专题3.3 解三角形（分层练）（解析版）

【淘宝店铺：向阳百分百】专题验收评价专题3.3解三角形内容概览A·常考题不丢分题型一正弦余弦定理基本应用题型二解三角形三线问题题型三解三角形中周长面积问题题型四解三角形中范围问题C·挑战真题争满分一、单选题1．（2023·江西赣州·统考一模）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，2CAB，则ba（）A．75B．32C．53D．74【答案】C【分析】根据题意和等差数列等差中项的应用可得2π3C、2bac，利用余弦定理化简计算即可求解.【详解】由2,πCABABC，得2π3C，由,,abc成等差数列，得2bac，由余弦定理，得222cos2abcCab，即2221(2)22abbaab，整理，得2530abb，由0b得530ab，题型一正弦余弦定理基本应用【淘宝店铺：向阳百分百】由0a得53ba.故选：C.2．（2023下·安徽滁州·高三校考开学考试）在三角形ABC中，记S为ABC的面积，已知0ABACS，则2sin2cosAA（）A．35-B．1C．1D．32【答案】A【分析】先根据三角形的面积公式结合0ABACS求出角A，再根据二倍角的正弦公式及同角三角函数的关系即可得解.【详解】1sin2SbcA，coscosAABACcCbABAA，因为0ABACS，即1cossin02bcAbcA，又0bc，则tan2A，所以222222sincoscos2tan1413sin2cossincostan155AAAAAAAAA.故选：A．3．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）在ABC中，角ABC，，的对边分别为abc，，，且coscossinsinBCAbcC，则b的值为（）A．1B．3C．32D．2【答案】A【分析】根据余弦定理与正弦定理角化边求解即可.【详解】解：因为coscossinsinBCAbcC，所以，由正弦定理与余弦定理得22222222acbabcaabcabcc，化简得1b.故选：A4．（2021下·广东东莞·高一东莞高级中学校考阶段练习）已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ABC的面积为332，且22226abcbc，则tanA的值为（）A．33B．1C．3D．23【答案】C【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】根据余弦定理、三角形的面积公式求得A，进而求得tanA.【详解】依题意，22226abcbc，由余弦定理得2222226cosbcAbcbcbc，3cosbcAbc①，由三角形的面积公式得13333sin,22sinbcAbcA，代入①得3333coss3sininAAA，sin3cos3AA，ππ32sin3,sin332AA，由于ππ4π0π,333AA，所以π2ππ,,tan3333AAA.故选：C一、单选题1．（2023上·江苏苏州·高三常熟中学联考）ABC的内角,,ABC的对边分别是,,abc，且1cos2ACB，边AB上的角平分线CD的长度为t，且2ADBD，则ct（）A．372B．32C．3D．32或3【答案】A【分析】根据题意，在ADC△和BDC中，利用正弦定理求得2ba，在由余弦定理求得7ca，再由ABCADCBDCSSS，结合面积公式，求得23ta，即可求解.【详解】由1cos2ACB，因为(0,π)ACB，可得2π3ACB，又由边AB上的角平分线CD，所以π3ACDBCD，在ADC△中，可得sinsinbADADCACD，在BDC中，可得sinsinaBDBDCBCD,因为sinsin,sinsinADCBDCACDBCD，且2ADBD，题型二解三角形中三线问题【淘宝店铺：向阳百分百】所以2bADaBD，即2ba，在ABC中，由余弦定理可得2222222cos7cababACBababa，所以7ca，又由ABCADCBDCSSS，即12π1π1πsinsinsin232323abbtat，因为2ba，可得233322222aatat，即223aat，可得23ta，所以737223cata.故选：A.2．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知三角形ABC中，3BC，角A的平分线交BC于点D，若12BDDC，则三角形ABC面积的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】先根据正弦定理可得12ABAC，再建立平面直角坐标系求解A的轨迹方程，进而可得ABC面积的最大值.【详解】在ABD△中sinsinABBDADBBAD，在ABD△中sinsinACDCADCCAD，故sinsinABADBBDBAD，sinsinACADCDCCAD，因为180ADBADC，故sinsin180sinADBADCADC，又角A的平分线交BC于点D，则BADCAD，故ABACBDDC.故12ABBDACDC.以D为坐标原点建立如图平面直角坐标系，则因为3BC，12BDDC，故1,0B，2,0C，设,Axy，则22221122xyxy，【淘宝店铺：向阳百分百】即2222412xyxy，故222484344xxyxx，化简可得2240xxy，即2224xy，故点,Axy的轨迹是以2,0为圆心，2为半径的圆（除去4,0,0,0）.