专题16 妙解离心率问题（12大核心考点）（讲义）（原卷版）

专题16妙解离心率问题【目录】...............................................................................................................................................2................................................................................................................................................3...............................................................................................................................................4...............................................................................................................................................4...............................................................................................................................................6考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题............................................................................6考点二：焦点三角形顶角范围与离心率..................................................................................................................7考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题......................................................................................................................8考点四：椭圆与双曲线的4a通径体.......................................................................................................................8考点五：椭圆与双曲线的4a直角体.......................................................................................................................9考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题............................................................................................................10考点七：双曲线的4a底边等腰三角形..................................................................................................................11考点八：焦点到渐近线距离为b............................................................................................................................12考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形....................................................................................................13考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题.................................................................................................14考点十一：渐近线平行线与面积问题....................................................................................................................15考点十二：数形结合转化长度角度.......................................................................................................................16求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式考查，难度中等．考点要求考题统计考情分析离心率2023年新高考I卷第5、16题，10分2023年甲卷第9题，5分2022年甲卷第10题，5分2022年浙江卷第16题，4分2021年甲卷第5题，5分2021年天津卷第8题，5分离心率问题一直是高考每年必考，对圆锥曲线概念和几何性质的考查为主，一般不会出太难，二轮复习我们需要掌握一些基本的性质和常规的处理方法，挖掘椭圆双曲线的几何性质下手．求离心率范围的方法一、建立不等式法：1、利用曲线的范围建立不等关系．2、利用线段长度的大小建立不等关系．12,FF为椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点，P为椭圆上的任意一点，1,PFacac；12,FF为双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，1PFca．3、利用角度长度的大小建立不等关系．12,FF为椭圆22221xyab的左、右焦点，P为椭圆上的动点，若12FPF，则椭圆离心率e的取值范围为sin12e．4、利用题目不等关系建立不等关系．5、利用判别式建立不等关系．6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．7、利用基本不等式，建立不等关系．1．（2023•新高考Ⅰ）设椭圆2212:1(1)xCyaa，222:14xCy的离心率分别为1e，2e．若213ee，则(a)A．233B．2C．3D．62．（2023•甲卷）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率为5，C的一条渐近线与圆22(2)(3)1xy交于A，B两点，则||(AB)A．55B．255C．355D．4553．（2022•甲卷）椭圆2222:1(0)xyCabab的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为()A．32B．22C．12D．134．（2021•甲卷）已知1F，2F是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且1260FPF，12||3||PFPF，则C的离心率为()A．7B．13C．72D．1325．（2021•天津）已知双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点与抛物线22(0)ypxp的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，若||2||CDAB，则双曲线的离心率为()A．2B．3C．2D．36．（2022•甲卷）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为13，1A，2A分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若121BABA，则C的方程为()A．2211816xyB．22198xyC．22132xyD．2212xy7．（2022•全国）若双曲线2222:1(0,0)xyCabab的一条渐近线与直线21yx垂直，则C的离心率为()A．5B．5C．54D．528．（多选题）（2022•乙卷）双曲线C的两个焦点为1F，2F，以C的实轴为直径的圆记为D，过1F作D的切线与C交于M，N两点，且123cos5FNF，则C的离心率为()A．52B．32C．132D．1729．（2023•新高考Ⅰ）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F．点A在C上，点B在y轴上，11FAFB，2223FAFB，则C的离心率为．10．（2022•浙江）已知双曲线22221(0,0)xyabab的左焦点为F，过F且斜率为4ba的直线交双曲线于点1(Ax，1)y，交双曲线的渐近线于点2(Bx，2)y且120xx．若||3||FBFA，则双曲线的离心率是．考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题，如图所示：椭圆：)4sin(21cossin1e，根据α范围求解值域．双曲线：)4cos(21sincos1e，根据α范围求解值域．【例1】（2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知椭圆222210xyabab上一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆右焦点，且满足AFBF，设ABF，且,123，则该椭圆的离心率e的取值范围是（）A．2,312B．26,23C．631,3D．66,32【变式1-1】（2024·高三单元测试）已知椭圆22221xyab（a＞b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设ABF，且,126，则该椭圆的离心率e的取值范围为（）A．631,3B．331,2C．66,43D．6(0,)3【变式1-2】（2024·宁夏银川·高三银川二中校考阶段练习）已知椭圆22221(0)xyabab上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且满足AFBF，设ABF，且ππ[,]124，则该椭圆的离心率e的取值范围为（）A．26[,]23B．313[,]22C．6[31,]3D．23[,]22【变式1-3】（2024·河南驻马店·高三统考期末）已知双曲线:C2222(0)xyabab右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若0AFBF，设BAF且π5π(,)412，则双曲线C离心率的取值范围是（）A．(2,2]B．[2,)C．(2,)D．(2,)考点二：焦点三角形顶角范围与离心率12,FF是椭圆)0(12222babyax的焦点，点P在椭圆上，21PFF，则221≥cose（当且仅当动点为短轴端点时取等号）．【例2】（2024·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知点12FF，分别是椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点，点P是椭圆上的一个动点，若使得满足12PFF是直角三角形的动点P恰好有6个，则该椭圆的离心率为（）A．12B．32C．22D．33【变式2-1】（2024·江西抚州·高三统考期末）设12,FF是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点p,使12120FPF,则椭圆离心率的取值范围是（）A．30,2B．30,2