微考点7-1 分布列概率中的三大最值问题（三大题型）（原卷版）

微考点7-1分布列概率中的三大最值问题（三大题型）题型一：二项分布的转化为数列问题求最值①当p给定时，可得到函数nkppCkfknkkn,2,1,0,)1()(，这个是数列的最值问题.)1()1(1)1()1()1()1()1()1()1(1111pkkpnpkkpnpkpkpknppCppCppknkknknknkkk.分析：当pnk)1(时，1kkpp，kp随k值的增加而增加；当pnk)1(时，1kkpp，kp随k值的增加而减少.如果pn)1(为正整数，当pnk)1(时，1kkpp，此时这两项概率均为最大值.如果pn)1(为非整数，而k取pn)1(的整数部分，则kp是唯一的最大值.注：在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量k等于期望时，概率最大.【精选例题】【例1】某人在11次射击中击中目标的次数为X，若~11,0.8XB，若PXk最大，则k＝（）A．7B．8C．9D．10【例2】（多选题）下列选项中正确的是（）A．已知随机变量X服从二项分布110,2B，则25DXB．口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球，从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量X，则X的数学期望75EXC．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，所得的样本空间为1,2,3,4,5,6，令事件2,3,4A，事件1,2B，则事件A与事件B相互独立D．某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在9次射击中，最有可能击中的次数是7次【例3】高中生的数学阅读水平与其数学阅读认知、阅读习惯和方法等密切相关．为了解高中生的数学阅读现状，调查者在某校随机抽取100名学生发放调查问卷，在问卷中对于学生每周数学阅读时间统计如下：时间（x小时/周）000.5x0.51x1x人数20403010(1)为了解学生数学阅读时间偏少的原因，采用样本量比例分配的分层随机抽样从这100名学生中随机抽取10名学生，再从这10人中随机抽取2名进行详细调查，求这2名学生中恰有一人每周数学阅读时间大于0.5小时的概率；(2)用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生，用PXk表示这10名学生中恰有,010kkkN名学生数学阅读时间在0,0.5小时的概率，求PXk取最大值时对应的k的值．【题型专练】1．（多选题）某同学共投篮12次，每次投篮命中的概率为0.8，假设每次投篮相互独立，记他投篮命中的次数为随机变量X，下列选项中正确的是（）A．~12,0.8XBB．9.6EXC．23.84DXD．该同学投篮最有可能命中9次2．若随机变量X服从二项分布115,4B，则使PXk取得最大值时，k______．3．已知随机变量6,0.8XB，若PXk最大，则1DkX______．4．一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的n个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为12，且每粒种子是否发芽相互独立．对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种．则当n______时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为______．5．小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常生活物资供应.为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图.(1)从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户.若抽取的5户中购买量在[3,6]（单位：kg）的户数为2户，从5户中选出3户进行生活情况调查，记3户中需求量在[3,6]（单位：kg）的户数为，求的分布列和期望；(2)将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于0.5kg时，则该居民户称为“迫切需求户”，若从小区随机抽取10户，且抽到k户为“迫切需求户”的可能性最大，试求k的值.题型二：二项分布的转化为导数问题求最值当k给定时，可得到函数)1,0(,)1()(pppCpfknkkn，这个是函数的最值问题，这可以用导数求函数最值与最值点.分析：11)1)(()1()('knkknkknpknppkpCpfpknpkppCknkkn)()1()1(11).()1(11npkppCknkkn当1,,2,1nk时，由于当nkp时，0)('pf，)(pf单调递增，当nkp时，0)('pf，)(pf单调递减，故当nkp时，)(pf取得最大值，)()(maxnkfpf.又当1)(,0pfp，当0p时，0)(pf，从而)(pf无最小值.【精选例题】【例1】（2018年全国1卷）．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为(01)pp，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()fp,求()fp的最大值点0p；（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX;（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【例2】设离散型随机变量X和Y有相同的可能取值，它们的分布列分别为kkPXax，kkPYay，0kx，0ky，111,2,,,1nnkkkkknxy．