专题02 不等式与复数（6大核心考点）（讲义）（原卷版）

专题02不等式与复数【目录】...............................................................................................................................................1................................................................................................................................................2...............................................................................................................................................2...............................................................................................................................................4...............................................................................................................................................5考点一：基本不等式二元式.....................................................................................................................................5考点二：和式与积式................................................................................................................................................6考点三：柯西不等式二元式.....................................................................................................................................7考点四：齐次化与不等式最值.................................................................................................................................7考点五：复数的四则运算........................................................................................................................................9考点六：复数的几何意义......................................................................................................................................10有关不等式的高考试题，是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题，考试形式多以一道选择题为主，分值5分．复数的代数运算、代数表示及其几何意义是高考的必考内容，题型多为选择题或填空题，分值5分，考题难度为低档.考点要求考题统计考情分析基本不等式2023年上海卷第6题，4分2022年上海卷第14题，5分2022年新高考II卷第12题，5分2021年上海卷第16题，5分2023年天津卷第13题，5分【命题预测】预测2024年高考，多以小题形式出现，不等式在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断，求取值范围问题；预测2024年高考仍将以复数的基本概念以及复数的代数运算为主要考点，其中复数的除法运算、共轭复数及复数的几何意义是最可能出现的命题角度！复数的四则运算2023年新高考I卷第2题，5分2023年新高考甲卷第2题，5分2023年新高考乙卷第1题，5分2022年新高考II卷第2题，5分复数的几何意义2023年新高考II卷第1题，5分2023年上海卷第11题，5分2022年新高考乙卷第2题，5分1、几个重要的不等式（1）20,00,0.aaRaaaaR（2）基本不等式：如果,abR，则2abab（当且仅当“ab”时取“”）．特例：10,2;2abaaaba（,ab同号）．（3）其他变形：①2222abab（沟通两和ab与两平方和22ab的不等关系式）②222abab（沟通两积ab与两平方和22ab的不等关系式）③22abab（沟通两积ab与两和ab的不等关系式）④重要不等式串：222,1122ababababRab即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）．2、均值定理已知,xyR．（1）如果xyS（定值），则2224xySxy（当且仅当“xy”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”．（2）如果xyP（定值），则22xyxyP（当且仅当“xy”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”．3、常见求最值模型模型一：2(0,0)nmxmnmnx，当且仅当nxm时等号成立；模型二：()2(0,0)nnmxmxamamnmamnxaxa，当且仅当nxam时等号成立；模型三：211(0,0)2xaccaxbxcacbaxbx，当且仅当cxa时等号成立；模型四：22()1())(0,0,0)24mxnmxmxnmxnnxnmxmnxmmmm（，当且仅当2nxm时等号成立．4、对复数几何意义的理解及应用（1）复数z，复平面上的点z及向量OZ相互联系，即(,)(,)zabiabRZabOZ；（2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．1．（2022•上海）若实数a、b满足0ab，下列不等式中恒成立的是()A．2ababB．2ababC．222ababD．222abab2．（2021•乙卷）下列函数中最小值为4的是()A．224yxxB．4|sin||sin|yxxC．222xxyD．4ylnxlnx3．（2021•上海）已知两两不相等的1x，1y，2x，2y，3x，3y，同时满足①11xy，22xy，33xy；②112233xyxyxy；③1133222xyxyxy，以下哪个选项恒成立()A．2132xxxB．2132xxxC．2213xxxD．2213xxx4．（2023•新高考Ⅰ）已知122izi，则(zz)A．iB．iC．0D．15．（2023•新高考Ⅱ）在复平面内，(13)(3)ii对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（2023•甲卷）35(1)((2)(2)iii)A．1B．1C．1iD．1i7．（2023•乙卷）23|22|(ii)A．1B．2C．5D．58．（2022•新高考Ⅱ）(22)(12)(ii)A．24iB．24iC．62iD．62i9．（2022•甲卷）若13zi，则(1zzz)A．13iB．13iC．1333iD．1333i10．（2022•乙卷）已知12zi，且0zazb，其中a，b为实数，则()A．1a，2bB．1a，2bC．1a，2bD．1a，2b11．（2022•新高考Ⅰ）若(1)1iz，则(zz)A．2B．1C．1D．212．（2021•甲卷）已知2(1)32izi，则(z)A．312iB．312iC．32iD．32i13．（2021•新高考Ⅰ）已知2zi，则()(zzi)A．62iB．42iC．62iD．42i14．（2021•新高考Ⅱ）复数213ii在复平面内对应点所在的象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限15．（2021•乙卷）设2()3()46zzzzi，则(z)A．12iB．12iC．1iD．1i16．（多选题）（2022•新高考Ⅱ）若x，y满足221xyxy，则()A．1xy„B．2xy…C．222xy„D．221xy…17．（2023•上海）已知正实数a、b满足41ab，则ab的最大值为．18．（2021•天津）已知0a，0b，则21abab的最小值为．19．（2023•上海）已知1z，2zC且12(zizi为虚数单位），满足1|1|1z，则12||zz的取值范围为．考点一：基本不等式二元式如果00ba，，那么2baab，当且仅当ba时，等号成立．其中，2ba叫作ba，的算术平均数，ab叫作ba，的几何平均数．即正数ba，的算术平均数不小于它们的几何平均数．不等式可变形为：abba4)(2或2()2abab，其中Rba，．例1．（2023·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期中）已知0x，0y，且496xy，则xy的最大值为（）A．14B．12C．1D．2例2．（2023·山西太原·高三统考期中）已知xfxa（0a，且1a），0,mn,，则下列结论正确的是（）A．fmnfmfnB．fmnfmfnC．2mnffmn≥D．22fmfnmnf≤例3．（2023·福建莆田·高三莆田一中校考期中）实数,xy满足21,0xyx，则yxx的最小值为（）A．1B．2C．3D．4例4．（2023·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）已知函数e1e1xxfx，若对任意的正数a、b，满足220fafb，则21ab的最小值为（）A．2B．4C．6D．8考点二：和式与积式已知式目标式方法选取和式积式基本不等式积式和式基本不等式和式和式柯西不等式积式积式柯西不等式例5．（多选题）（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）已知a，b为正实数，且216abab，则（）A．ab的最大值为8B．2ab的最小值为8C．ab的最小值为623D．1112ab的最小值为22例6．（多选题）（2023·江苏南京·高三南京市江宁高级中学校联考期中）已知0,0ab，21ab，则（）A．21ab的最小值为4B．ab的最大值为18C．22ab的最小值为15D．24ab的最小值为22例7．（多选题）（2023·湖北·高三校联考期中）已知1m，1n，且3mn，则（）A．333loglog2log4mnB．222elnln2eeemnmnC．218