2016山东高考文科数学试题及解析最终版

俯视图俯（左）视图正（主）视图1112016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学第I卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设集合1,2,3,4,5,6,1,3,5,{3,4,5}UAB，则()UABUð=(A){2,6}(B){3,6}(C){1,3,4,5}(D){1,2,4,6}（2）若复数21zi，其中i为虚数单位，则z=(A)1i(B)1i(C)1i(D)1i（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位:小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5,30，样本数据分组为17.5,20，20,22.5，22.5,25，25,27.5，27.5,30根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是(A)56(B)60(C)120(D)140（4）若变量x，y满足22390xyxyx，则22xy的最大值是(A)4(B)9(C)10(D)12（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该几何体的体积为(A)1233(B)1233(C)1236(D)216（6）已知直线,ab分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件（7）已知圆M:2220(0)xyaya截直线0xy所得线段的长度是22，则圆M与圆N：22(1)+(1)=1xy的位置关系是(A)内切(B)相交(C)外切(D)相离频率组距自习时间/小时3027.52522.52017.50.020.040.080.100.16（8）ABC中，角,,ABC的对边分别是,,abc，已知bc，222(1sinA)ab,则A=(A)34(B)3(C)4(D)6（9）已知函数fx的定义域为R.当0x是，2=1fxx；当11x时，fxfx；当12x时，1122fxfx，则6f(A)2(B)1(C)0(D)2（10）若函数yfx的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称yfx具有T性质.下列函数中具有T性质的是(A)sinyx(B)lnyx(C)xye(D)3yx二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分（11）执行右边的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为_______.（12）观察下列等式：2224sinsin1233322222344sinsinsinsin235555322222364sinsinsinsin347777322222384sinsinsinsin4599993……2222232sinsinsinsin21212121nnnnn_______.（13）已知向量1,1a，6,4b.若atab，则实数t的值为_______.（14）已知双曲线E：22221xyab0,0ab，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且23ABBC，则E的离心率是_______.CEFABDGH（15）已知函数2||,()24,xxmfxxmxmxm其中0m，若存在实数b，使得关于x的方程fxb有三个不同的根，则m的取值范围是_______.三、解答题：本大题共6小题，共75分。（16）（本小题满分12分）某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动，参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规矩如下：①若3xy，则奖励玩具一个；②若8xy，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此活动.（Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.（17）（本小题满分12分）设2()23sin()sin(sincos)fxxxxx（Ⅰ）求()fx的单调递增区间；（Ⅱ）把=()yfx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移3个单位，得到函数=g()yx的图象，求=g()6y的值.（18）（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，//EFDB.（Ⅰ）已知ABBC,AEEC.求证：ACFB；（Ⅱ）已知G,H分别是EC和FB的中点.求证：//GHABC平面.（19）（本小题满分12分）已知数列{}na的前n项和为238nSnn，{}nb是等差数列，且1nnnabb。（Ⅰ）求数列{}nb的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)nnnnnacb求数列{}nc的前n项和nT.（20）（本小题满分14分）设2()ln(21)fxxxaxax，aR.（Ⅰ）令()'()gxfx，求()gx的单调区间；（Ⅱ）已知()fx在1x处取得极大值，求实数a取值范围.（21）（本小题满分14分）已知椭圆C：22221xyab0ab（）的长轴长为4，焦距为22.