专题3.3 解三角形（解析版）

【淘宝店铺：向阳百分百】专题3-3解三角形01专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）02考情分析·解密高考03高频考点·以考定法（四大命题方向+四道高考预测试题，高考必考·（10-17）分）命题点1正弦余弦定理基本应用命题点2解三角形中三线问题命题点3解三角形中周长面积问题命题点4解三角形中最值范围问题高考猜题04创新好题·分层训练（精选8道最新名校模拟试题+8道易错提升）【淘宝店铺：向阳百分百】【淘宝店铺：向阳百分百】解三角形是新高考中必考点，一般以1+1（一道小题一道解答题）或者是0+1（只出现一道解答）形式出现，往往放在解答题前两题，相对难度比较小。真题多维细目表考点考向考题解三角形①正弦余弦基本应用②解三角形中三线问题③解三角形中周长面积问题④解三角形中最值范围问题2023全国乙卷T4全国乙卷T172021全国甲卷T82023新高考甲卷T162023新高考Ⅰ卷T172023新高考Ⅱ卷T17全国乙卷T18甲卷T172022乙卷T17新高考Ⅱ卷T182021全国乙卷T152021新高考Ⅱ卷T182022全国甲卷2022年新高考Ⅰ卷T18命题点1正弦余弦定理基本应用典例01（2023·全国乙卷）在ABC中，内角,,ABC的对边分别是,,abc，若coscosaBbAc，且5C，则B（）A．10B．5C．310D．25【答案】C【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得A的值，最后利用三角形内角和定理可得A的值.【详解】由题意结合正弦定理可得sincossincossinABBAC，即sincossincossinsincossincosABBAABABBA，整理可得sincos0BA，由于0,πB，故sin0B，据此可得πcos0,2AA，则ππ3πππ2510BAC.【淘宝店铺：向阳百分百】故选：C.典例02（2023·全国乙卷）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知sinsinsinsinCABBCA．(1)若2AB，求C；(2)证明：2222abc【答案】(1)5π8；(2)证明见解析．（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得sinsincoscossinsinsincoscossinCABABBCACA，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．【详解】（1）由2AB，sinsinsinsinCABBCA可得，sinsinsinsinCBBCA，而π02B，所以sin0,1B，即有sinsin0CCA，而0π,0πCCA，显然CCA，所以，πCCA，而2AB，πABC，所以5π8C．（2）由sinsinsinsinCABBCA可得，sinsincoscossinsinsincoscossinCABABBCACA，再由正弦定理可得，coscoscoscosacBbcAbcAabC，然后根据余弦定理可知，22222222222211112222acbbcabcaabc，化简得：2222abc，故原等式成立．命题点2三角形中三线问题典例01（2023·全国甲卷）在ABC中，60,2,6BACABBC，BAC的角平分线交BC于D，则AD．【答案】2【分析】方法一：利用余弦定理求出AC，再根据等面积法求出AD；方法二：利用余弦定理求出AC，再根据正弦定理求出,BC，即可根据三角形的特征求出．【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】如图所示：记,,ABcACbBCa，方法一：由余弦定理可得，22222cos606bb，因为0b，解得：13b，由ABCABDACDSSS可得，1112sin602sin30sin30222bADADb，解得：2313323312bADb．故答案为：2．方法二：由余弦定理可得，22222cos606bb，因为0b，解得：13b，由正弦定理可得，62sin60sinsinbBC，解得：62sin4B，2sin2C，因为1362，所以45C，180604575B，又30BADo，所以75ADB，即2ADAB．故答案为：2．典例02（2023·全国新课标Ι）已知在ABC中，3,2sinsinABCACB．(1)求sinA；(2)设5AB，求AB边上的高．【答案】(1)31010(2)6【详解】（1）3ABC，π3CC，即π4C，又2sin()sinsin()ACBAC，2sincos2cossinsincoscossinACACACAC，sincos3cossinACAC，sin3cosAA，【淘宝店铺：向阳百分百】即tan3A，所以π02A，3310sin1010A.（2）由（1）知，110cos1010A，由sinsin()BAC23101025sincoscossin()210105ACAC，由正弦定理，sinsincbCB，可得255521022b，11sin22ABhABACA，310sin210610hbA.对于解三角形中的出现的角平分线问题，方法技巧在于用等面积法进行转化，或者是采用角平分线定理（角平分线定理属于二级结论解答题中需要进行证明，小题中可以直接采用），对于求高有关的问题也是采用面积等于底乘以高转化成三角形中面积公式。