指标()DXY‖可用来刻画X和Y的相似程度，其定义为1()lnnkkkkxDXYxy‖．设~(,),01XBnpp．(1)若~(,),01YBnqq，求()DXY‖；(2)若12,(1),1,2,33nPYkk，求()DXY‖的最小值；(3)对任意与X有相同可能取值的随机变量Y，证明：()0DXY‖，并指出取等号的充要条件【跟踪训练】1．某超市推出了一项优惠活动，规则如下：规则一：顾客在本店消费满100元，返还给顾客10元消费券；规则二：顾客在本店消费满100元，有一次抽奖的机会，每次中奖，就会有价值20元的奖品．顾客每次抽奖是否中奖相互独立．(1)某顾客在该超市消费了300元，进行了3次抽奖，每次中奖的概率均为p．记中奖2次的概率为()fp，求()fp取得最大值时，p的值0p．(2)若某顾客有3次抽奖的机会，且中奖率均为0p，则该顾客选择哪种规则更有利？请说明理由．2.某单位为了激发党员学习党史的积极性，现利用“学习强国”APP中特有的“四人赛”答题活动进行比赛，活动规则如下：一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，第一局获胜得3分，第二局获胜得2分，失败均得1分，小张周一到周五每天都参加了两局“四人赛”活动，已知小张第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p（0＜p＜1），12，且各局比赛互不影响.(1)若23p，记小张一天中参加“四人赛”活动的得分为X，求X的分布列和数学期望；(2)设小张在这5天的“四人赛”活动中，恰有3天每天得分不低于4分的概率为fp，试问当p为何值时，fp取得最大值.题型三：超几何分布的概率最值将从)(ba件产品中取出n件产品的可能组合全体作为样本点，总数为nbaC.其中，次品出现k次的可能为knbkaCC.令baN，则所求概率为nNknaNkakCCCNh)(即kNnNaNNannNaNNCCCCCCNhNhnNknaNkanNknaNkakk2211)1()(.令,)1()(NhNhkk则当kNan时，1；当kNan时，1，即当kanN时，)(Nhk是关于N的增函数；当kanN时，)(Nhk是关于N的减函数.所以当kanN时，)(Nhk达到最大值.【精选例题】【例1】设随机变量(10,,1000)XHM（2992M且NM），(2;10,,1000)HM最大时，()EX（）A．1.98B．1.99C．2.00D．2.01【例2】（2023届四省联考）一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，X表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目．（1）若5000N，求X的数学期望；（2）已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值（以使得(15)PX最大的N的值作为N的估计值）．【跟踪训练】1.2023年中央一号文件指出,艮旋要复兴,乡村必振兴.为助力乡村振兴,某电商平台准备为某地的农副特色产品开设直播带货专部.(公众号浙江省高中数学)直播前,此平台用不同的单价试销,并在购买的顾客中进行体验调本向卷.已知有(30)NN名热心参与问卷的顾客,此平台决定在直播中专门为他们设置两次抽奖活迹次抽奖都是由系统独立、随机地从这N名顾客中抽取20名顾客,抽中顾客会有礼品赠送,若直拱时这N名顾客都在线,记两次抽中的顾客总人数为X(不重复计数).（1）若甲是这N名顾客中的一人,且甲被抽中的概率为925，求N;（2）求使(30)PX取得最大值时的整数N.1．随着春季学期开学，郴州市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念.郴州市某中学食堂每天都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择A套餐的概率为23，选择B套餐的概率为13.而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概率为14，选择B套餐的概率为34；前一天选择B套餐的学生第二天选择A套餐的概率为12，选择B套餐的概率也是12，如此往复.记同学甲第n天选择B套餐的概率为nP.(1)求同学甲第二天选择B套餐的概率；(2)证明：数列35nP为等比数列；(3)从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择去A餐厅就餐的人数X，用PXk表示这100名学生中恰有k名学生选择去A餐厅就餐的概率，求PXk取最大值时对应的k的值.2．某研究所研究某一型号疫苗的有效性，研究人员随机选取50只小白鼠注射疫苗，并将白鼠分成5组，每组10只，观察每组被感染的白鼠数.现用随机变量1,2,,5iXi表示第i组被感染的白鼠数，并将随机变量iX的观测值1,2,,5ixi绘制成如图所示的频数分布条形图.若接种疫苗后每只白鼠被感染的概率为0,1pp，假设每只白鼠是否被感染是相互独立的.记iA为事件“1,2,,5iiXxi”.(1)写出1PA（用p表示，组合数不必计算）；(2)研究团队发现概率p与参数(01)之间的关系为215192645p.在统计学中，若参数0时的p值使得概率12345PAAAAA最大，称0是的最大似然估计，求0.3．N95型口罩是新型冠状病毒的重要防护用品，它对空气动力学直径0.3μm的颗粒的过滤效率达到95%以上．某防护用品生产厂生产的N95型口罩对空气动力学直径0.3μm的颗粒的过滤效率服从正态分布50.97,9.02510N．(1)当质检员随机抽检10只口罩，测量出一只口罩对空气动力学直径0.3μm的颗粒的过滤效率为93．6%时，他立即要求停止生产，检查设备和工人工作情况．请你根据所学知识，判断该质检员的要求是否有道理，并说明判