专题15 立体几何解答题全归类（练习）（原卷版）

专题15立体几何解答题全归类目录01非常规空间几何体为载体................................................................................................................202立体几何探索性问题.......................................................................................................................403立体几何折叠问题...........................................................................................................................604立体几何作图问题...........................................................................................................................805立体几何建系繁琐问题.................................................................................................................1106两角相等（构造全等）的立体几何问题.......................................................................................1307利用传统方法找几何关系建系......................................................................................................1508空间中的点不好求.........................................................................................................................1709创新定义........................................................................................................................................2001非常规空间几何体为载体1．（2023·四川南充·模拟预测）如图所示，在圆锥DO中，D为圆锥的顶点，O为底面圆圆心，AB是圆O的直径，C为底面圆周上一点，四边形AODE是矩形．(1)若点F是BC的中点，求证：//DF平面ACE；(2)若π2,3ABBACACE，求直线CD与平面ABDE所成角的余弦值．2．（2023•新高考Ⅱ）如图，三棱锥ABCD中，DADBDC，BDCD，60ADBADC，E为BC中点．（1）证明BCDA；（2）点F满足EFDA，求二面角DABF的正弦值．3．（2023·河南·高二漯河高中校联考阶段练习）如图，四棱台ABCDEFGH中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，24EGAC，上、下底面中心的连线NM垂直于上、下底面，且NM与侧面所成角的正切值为22．(1)求点A到平面MHG的距离；(2)求二面角EHMG的余弦值．4．（2023·天津和平·统考三模）如图，四棱台1111ABCDABCD中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，1124ABAB，,EF分别为,DCBC的中点，上下底面中心的连线1OO垂直于上下底面，且1OO与侧棱所在直线所成的角为45.(1)求证：1BD∥平面1CEF；(2)求点1A到平面1CEF的距离；(3)边BC上是否存在点M，使得直线1AM与平面1CEF所成的角的正弦值为32222，若存在，求出线段BM的长；若不存在，请说明理由02立体几何探索性问题5．（2023•新高考Ⅰ）如图，在正四棱柱1111ABCDABCD中，2AB，14AA．点2A，2B，2C，2D分别在棱1AA，1BB，1CC，1DD上，21AA，222BBDD，23CC．（1）证明：2222//BCAD；（2）点P在棱1BB上，当二面角222PACD为150时，求2BP．6．（2023·北京·高三北京八中校考期中）羡除是《九章算术》中记载的一种五面体．如图五面体ABCDEF，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，其中EFADBC∥∥，4AD，2EFBCAB，10ED，M为AD中点，平面BCEF与平面ADEF交于EF．再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得羡除ABCDEF能够确定，然后解答下列各题：(1)求证：BM平面CDE；(2)求二面角BAEF的余弦值．(3)在线段AE上是否存在点Q，使得MQ与平面ABE所成的角的正弦值为77，若存在，求出AQAE的值，若不存在，请说明理由．条件①：平面CDE平面ABCD；条件②：平面ADEF平面ABCD；条件③：23EC．7．（2021•甲卷）已知直三棱柱111ABCABC中，侧面11AABB为正方形，2ABBC，E，F分别为AC和1CC的中点，D为棱11AB上的点，11BFAB．（1）证明：BFDE；（2）当1BD为何值时，面11BBCC与面DFE所成的二面角的正弦值最小？8．（2021•北京）如图，在正方体1111ABCDABCD，E为11AD的中点，11BC交平面CDE交于点F．（Ⅰ）求证：F为11BC的中点；（Ⅱ）若点M是棱11AB上一点，且二面角MFCE的余弦值为53，求111AMAB的值．9．