专题10 数列不等式的放缩问题 （练习）（原卷版）

专题10数列不等式的放缩问题目录01先求和后放缩...................................................................................................................................102裂项放缩..........................................................................................................................................303等比放缩..........................................................................................................................................4041()()niiafn型不等式的证明.....................................................................................................5051()()niiafn型不等式的证明....................................................................................................7061()niiab型不等式的证明...........................................................................................................8071()niiab型不等式的证明........................................................................................................1101先求和后放缩1．（2023·山东菏泽·高三菏泽一中校考阶段练习）已知数列na的前n项和为nS，且1214aa，，______请在11(322)32nnnnnnSSSnaS①；②是公差为1的等差数列；1nnaa③是公比为3的等比数列，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.(1)求na的通项公式；(2)在na与1na之间插入n个实数，使这2n个数依次组成公差为nd的等差数列，数列1nd的前n项和nT，证明：5.4nT2．（2023·吉林白城·高三校考阶段练习）已知公差不为零的等差数列na的前n项和为2,3nSa，且137,,aaa成等比数列.(1)求na的通项公式；(2)若121nnnbSa，数列nb的前n项和为nT，证明：34nT.3．（2023·天津·高三校联考期中）已知数列na的前n项和22nnnS，数列nb满足：13b，*121Nnnbbn．(1)证明：1nb是等比数列；(2)设数列{}nc的前n项和为nT，且2211(1)log1nnnnnacab，求nT(3)设数列nd满足：1222*2,21,N,2nnnnnnankaadkankb．证明：2194nkkd．4．（2023·陕西西安·高三西安市第三中学校考期中）设各项均为正数的数列na的前n项和为nS，满足431nnnSaa.(1)求数列na的通项公式；(2)记13nnnab，数列nb的前n项和为nT.证明：对一切正整数n，6nT.02裂项放缩5．（2023·贵州黔东南·高三天柱民族中学校联考阶段练习）已知正项数列na的前n项和为1,1nSa，且12nnnaSSn.(1)求na；(2)设1nnbS，数列nb的前n项和为nT，证明：74nT.6．（2023·湖南常德·高三临澧县第一中学校考阶段练习）已知数列na为等差数列，数列nb为等比数列，且47a，11a，2132aba，23324ababnN.(1)求na，nb的通项公式；(2)已知2,34,nnnnnnnabncabnaa为奇数为偶数，求数列nc的前2n项和2nT；(3)求证：11212log3niiiab.7．（2023·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）已知数列na满足10a，212log,21,N2,2,Nnnnaankkankk.(1)判断数列21na是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；(2)若数列na的前10项和为361，记221221lognnnbaa，数列nb的前n项和为nT，求证：12nT.8．（2023·河北唐山·模拟预测）已知na和nb是公差相等的等差数列，且公差0,nda的首项11a，记nS为数列na的前n项和，2nnnabS．(1)求na和nb；(2)若221,nnnnccab的前n项和为nT，求证：2nnnaTb．03等比放缩9．（2023·广东梅州·高三梅州市梅江区梅州中学校考阶段练习）已知数列na的前n项和为nS，14a，nS是1na与24n的等差中项．(1)求na的通项公式；(2)设141nnnnbta，若数列nb是递增数列，求t的取值范围．