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2024年高考数学全真模拟卷03（新高考专用）（考试时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（5分）（2023·全国·模拟预测）已知全集𝑈=R，集合𝐴={𝑥|𝑥2−𝑥−20}，𝐵={0,1,2,3}，则(∁𝑈𝐴)∩𝐵=（）A．[−1,2]B．{−1,0,1,2}C．{0,1,2}D．{−1,0,1,2,3}【解题思路】根据一元二次不等式的解法求解集合A，然后利用补集和交集运算求解即可.【解答过程】由𝑥2−𝑥−20得(𝑥−2)(𝑥+1)0，解得𝑥−1或𝑥2，所以𝐴=(−∞,−1)∪(2,+∞)，所以∁𝑈𝐴=[−1,2]，故(∁𝑈𝐴)∩𝐵={0,1,2}.故选：C.2．（5分）（2023·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）若复数𝑧=(2−𝑎i)(i+1)的共轭复数𝑧̅在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围是（）A．(2,+∞)B．(−∞,−2)C．(−2,2)D．(0,2)【解题思路】应用复数乘法化简，再由所在象限的复数特征列不等式组求参数范围.【解答过程】由题设，可得𝑧=2+𝑎+(2−𝑎)i，所以𝑧=2+𝑎+(𝑎−2)i，对应的点位于第四象限，所以{𝑎−202+𝑎0⇒−2𝑎2.故选：C.3．（5分）（2023·陕西榆林·校考模拟预测）在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷满足𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，点𝐸满足𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗，若𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝑦𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，则𝑥+𝑦=（）A．−15B．−14C．−13D．−12【解题思路】用𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗、𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗作为一组基底表示出𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗、𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可.【解答过程】因为点𝐸满足𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗，所以𝐸为𝐴𝐷的中点，所以𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，又𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，所以𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，所以𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，又𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗，因为𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝑦𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，所以𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥(12𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)+𝑦𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，即𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=12𝑥𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+(13𝑥+𝑦)𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，所以{13𝑥+𝑦=112𝑥=−1，解得{𝑥=−2𝑦=53，所以𝑥+𝑦=−13.