专题21 概率与统计的综合运用（13大核心考点）（讲义）（原卷版）

专题21概率与统计的综合运用【目录】...............................................................................................................................................2................................................................................................................................................3...............................................................................................................................................4...............................................................................................................................................5...............................................................................................................................................9考点一：求概率及随机变量的分布列与期望..........................................................................................................9考点二：超几何分布与二项分布...........................................................................................................................10考点三：概率与其它知识的交汇问题....................................................................................................................12考点四：期望与方差的实际应用...........................................................................................................................13考点五：正态分布与标准正态分布.......................................................................................................................15考点六：统计图表及数字特征...............................................................................................................................17考点七：线性回归与非线性回归分析....................................................................................................................20考点八：独立性检验..............................................................................................................................................22考点九：与体育比赛规则有关的概率问题............................................................................................................25考点十：决策型问题..............................................................................................................................................27考点十一：递推型概率命题...................................................................................................................................29考点十二：条件概率、全概率公式、贝叶斯公式.................................................................................................30考点十三：高等背景下的概统问题.......................................................................................................................31概率统计在高考中扮演着很重要的角色，概率统计解答题是新高考卷及多数省市高考数学必考内容，考查热点为古典概型、相互独立事件的概率、条件概率、超几何分布、二项分布、正态分布、统计图表与数字特征、回归分析、离散型随机变量的分布列、期望与方差的实际应用等．回顾近几年的高考试题，可以看出概率统计解答题，大多紧密结合社会实际，以现实生活为背景设置试题，注重知识的综合应用与实际应用，作为考查实践能力的重要载体，命题者要求考生会收集，整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，建立数学模型，再应用数学原理和数学工具解决实际问题．考点要求考题统计考情分析统计图表及数字特征2023年乙卷第17题，12分2023年II卷第19题，12分2022年II卷第19题，12分【命题预测】预测2024年高考，以解答题形式出现，具体估计为：（1）以解答题压轴题形式出现，考查数学抽象、数学建模、逻辑推理与数学运算四大核心素养．（2）热点是与体育比赛规则有关的概率问题及高等背景下的概统问题.期望与方差2023年上海卷第19题，14分2023年I卷第21题，12分2022年甲卷第19题，12分2021年I卷第18题，12分独立性检验2023年甲卷第17题，12分2022年I卷第20题，12分（一）涉及的概率知识层面主要考查随机变量的概率分布与数学期望，一定要根据有关概念，判断是等可能事件、互斥事件、相互独立事件还是独立重复试验，以便选择正确的计算方法，进行概率计算及离散型随机变量的分布列和数学期望的计算，也要掌握几种常见常考的概率分布模型：离散型有二项分布、超几何分布，连续型有正态分布．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，1、离散型随机变量的期望与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为称1122()nnEXxpxpxp为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．称21()()niiiDXxEXp为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值()EX的偏离程度，其算术平方根()DX为随机变量X的标准差．（1）离散型随机变量的分布列的性质①0(1,2,,)ipin…；②121nppp．（2）均值与方差的性质若YaXb，其中,ab为常数，则Y也是随机变量，且2()();()()EaXbaEXbDaXbaDX（3）分布列的求法①与排列、组合有关分布列的求法．由排列、组合、概率知识求出概率，再求出分布列．②与频率分布直方图有关分布列的求法．可由频率估计概率，再求出分布列．③与互斥事件有关分布列的求法．弄清互斥事件的关系，利用概率公式求出概率，再列出分布列．④与独立事件（或独立重复试验）有关分布列的求法．先弄清独立事件的关系，求出各个概率，再列出分布列．（4）常见的离散型随机变量的概率分布模型①二项分布；②超儿何分布．2、常见的连续型概率分布模型正态分布．（二）概率分布与不同知识背景结合考查对实际问题的解决能力1、与数列结合的实际问题2、与函数导数结合的实际问题3、与分段函数求最值、解不等式结合的实际问题4、与统计结合的实际问题5、与其他背景结合的实际问题1．（2023•乙卷）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为ix，(1iyi，2，10)．试验结果如下：试验序号i12345678910伸缩率ix545533551522575544541568596548伸缩率iy536527543530560533522550576536记(1iiizxyi，2，，10)，记1z，2z，，10z的样本平均数为z，样本方差为2s．（1）求z，2s；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高．（如果2210sz…，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）2．（2023•新高考Ⅱ）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p（c）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q（c）．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（1）当漏诊率p（c）0.5%时，求临界值c和误诊率q（c）；（2）设函数f（c）p（c）q（c）．当[95c，105]，求f（c）的解析式，并求f（c）在区间[95，105]的最小值．3．（2023•甲卷）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：)g．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表；mm…对照组试验组（ⅱ）根据()i中的列联表，能否有95%的把握认为