(3)设143nnca，且数列nc的前n项和为nT，求证：916nT．10．（2023·全国·高三专题练习）求证：2323212223221nnn（*Nn）.11．（2023·重庆·高三统考阶段练习）记数列na的前n项和为nS，且*23nnSannN.(1)求证：数列1na是等比数列；(2)求证：121112naaa.041()()niiafn型不等式的证明12．（2023·河南·方城第一高级中学校联考模拟预测）已知函数1ln1fxx（0x）.(1)证明：1xfxx；(2)若正项数列na满足1nnafa，且10,1a，记na的前n项和为nS，证明：1122nnaSna（2n）.13．（2023·江西萍乡·高三统考期中）已知函数2e1xxfxx.(1)证明：当0x时，12fx恒成立；(2)首项为13的数列nanN满足：当2n时，有1e2nanfa，证明：ln12ln2nnan.14．（2023·重庆·高三校联考期中）设数列na的前n项之积为nT，满足2lNnnaTn.(1)设11nnbT，求数列nb的通项公式nb；(2)设数列na的前n项之和为nS，证明：11ln1224nnnST.15．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知正数数列na满足2211102nnnnnaaaannn，且11a.（函数fx求导n次可用nfx表示）(1)求na的通项公式.(2)求证：对任意的*Nn，0x，都有1e1nxiiiax.16．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数101fxx．(1)当0x时，证明：1fxx；(2)数列na的前n项和为nS，且1nnSa；（ⅰ）求na；（ⅱ）求证：3221221423naaannnaaaa．17．（2023·四川·高三校联考阶段练习）已知函数12lnfxaxxx.(1)若1,,0xfx，求a的取值范围；(2)证明：21N,36(1)ln[(1)](1)(2)ninnniinnn.18．（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）已知函数()(1)ln11fxaxxxx．(1)若函数()fx在[1,)上只有一个零点，求a的取值范围；(2)若2,131,21nnann，记数列na的前n项和为nS，证明：22ln32nSnn．051()()niiafn型不等式的证明19．（2023·黑龙江大庆·高二大庆一中校考阶段练习）已知曲线Cn：x2﹣2nx+y2=0，（n=1，2，…）.从点P（﹣1，0）向曲线Cn引斜率为kn（kn0）的切线ln，切点为Pn（xn，yn）.(1)求数列{xn}与{yn}的通项公式；(2)证明：135211613nnnnnxxxxxxcosxy.20．（2023·浙江温州·高二校联考期末）已知数列{}na，{}nb满足12a，14b，且12nnnbaa，211nnnabb.（1）求234,,aaa及234,,bbb；（2）猜想{}na，{}nb的通项公式，并证明你的结论；（3）证明：对所有的*nN，321113211···2sin21nnnnnnnaabaabbbbab.21．（2023·山东青岛·高二统考期末）在各项为正数的数列na中，16a，点11,nnnAaa在曲线yx上；对于数列nb，点,nnBnb在过点0,1，且以1,2m为方向向量的直线l上．(1)求数列na和nb的通项公式；(2)若,,nnnanCbn为偶数为奇数，问是否存在Nk，使275kkCC成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；(3)对任意正整数n，不等式12102111111nnanabbb都成立，求实数a的取值范围．061()niiab型不等式的证明22．（2023·山西·高三统考阶段练习）已知函数31()sin6fxxxx．(1)证明：对[0,),()0xfx恒成立；(2)是否存在nN，使得1113ln2sinsinsin1324(2)4nn成立？请说明理由．23．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）记nS为数列na的前n项和，已知1nnSann.(1)求数列{na}的通项公式；(2)数列{nb}满足*1N,22nnnabbnn且111ab，1nb的前n项和为nT，证明:12nT.24．（2023·四川成都·高一成都七中校考期末）已知数列na满足11a，11nnnnaaaa（其中*Nn）(1)判断并证明数列na的单调性；(2)记数列na的前n项和为nS，证明：20213522S．25．（2023·河南·校联考模拟预测）记nS为等差数列na的前n项和，已知11a，6424SS.(1)求na的通项公式；(2)已知当100n时，212111π0.0106nSSSL，证明：222212100111π0.018aaaL.26．（2023·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知数列na是首项为1的等差数列，数列nb是公比不为1的等比数列，满足122aab，233aab，454aab．(1)求na和nb的通项公式；(2)求数列nnab的前n项和nS；(3)若数列nd满足11d，1nnnddb，记12nknikdTb．是否存在整数m，使得对任意的*