（2023·全国·高三专题练习）如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面相互垂直，已知4,2BCABAD．(1)求证：ACBF；(2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC平面BCEF？若存在，求出||||PEBP的值；若不存在，请说明理由．03立体几何折叠问题10．（2023·江苏苏州·高三苏州市相城区陆慕高级中学校考阶段练习）已知图①中四边形ABCD是圆O的内接四边形，沿BD将ABD△所在圆面翻折至如图②所示的位置，使得ACCD.(1)若45CBO，证明：ABOC；(2)若BCBDCDBD，求二面角BACD余弦值的最小值.11．（2023·湖南·校联考模拟预测）如图，在梯形ABCD中，//ADBC，ADAB，26BCAD，3AB，AC与BD交于点M，将ABD△沿BD翻折至PBD△，使点A到达点P的位置.(1)证明：BDPC；(2)若平面PBC与平面PBD的夹角的余弦值为77，求三棱锥PBCD的体积.12．（2023·贵州·高二校联考阶段练习）如图1，已知ABFE是直角梯形，EFAB∥，90ABF，60∠BAE，C、D分别为BF、AE的中点，5AB，1EF，将直角梯形ABFE沿CD翻折，使得二面角FDCB的大小为60°，如图2所示，设N为BC的中点.(1)证明：FNAD；(2)若M为AE上一点，且AMAE，则当为何值时，直线BM与平面ADE所成角的正弦值为5714.13．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，且满足22,2ADDECE，将ADEV沿AE向上翻折，使点D到点P的位置，构成四棱锥PABCE.(1)若点F在线段AP上，且EF平面PBC，试确定点F的位置；(2)若41010PB，求锐二面角PECA的大小.04立体几何作图问题14．（2023·贵州·校联考模拟预测）如图，已知平行六面体1111ABCDABCD的底面ABCD是菱形，112CDCCAC，π3DCB，且113coscos4CCDCCB.(1)试在平面ABCD内过点C作直线l，使得直线//l平面1CBD，说明作图方法，并证明：直线11lBD∥；(2)求平面1BCD与平面11ABD所成锐二面角的余弦值.15．（2023·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考阶段练习）已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，O为其中心，点E为侧棱PD的中点.(1)作出过O、P两点且与AE平行的四棱锥截面（在答题卡上作出该截面与四棱锥表面的交线，并写出简要作图过程）；记该截面与棱CD的交点为M，求出比值DMMC（直接写出答案）；(2)若四棱锥的侧棱与底面边长均相等，求AE与平面PBC所成角的正弦值.16．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，平面MNGH与直线PB和直线AC平行，点E为PD的中点，点F在CD上，且:1:2DFFC.(1)求证：四边形MNGH是平行四边形；(2)求作过EF作四棱锥PABCD的截面，使PB与截面平行（写出作图过程，不要求证明）.截面的定义：用一个平面去截一个几何体，平面与几何体的表面的交线围成的平面图形.17．（2023·安徽马鞍山·统考三模）如图多面体ABCDEF中，面FAB面ABCD，FAB为等边三角形，四边形ABCD为正方形，//EFBC，且332EFBC，H，G分别为CE，CD的中点.（1）求二面角CFHG的余弦值；（2）作平面FHG与平面ABCD的交线，记该交线与直线AB交点为P，写出APAB的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）.18．（2023·北京·北京市十一学校校考三模）四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，23DAB.ACBDO,且PO平面ABCD，3PO，点,FG分别是线段.PBPD上的中点，E在PA上.且3PAPE.（Ⅰ）求证：//BD平面EFG；（Ⅱ）求直线AB与平面EFG的成角的正弦值；（Ⅲ）请画出平面EFG与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤.05立体几何建系繁琐问题19．（2023·浙江台州·高一统考期末）如图，平面ADEF平面ABCD，四边形ADEF为矩形，且M为线段EF上的动点，//ABCD，90ABC，2ADDE，222ABCDBC.(1)当M为线段EF的中点时，（i）求证：AM平面BDM；（ii）求直线AM与平面MBC所成角的正弦值；(2)记直线AM与平面MBC所成角为，平面MAD与平面MBC的夹角为，是否存在点M使得?若存在，求出FM；若不存在，说明理由.20．（2023·江苏南京·高一南京外国语学校校考阶段练习）如图，在梯形ABCD中，ABCD，1ADDCCB，60ABC，四边形ACFE为矩形，平面ACFE平面ABCD，1CF.(1)求证：BC平面ACFE；(2)求二面角ABFC的平面角的余弦值；(3)若点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为(90)，试求cos的范围.21．（2023·重庆·统考三模）如图，四面体ABCD的顶点都在以AB为直径的球面上，底面BCD是边长为3的等边三角形，球心O到底面的距离为1．(1)求球O的表面积；(2)求二面角BACD的余弦值．22．（2023·浙江·高二校联考阶段练习）如图所示，在平行四边形ABCD中，283ABBC，π3DAB，E为边AB的中点，将ADEV沿直线DE翻折为ADE，若F为线段AC的中点．在ADEV翻折过程中，(1)求证：//BF平面ADE¢；(2)若二面角60ADEC，求AC与面AED所成角的正弦值.23．（2023·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）四面体DABC中π2ABC，