对于中线问题，一般思路是向量思想，小题中可以采用激化恒等式去求解。命题点3解三角形中周长面积问题典例01（2023·全国高考乙卷）在ABC中，已知120BAC，2AB，1AC.(1)求sinABC；(2)若D为BC上一点，且90BAD，求ADC△的面积.【答案】(1)2114；(2)310.【分析】(1)首先由余弦定理求得边长BC的值为7BC，然后由余弦定理可得57cos14B，最后由同角三角函数基本关系可得21sin14B；(2)由题意可得4ABDACDSS△△，则15ACDABCSS△△，据此即可求得ADC△的面积.【详解】（1）由余弦定理可得：22222cosBCabcbcA41221cos1207，【淘宝店铺：向阳百分百】则7BC，22274157cos214227acbBac，22521sin1cos12814ABCB.（2）由三角形面积公式可得1sin90241sin302ABDACDABADSSACAD△△，则111321sin12055210ACDABCSS△△.典例02．（2022·全国高考乙卷）记ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知sinsin()sinsin()CABBCA．(1)证明：2222abc；(2)若255,cos31aA，求ABC的周长．【答案】(1)见解析(2)14【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc，从而可求得bc，即可得解.【详解】（1）证明：因为sinsinsinsinCABBCA，所以sinsincossinsincossinsincossinsincosCABCBABCABAC，所以2222222222222acbbcaabcacbcabacbcab，即22222222222acbabcbca，所以2222abc；（2）解：因为255,cos31aA，由（1）得2250bc，由余弦定理可得2222cosabcbcA，则50502531bc，所以312bc，故2222503181bcbcbc，【淘宝店铺：向阳百分百】所以9bc，所以ABC的周长为14abc.命题点4解三角形中最值范围问题典例01（2022·全国·高考甲卷）已知ABC中，点D在边BC上，120,2,2ADBADCDBD．当ACAB取得最小值时，BD．【答案】31/13【详解】[方法一]：余弦定理设220CDBDm，则在ABD△中，22222cos42ABBDADBDADADBmm，在ACD中，22222cos444ACCDADCDADADCmm，所以2222224421214441243424211mmmACmmABmmmmmm1244233211mm，当且仅当311mm即31m时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，31m.故答案为：31.[方法二]：建系法令BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.则C（2t,0），A（1，3），B（-t,0）【淘宝店铺：向阳百分百】222222213444124423324131113,31tACttABttttttBD当且仅当即时等号成立。[方法三]：余弦定理设BD=x,CD=2x.由余弦定理得222242444cxxbxx，2222126cbx，222242444cxxbxx，2222126cbx，令ACtAB，则22222126ctcx，22222126126226162332411xxtcxxxx，2423t，当且仅当311xx，即31x时等号成立.[方法四]：判别式法设BDx，则2CDx在ABD△中，22222cos42ABBDADBDADADBxx，在ACD中，22222cos444ACCDADCDADADCxx，所以222244442ACxxABxx，记2244442xxtxx，则2442440txtxt由方程有解得：24244440ttt即2840tt，解得：423423t所以min423t，此时2314txt所以当ACAB取最小值时，31x，即31BD.【淘宝店铺：向阳百分百】典例02（2022·全国新高考Ⅰ）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cossin21sin1cos2ABAB．(1)若23C，求B；(2)求222abc的最小值．【答案】(1)π6；(2)425．【详解】（1）因为2cossin22sincossin1sin1cos22coscosABBBBABBB，即1sincoscossinsincoscos2BABABABC，而π02B，所以π6B；（2）由（1）知，sincos0BC，所以πππ,022CB，而πsincossin2BCC，所以π2CB，即有π22AB，所以30,,,424BC所以222222222sinsincos21cossincosabABBBcCB2222222cos11cos24cos5285425coscosBBBBB．当且仅当22cos2B时取等号，所以222abc的最小值为425．解三角形中求边长最值问题一般采用设角把边长转化成关于角的函数，最后转化成基本不等式或者是关于二次函数去求解。但是对于