0cd，那么acbd；（3）如果0ab，0cd，那么11acbd；（4）如果0ab，0cd，0e，那么eeacbd.16．已知,,abcR，求证：3332222222()abcababbcbcacac；提升题型训练一、单选题1．若非零实数a，b满足ab，则下列不等式一定成立的是（）A．22abB．-a-bC．33abD．ab2．若实数,mn满足mn，则下列选项正确的是（）A．lg0mnB．1122mnC．330mnD．mn3．已知,,,Rabcd，且,abcd，则下列结论中正确的是（）A．acbdB．acbdC．acbdD．abdc4．已知,0cbacba，则下列不等式一定成立的是（）A．222cbaB．cbabC．bcacD．acab5．若0ab，则下列各式一定．．成立的是（）A．acbcB．22abC．acbcD．11ab6．下列命题中正确的是（）A．若acbc22，则abB．若ab，则11abC．若ab，cd，则acbdD．若ab，cd，则abcd二、多选题7．下列说法正确的是（）A．若ab，cd，则a-cb-dB．若22acbc，则abC．若0ab，则11abbaD．若,abR，则2abab8．已知0abc，则下列不等式恒成立的是（）A．22acbcB．()()aacbbcC．()()abcbacD．11abbc三、填空题9．已知33axy，22bxyxy，其中,xy均为正数，则,ab的大小关系为______.10．已知28a，03b，则ab的取值范围是__________．11．已知1212,,aabb请比较下面两式大小:1122abab________1221abab12．请根据“糖水加糖变得更甜了”提炼出一个不等式：______（设糖水为a克，含糖为b克，加入的糖为m克）．四、解答题13．已知0ab，求证ab.14．比较下列各组中的两个实数或代数式的大小:（1）2x23与x2，x∈R；（2）a2与31a，a∈R，且a≠1.15．已知0abcd，adbc．（Ⅰ）证明：adbc；（Ⅱ）证明：abcbcaabcabc．16．（1）比较26aa和35aa的大小；（2）已知21x，12y，求2xy的取值范围．