（Ⅰ）求椭圆C的方程；指针2431（Ⅱ）过动点M0m（，）0m（）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P做x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.（i）设直线PM，QM的斜率分别为k，'k，证明'kk为定值；（ii）求直线AB的斜率的最小值.xyOMAPNQB2016年普通高等学校招生全国统一考试答案解析（山东卷）文科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）答案：A解析：={1,34,5}ABU，，()={2,6}UABUð.考查集合的并集及补集运算，难度较小。（2）答案：B解析：22(1)=112izii，z=1i复数的运算题目，考察复数的除法及共轭复数，难度较小。（3）答案：D解析：由频率分布直方图可知：组距为2.5，故这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率为：0.16+0.08+0.042.5=0.7（）人数是2000.7=140人频率分布直方图题目，注意纵坐标为频率/组距，难度较小。（4）答案：C解析：作图：可见当取点A时取最大值，最大值为223-110（）（5）答案：C解析：由三视图可知，此几何体是一个正三棱锥和半球构成的，体积为3142112111+=+332236（）考察三视图以及几何体的体积公式，题面已知是半球和四棱锥，由三视图可看出是正四棱锥，xy–1–2–3123456–1–2–3–4–5123AO难度较小。（6）答案：A解析：若直线相交，一定有一个交点，该点一定同时属于两个平面，即两平面相交，所以是充分条件；两平面相交，平面内两条直线关系任意（平行、相交、异面），即充分不必要条件。（7）答案：B解析：圆M:2220(0)xyaya化成标准形式222()(0)xyaaa方法一：圆心(0,)a到直线0xy的距离为2ad，由勾股定理得22()22aa，解得2,0,2aaa，圆M与圆N22(1)+(1)=1xy的圆心距为22(10)(12)2,圆M半径12R,圆N半径212121,2,RRRRR圆M与圆N相交。方法二：直线0xy斜率为-1，倾斜角为135°，可知2,2BMOBOMa，B点坐标为(1,1)，即为圆N的圆心。圆心在圆M中，且半径为1，即两圆相交。（8）答案：C解析：222222(1sinA),2cos2(1sinA),abbcbcAb又,bc,2222cosbbA22(1sinA),cossinbAA,在ABC中，(0,),A4A（9）答案：D解析：当12x时，11()()22fxfx，既()(1)fxfx，周期为1，(6)(1)ff。当0x时，3()1fxx，且11,()()xfxfx，(6)(1)(1)2fff。（10）答案：A解析：T函数的特征是存在两点切线垂直，既存在两点导数值相乘为1；B选项中lnyx的导数是1yx恒大于0，斜率乘积不可能为1；C选项中xye的导函数xye恒大于0，斜率乘积不可能为1；D选项中3yx的导函数23yx恒大于等于0，斜率乘积不可能为1。二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分（11）答案：1xy°y=|x|my=x2-2mx+4mO解析：根据题目所给框图，当输入n=3时，依次执行程序为：1,0iS，02-1=2-1S，13i不成立，12ii，213231S，23i不成立，13ii，3143211S，33i成立，故输出的S的值为1。（12）答案：413nn+（）解析：由题干中各等式左端各项分母的特点及等式右端所表现出来的规律经过归纳推理即得。（13）答案：-5解析：由已知条件可得+=+6-tabt-t（，4），又因ata+b（）可得=ata+b（）0，即(+6)1+(--4)(-1)=+6++4=2+10=0ttttt，即得t=-5.（14）答案：2解析：由题可知：3(,)2Dcc代入双曲线方程：2222222222222422222222339()()224119334222232320(21)(2)02ccccccaabababbacbaccaaccaaceeeee（15）答案：3m解析：由题可知，如图所示时存在b有三个不同的根。2222||24430(3)03mmmmmmmmmmmm三、解答题：本大题共6小题，共75分。（16）解析：（Ⅰ）设获得玩具记为事件A，获得水杯记为事件B，获得一瓶饮料记为事件C转盘转动两次后获得的数据记为,xy,则基本事件空间为1,11,21,31,42,12,22,32,43,13,23,33,44,14,24,34,4、、、、、、、、、、、、、、、共16种，事件A为1,11,21,32,13,1、、、、，共5种故小亮获得玩具的概率()516AP(Ⅱ)事件B为2,43,33,44,24,34,4、、、、、共6种故小亮获得水杯的概率()63168BP，获得饮料的概率()()()5116CABPPP。因为()()BCPP，所以小亮获得水杯比获得饮料的概率大。（17）解析：（Ⅰ）f(x)=23sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)2=23sin2x-(sin2x+cos2x-2sinxcosx)=3-3cos2x+sin2x-1=sin2x-3cos2x+3-1=2(21sin2x-23cos2x)+3-1=2sin(2x-3π)+3-1-2π+2kπ≤2x-3π≤2π+2kπ(KZ)-12π+kπ≤x≤125π+kπ(KZ)所以单调递增区间为[-12π+kπ，125π+kπ](KZ