故选：C.4．（5分）（2023·四川南充·统考模拟预测）下列函数是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增的是（）A．𝑓(𝑥)=−𝑥2B．𝑓(𝑥)=𝑥12C．𝑓(𝑥)=|𝑥|D．𝑓(𝑥)=2𝑥【解题思路】A选项，函数不满足单调性；B选项，定义域不关于原点对称，B错误；C选项，满足函数为偶函数且在(0,+∞)上单调递增；D选项，函数不满足为偶函数.【解答过程】A选项，𝑓(𝑥)=−𝑥2在(0,+∞)上单调递减，A错误；B选项，𝑓(𝑥)=𝑥12的定义域为[0,+∞)，定义域不关于原点对称，不是偶函数，B错误；C选项，𝑓(𝑥)=|𝑥|的定义域为R，又𝑓(−𝑥)=|−𝑥|=|𝑥|=𝑓(𝑥)，故𝑓(𝑥)=|𝑥|为偶函数，且𝑥0时，𝑓(𝑥)=|𝑥|=𝑥在(0,+∞)上单调递增，满足要求，C正确；D选项，𝑓(𝑥)=2𝑥的定义域为R，且𝑓(−𝑥)=2−𝑥≠2𝑥，故𝑓(−𝑥)≠𝑓(𝑥)，𝑓(𝑥)=2𝑥不是偶函数，D错误.故选：C.5．（5分）（2023·全国·模拟预测）某校有甲、乙等5名同学到4个社区参加志愿服务活动，要求每名同学只能去1个社区，每个社区至少安排1名同学，则甲、乙2人被分配到同1个社区的概率为（）A．310B．110C．25D．35【解题思路】由排列与组合的相关计算公式运算即可求解.【解答过程】先在5名同学中选出2名同学分配到一个社区，有C52种分配方法，再将另外3人分配到3个社区且每个社区各1人，则共有C52A44=240（种）分配方法，其中甲、乙2人被分配到同一个社区的分法有A44=24（种），则甲、乙2人被分配到同1个社区的概率为24240=110.故选：B．6．（5分）（2023·广东·校联考二模）已知𝐹是双曲线𝐸:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)的左焦点，𝑂为坐标原点，过点𝐹且斜率为√73的直线与𝐸的右支交于点𝑀，𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3𝑁𝐹⃗⃗⃗⃗⃗，𝑀𝐹⊥𝑂𝑁，则𝐸的离心率为（）A．3B．2C．√3D．√2【解题思路】取𝑀𝐹的中点为𝑃，连接𝑀𝐹1，𝑃𝐹1,根据题意得到𝑂𝑁//𝑃𝐹1，求得|𝑀𝐹1|=|𝐹𝐹1|=2𝑐，结合tan∠𝑀𝐹𝐹1=√73，得到cos∠𝑀𝐹𝐹1=|𝑀𝐹|2|𝐹𝐹1|=34，结合双曲线的定义，得到𝑐=2𝑎，即可求解.【解答过程】如图所示，双曲线𝐸:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1的右焦点为𝐹1，𝑀𝐹的中点为𝑃，连接𝑀𝐹1，𝑃𝐹1,因为𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3𝑁𝐹⃗⃗⃗⃗⃗，𝑂为𝐹𝐹1的中点，所以𝑂𝑁//𝑃𝐹1，则𝑀𝐹⊥𝑃𝐹1，可得|𝑀𝐹1|=|𝐹𝐹1|=2𝑐，又因为tan∠𝑀𝐹𝐹1=√73，所以cos∠𝑀𝐹𝐹1=|𝑀𝐹|2|𝐹𝐹1|=34，则|𝑀𝐹|=3𝑐，|𝑀𝐹|−|𝑀𝐹1|=3𝑐−2𝑐=𝑐=2𝑎，可得𝑒=𝑐𝑎=2，所以𝐸的离心率为2．故选：B.7．（5分）（2023·广西·模拟预测）已知sin(𝑎+π3)=35，𝛼∈(0,π2)，则sin(𝛼+π12)=（）A．−√210B．−7√210C．√210D．7√210【解题思路】确定𝛼+π3∈(π3,5π6)得到cos(𝛼+π3)=−45，根据sin(𝛼+π12)=sin[(𝛼+π3)−π4)]展开计算得到答案.【解答过程】𝛼∈(0,π2)，故𝛼+π3∈(π3,5π6)，又sin(𝛼+π3)=35√32，故𝛼+π3∈(π2,5π6)，cos(𝛼+π3)=−45，sin(𝛼+π12)=sin[(𝛼+π3)−π4)]=sin(𝛼+π3)cosπ4−cos(𝛼+π3)sinπ4=7√210.