故当A纵坐标最大，即2,2A时ABC面积取最大值为13232ABCS△.故选：C二、填空题3．（2023下·河南周口·高三期末）在锐角ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，G为ABC的重心，AGBC，则cosB的取值范围为．【答案】30,3【分析】记BC的中点为D，利用重心的性质先得到32ADa，再由向量的知识可得2225abc，2coscaBac，再利用锐角ABC可得23ca，最后利用函数的单调性可得cosB的取值范围．【详解】记BC的中点为D，由AGBC，G为ABC的重心，可得32ADa．又由12ADABAC，有222124ADABABACAC，即222912cos44acbcAb2222229acbcab，【淘宝店铺：向阳百分百】化简可得2225abc．又由ABC为锐角三角形，故222222222bcaacbabc，即2222222255acacaacc，化简可得23ca．又由2222222225242cos222acacacbcacaBacacacac．令23ctta，由函数223ftttt单调递增，可得233022333ft，可得30cos3B．故答案为：30,3.三、解答题4．（2023上·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）记ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知π2sin6bcaC.(1)求A的值；(2)若BAC的平分线与BC交于点,23DAD，求ABC面积的最小值.【答案】(1)π3A(2)43【详解】（1）因为π2sin6bcaC，由正弦定理可得πsinsin2sinsin6BCAC，则sinsinsinsinsincoscossinsinBCACCACACC，π312sinsin2sinsincos3sinsinsincos622ACACCACAC，即sincoscossinsin3sinsinsincosACACCACAC，可得3sinsincossinsinACACC，因为0,πC，则sin0C，则3sincos1AA，整理得π1sin62A，【淘宝店铺：向阳百分百】又因为0,πA，则ππ5π,666A，可得ππ66A，所以π3A.（2）因为AD平分BAC且22AD，所以π6BADCAD，由ABCABDACDSSS，可得1311112323222222bccb，整理得24bcbcbc，则16bc，当且仅当bc时，等号成立，故ABC面积的最小值为13164322．5．（2023上·湖北·高三鄂南高中联考期中）在ABC中，角A，B，C的对边分别为,,abc，且cos2cos0aCbcA.(1)求角A的大小；(2)若D是线段BC的中点，且2,4ADAC，求ABC的面积.【答案】(1)3π4(2)4【详解】（1）cos2cos0aCbcA，由正弦定理可得sincos2sincossincos0ACBACA，整理sin2sincos0ACBA，即sin2sincos0BBA，又0,B，则sin0B，2cos2A，又3π0,π,4AA.（2）法一：如图，取AC中点E，连接DE，D是线段BC的中点，//,12DEABDEAB,在ADEV中，π,2,24AEDAEAD,由余弦定理可得22220,2,22DEDEDEAB,【淘宝店铺：向阳百分百】1sin42ABCSABACA.法二：因为D是线段BC的中点，2ADABAC，22242ADABABACAC，即22282||4||2ABABAC，22AB，1sin42ABCSABACA.1．（2023·湖南·校联考模拟预测）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知coscos2abbBAc．(1)求tanA；(2)若17a，ABC的面积为22，求ABC的周长．【答案】(1)tan22A(2)517【详解】（1）因为coscos2abbBAc，所以由正弦定理可得sincos2sincossinsinABBABC．又sinsinsincoscossinCABABAB，所以3sincossinBAB．因为sin0B，所以1cos3A．又0,πA，所以22sin3A，tan22A．（2）ABC的面积n12222si3ASbcbc，则6bc．由余弦定理：22222c23s2oabcbcbcbcA，得224253bcabc，所以5bc，故ABC的周长为517．2．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin()sin2BCaABc．(1)求A；(2)已知3c，1b，边BC上有一点D满足3ABDADCSS，求AD．【答案】(1)π3A(2)334AD（2）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可.题型三解三角形中周长面积问题【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）∵sin()sin2BCaABc，即sinsin()sinsin2BCAABC由正弦定理，有sinsinsincos2AACC又sin0C，即有sincos2AA，2sincoscos222AAA，π(0,)22A，cos02A，所以1sin22A，π26A，故π3A．（2）设BDA，πADC，由（1）知π3A，在△ABC中，由余弦定理2222cosabcbcA，可知21912312BC