故选：D.8．（5分）（2023·全国·模拟预测）已知𝑎=e2ln3，𝑏=ee−1，𝑐=e32ln2，则有（）A．𝑎𝑏𝑐B．𝑎𝑐𝑏C．𝑏𝑎𝑐D．bca【解题思路】函数𝑓(𝑥)=e𝑥−1ln𝑥,𝑥1，则𝑎=𝑓(3),𝑏=𝑓(e),𝑐=𝑓(4)，确定函数𝑓(𝑥)的单调性，通过单调性可确定大小.【解答过程】把a，b，c变形得𝑎=e3−1ln3，𝑏=ee−1lne，𝑐=e4−1ln4，所以构造函数𝑓(𝑥)=e𝑥−1ln𝑥,𝑥1，则𝑎=𝑓(3),𝑏=𝑓(e),𝑐=𝑓(4).𝑓′(𝑥)=e𝑥−1ln𝑥−1𝑥e𝑥−1(ln𝑥)2=e𝑥−1(ln𝑥−1𝑥)(ln𝑥)2,𝑥1，令𝑔(𝑥)=ln𝑥−1𝑥，则𝑔′(𝑥)=1𝑥+1𝑥20在(1,+∞)上恒成立，所以𝑔(𝑥)在区间(1,+∞)上单调递增，因为𝑔(e)=lne−1e=1−1e0，所以𝑓′(𝑥)0在[e,+∞)上恒成立，所以函数𝑓(𝑥)=e𝑥−1ln𝑥在[e,+∞)上单调递增，所以𝑓(e)𝑓(3)𝑓(4)，即𝑏𝑎𝑐.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（5分）（2023·广东揭阳·惠来县第一中学校考模拟预测）甲、乙、丙、丁四名教师分配到𝐴，𝐵，𝐶三个学校支教，每人分配到一个学校且每个学校至少分配一人.设事件𝑀：“甲分配到𝐴学校”；事件𝑁：“乙分配到𝐵学校”，则（）A．事件𝑀与𝑁互斥B．𝑃(𝑀)=13C．事件𝑀与𝑁相互独立D．𝑃(𝑀|𝑁)=512【解题思路】利用互斥事件、相互独立事件的定义判断AC；利用古典概率计算判断B；计算条件概率判断D作答.【解答过程】对于A，甲分配到𝐴学校的事件与乙分配到𝐵学校的事件可以同时发生，即事件𝑀与𝑁不互斥，A错误；对于B，甲分配到𝐴，𝐵，𝐶三个学校是等可能的，则𝑃(𝑀)=13，B正确；对于C，由选项B知，𝑃(𝑁)=13，𝑃(𝑀𝑁)=1+C21C21C42A33=536，显然𝑃(𝑀𝑁)≠𝑃(𝑀)𝑃(𝑁)，因此事件𝑀与𝑁相互不独立，C错误；对于D，由选项BC知，𝑃(𝑀|𝑁)=𝑃(𝑀𝑁)𝑃(𝑁)=53613=512，D正确.故选：BD.10．（5分）（2023·云南·怒江校联考一模）已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则下列结论正确的是（）A．正四棱锥的体积为163B．正四棱锥的侧面积为16C．外接球的表面积为81π4D．外接球的体积为243π16【解题思路】根据锥体的体积公式计算可判断选项A；先利用勾股定理计算出侧面的高，再根据侧面积公式计算可判断选项B；先计算出外接球的半径，再根据球的表面积公式和体积公式计算即可判断选项C、D.【解答过程】如图所示：对于选项A：因为该棱锥的高𝐸𝐹=4，底面边长为2，所以正四棱锥的体积为13×2×2×4=163，故选项A正确；对于选项B：因为侧面三角形的高为√42+1=√17，所以正四棱锥的侧面积为12×2×√17×4=4√17，故选项B错误；对于选项C：设外接球的球心为𝑂，半径为𝑟，则𝑂𝐸=𝑂𝐴=𝑟，𝑂𝐹=𝐸𝐹−𝑂𝐸=4−𝑟.因为𝐴𝐹=𝐴𝐵sin45°=√2，所以在Rt△𝐴𝑂𝐹中，有(4−𝑟)2+(√2)2=𝑟2，解得𝑟=94.所以该球的表面积为4π𝑟2=4π×(94)2=81π4，故选项C正确；对于选项D：因为球半径𝑟=94，所以体积为43π𝑟3=43π×(94)3=243π16，故选项D正确.故选：ACD.11．（5分）（2023·全国·模拟预测）抛物线𝐶的焦点𝐹(0,−1)，点𝑀在直线𝑦=1上，直线𝑀𝐴,𝑀𝐵为抛物线𝐶的切线，设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，则下列选项正确的是（）A．抛物线𝐶:𝑥2=−2𝑦B．直线𝐴𝐵恒过定点C．𝑥1⋅𝑥2=−4D．当𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=3𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗时，直线𝐴𝐵的斜率为±√24【解题思路】根据抛物线的焦点坐标确定抛物线方程即可判断A；利用导数的几何意义求导，确定切线方程从而验证直线𝐴𝐵是否过定点，即可判断B；联立直线与抛物线结合韦达定理确定交点坐标关系即可判断C；根据抛物线的定义结合直角三角形的几何性质求解直线𝐴𝐵的斜率，即可